Wegen der Corona-Pandemie ist das SFN geschlossen. Der Ferienworkshop Mathematik findet deshalb als Blog statt.
Austausch und Diskussion in SFN-Online https://discord.gg/eh6eP6E
Ziel des Workshops
Was sind komplexe Zahlen?
Einführung in das Rechnen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen sind wie Vektoren sind aber keine Vektoren
Warum es Wurzeln aus negativen Zahlen gibt
Exponentialfunktion liefert Kreise
Einfache Beschreibung von Schwingungen durch komplexe Zahlen
Wechselstromwiderstände lassen sich durch komplexe Zahlen zusammenfassen
Erzeugung von fraktalen Mustern durch einfach Gleichungen
Hier lernt ihr, wie man bei komplexen Zahlen mehrere Werte (komplexe Werte) für Wurzeln erhaltet.
Bei der zweiten Wurzel gibt es zwei Werte, bei der dritten immer (!!!) drei Werte, bei der vierten Wurzel immer vier Werte...
Besser kann es nicht kommen! Da freut sich das Mathematikerinnenherz!
Und zeichnet dann diese Werte mal in das Koordinatensystem ein...alles schön regelmäßig und symmetrisch!
Ich habe euch das erst einmal für √i aufgeschrieben.
Was ungewöhnlich ist...wir dürfen keinen bestimmten Winkel mehr nehmen, sondern immer beliebig viele volle Umdrehungen links- oder rechtsherum zusätzlich. Das drücken wir durch k*360° aus, die wir zuaddieren (oder effektiv abziehen, wenn k negativ ist). Nur für k=0 erhält man den sagen wir "üblichen" Wert...
Und nun das Ganze für √2:
Ich hab dann am Ende das für die Lösung von Gleichungen z² = i und z² = 2 umgeschrieben.
Man erhält dann jeweils zwei Lösungen.
Macht mal die Probe...setzt für z mal jede der beiden Lösungen ein und rechnet das nach...es kommt wirklich hin! Ich habe das für z² = i angefangen, aber dann abgebrochen...sollt ihr mal selbst weitermachen...
So und nun kommen wir zum nächnsten Schritt:
Macht das jetzt mal für die dritten Wurzeln! Also bestimmt die Lösungen für die folgenden Gleichungen:
z³ = i sowie z³ = 8
Denkt dran: dritte Wurzel bedeutet hoch 1/3!
Haltet euch ruhig an die Vorlagen oben und zeichnet mal die jeweils drei Lösungen in das Koordinatensystem ein!
Wir haben uns ja die komplexen Zahlen ausgedacht, um Gleichungen der Form z² = -1 lösen zu können und haben dann die neue Zahl i = √(-1) eingeführt.
Nun müssen wir aber zeigen, dass unsere neuen Zahlen auch wirklich dafür geeigent sind...
also wurzeln wir mal drauf los...
Ihr werdet manche Überraschung erleben...und das gipfelt in der Doktorarbeit von Herrn Gauß...
Wir fangen mit zwei einfachen Beispielen an, √i und √2 und werden merken, dass wir bei der ersten Rechnung was wichtiges vergessen haben...nämlich dass man beliebig oft im Kreis gehen kann ohne an ein Ende zu kommen...
Ihr braucht nun die Polarschreibweise und die Moivresche Formel.
Wir legen erst einmal die beiden komplexen Zahlen z1 = r1* (cos φ1 + i* sin φ2)
und z2 = r2 * (cos φ2 + i* sin φ2 ) fest mit den Beträgen r1 und r2 und den Winkeln φ1 und φ2 fest.
Wenn man addieren will, ist es am einfachsten in die bekannte Form z = x + i*y umzurechnen. Wir wollen sie ab jetzt die arithmetische Form nennen.
Die Polardarstellung ist dagegen besonders gut für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen:
Die Formel wollen wir nicht herleiten, das ist im Prinzip aber nicht so schwer. Man muss einfach eine Summe aus Sinüssen und Cosinüssen vereinfachen. Dazu gibt es die Additionstheoreme, die man früher in der Schule herleiten und können musste. Heute werden sie oft in der Schule noch nicht mal erwähnt.
Man könnte auch so sagen:
Der Produktzeiger ist weitergedreht und gestreckt worden, der Quotientenzeiger zurückgedreht und gestaucht worden.
Das haben wir schon kennengelernt. Hier noch mal das Bild dazu:
matheistkeinarschloch
Und so sieht das in der Polardarstellung aus:
Winkel addieren, Zeigerlängen multiplizieren und schon hat man den Produktzeiger.
Am besten ihr übt das mal:
Aufgabe 1:
Zeichnet die Zeiger zu z1 = 2 * (cos 30° + i * sin 30°)
und zu z2 = 3 * (cos 45° + i* sin 45°)
in ein Koordinatensystem
Dann bildet z1*z2 und z1/z2 und zeichnet die neuen Zeiger.
Produkt und Quotient könnt ihr eigentlich direkt aus den Angaben für z1 und z2 ablesen...ihr müsst nurn noch zeichnen...
Irre: Ihr könnt jetzt komplexe Zahlen im Kopf multiplizieren und dividieren! 😎
Zum Schluss noch eine ganz wichtige Formel, die uns bald helfen wird, Wurzeln konkret hinzuschreiben:
Hier wird einfach zⁿ, die n-te Potenz gebildet.
Ihr wisst, was das bedeutet: z*z*z*z*z... (n-mal)...jedesmal wird das r mit sich multipliziert und der Winkel auf sich selbst addiert...
und schon ist die berühmte Formel von Moivre fertig:
zⁿ = rⁿ * [cos(n*φ) + i * sin(n*φ)]
Ihr könnt jetzt übrigens auch komplexe Zahlen im Kopf potenzieren:
Macht das mal...
Aufgabe 2:
Bildet z² und z³ sowie z⁴ zu z = 3 * (cos 80° + i*sin 80°).
Was macht die Zeigerspitze beim Potenzieren?
Wer potenzieren kann, kann auch wurzeln,...und das erkläre ich euch im nächsten Post.
Dann lernen wir auch Vielecke zu zeichnen...
Im übernächsten Post erkläre ich dann die häufigste Schreibweise für komplexe Zahlen, die ein Herr Euler gefunden hat. Und mit der kann man dann richtig viel machen...sogar Kreise zeichnen....
Ach, und falls irgendjemand die beiden genannten Formeln herleiten will, hier die Additionstheoreme:
a) Gib alle reellen Zahlen in der Polardarstellung an.
r ist beliebig, eben jede reelle Zahl, aber als Winkel können nur 0° (positive reele Zahlen) oder 180° (negative reelle Zahlen vorkommen. Allerdings, wer sagt denn, das man nur einmal herum darf? Auch 350° bzw. 540° bzw.720° produzieren reelle Zahlen:
Relle Zahlen = z*[cos (0° + k*180°) + i*sin (0° + k*180°)],
dabei ist z eine reine reelle Zahl und k ist eine beliebige ganze Zahl
b) Welcher Winkel gehört zu den imaginären Zahlen?
Nun: 90° oder 270° oder jeweils immer 180° dazu zählen oder abziehen....
also: 90° + k*180°, k ist eine beliebige ganze Zahl
c) Warum gibt es keine eindeutige Antwort auf diese Fragen?
weil man beliebig oft um Kreise herumlaufen kann, man kommt nie an ein Ende...
d) Wie lautet die Polardarstellung von komplexen Zahlen, die auf der Hauptdiagonalen des Koordinatensystems liegen?
Hier muss man von einem Winkel von 45°, 225°, 405° ....ausgehen und man kann jeden beliebigen Abstand nehmen:
r*[cos (45° + k*180°) + i*sin(45° + k*180°)]
e) Wie lauten die Polardarstellungen der Zahlen, die auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung liegen?
Hier muss man r= 5 nehmen und den Winkel beliebig lassen:
r*(cos φ + i*sin φ )
f) Rechne z = 3 + 4i in Polardarstellung um, ebenso z = 3 -4i und z = -3-4i
Ich gebe erst die Formeln an, mit denen man arbeiten muss:
Den Winkel φ erhält man über das Tangens-Verhältnis: tan φ = Im/Re = y/x, den Abstand r erhält man über den Pythagoras: r² = x² + y² und dann die Wurzel ziehen.
Da es beim Quadrieren nicht nauf die Vorzeichen ankommt, erhält man für alle drei Fälle r = 5! Die Punkte liegen also alle auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung.
Um das Ergebnis, welches der Taschenrechner ausspuckt (normalerweise nur Winkel zwischen -90° und + 90°) richtig zu interpretieren, überlegen wir erst, in welchem Quadrant der Punkt liegt.
Achtung: Man muss die Umkehrfunktion vom tan drücken, invtan oder wie auch immer bezeichnet...und der Taschenrechner sollte auf degree stehen....
x y Quadrant tan φ φ
3 4 I 4/3 53°
3 -4 IV -4/3 -53° oder 360-53 = 307°
-3 -4 III 4/3 53+180 = 233°
Läge der Punkt in Quadrant II müsste man 180 - 53 = 127° rechnen.
Ja und dann müssen wir noch alle anderen Winkel zulassen, die durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° entstehen.
Meistens begnügt man sich aber ohne diese zusätzlichen Angaben von unendlich vielen Winkeln und spricht dann vom Hauptwert der Lösung.
Das waren Übungsaufgaben, die eigentlich viel Lerninhalt hatten. Also nicht verzagen, wenn man die nicht alleine lösen konnte.
spektrum
Hinweis: Rechts in der Computerversion (unter den Zusatzseiten) gibt es zwei Hilfen zu trigonometrischen Funktionen wie sin und cos...)
Einführung der Polardarstellung einer komplexen Zahl
Komplexe Zahlen haben wir bisher als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Die erste Koordinate war der Realteil, die zweite der Imaginärteil: z = (Re z, Im z).
Oder man gibt komplexe Zahlen als Summe aus Real- und Imaginärteil an: z = Re z + i* Im z
Hauptsache, das Rechnen klappt wie gewohnt...
Und das tut es, haben wir ja überprüft.
Wenn wir jetzt komplexe Zahlen auf andere Art notieren, muss die Rechnerei weiterhin so wie bisher gehen...
Nun kann man aber komplexe Zahlen auch durch ihren Abstand zum Ursprung (Betrag |z| oder auch mit r bezeichnet) und durch den Winkel, den die Verbindungslinie z zum Ursprung mit der reellen Achse einnimmt (mit φ oder α bezeichnet) angeben.
Falls es jemand kennt: Das ist wie bei Polarkoordinaten!
lpunikgoettingen
Wie können wir nun den Realteil a und den Imaginäranteil b über r=|z| und den Winkel φ ausdrücken?
Dazu muss man sich das rechtwinklige Dreieck aus a, b und r ansehen.
b ist die Gegenkathete zum Winkel φ und a die Ankathete. Die Strecke r = |z| liegt dem rechten Winkel gegenüber, das ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
(Man erinnere sich: a² + b² = c², äh r²)
Damit kann man die Winkelfunktionen sin φ und cos φ aufstellen.
Wer sich damit nicht auskennt:
Im Laufe des Tages mache ich eine Zusatzinformationsseite dazu ( siehe rechts).
Ansonsten:
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis aus Gegenkathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck, der Cosinus des Winkels das Verhältnis aus Ankathete zur Hypotenuse.
Ein Taschenrechner kennt diese Zahlen...und kann damit rechnen...sogar, wenn die Winkel über 90° weitergehen...beliebig weit...
Für uns gilt:
cos φ = Ankathete/Hypotenuse = a/r, also a = r* cos φ
und
sin φ = Gegenkathede/Hypotenuse = b/r, also b = r * sin φ
Das setzen wir nun in z = a + ib ein und erhalten die Polardarstellung der komplexen Zahl:
z = r*cos φ+ i*r* sin φ = r *(cos φ+ i * sin φ).
ruhrunibochum
wikimathe
Das lässt sich auch leicht auf die konjugiert komplexe Zahl übertragen:
Welche komplexe Zahl ist hier gemeint:
Antwort: z = (0,74, 0,67) = 0,74 + i*0,67 = 1* (cos 41,9° + i* sin 41,9°) oder (#1, 41,9°) in der Polardarstellung.
Umkehrung der Rechnungen:
Wir sollten noch kurz angeben, wie man aus der normalen Darstellung z = x + i*y die Werte für r und φ erhält:
Bestimmung des Abstandes r ( = Bestimmung des Betrages, hatten wir also schon):
r² = x² + y², ist wieder der olle Grieche...P.
Bestimmung des Winkels:
Für den Winkel muss man die Winkelfunktion Tangens benutzen:
tan φ = Gegenkathede/Ankathete = y/x
Der
Taschenrechner kann da nicht alle möglichen Lagen des Punktes
berücksichtigen. Am besten überlegt man sich in welchem Quadranten die
komplexe Zahl liegt und benutzt den vom Taschenrechner ausgegebenen
Winkel um daraus einen Winkel zwischen 90° und 180° oder 180° und 270°
oder 270° und 360° auszurechnen.
Übung:
a) Gib alle reellen Zahlen in der Polardarstellung an.
b) Welcher Winkel gehört zu den imaginären Zahlen?
c) Warum gibt es keine eindeutige Antwort auf diese Fragen?
d) Wie lautet die Polardarstellung von komplexen Zahlen, die auf der Hauptdiagonalen des Koordinatensystems liegen?
e) Wie lauten die Polardarstellungen der Zahlen, die auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung liegen?
f) Rechne z = 3 + 4i in Polardarstellung um, ebenso z = 3 -4i und z = -3-4i..
Die Lösungen kommen bald, aber sucht es erst einmal selbst.
Und danach lernen wir wieder Adidieren und Multipülizieren in der Polardarstellung...und werden merken, dass man jetzt diese Rechenarten noch leichter veranschaulichen kann.
Und nicht vergessen: In SFNonline kann man Fragen stellen...
Videos:
Sehr schön ruhig und sachlich erklärt das die Dame hier:
Eine gute ausführliche Darstellung, aber auch weiterführend, ist hier zu sehen:
Wir haben zwar mit den komplexen Zahlen eine Möglichkeit gefunden auch Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen und damit jede Gleichung zu lösen (damit werden wir uns bald beschäftigen).
Aber wir müssen einen Preis zahlen:
Wir kennen zwar alle Lösungen, aber wir können sie nicht mehr der Größe nach ordnen.
Die uns aus den reellen Zahlen bekannten Relationen > oder < lassen sich nicht auf die komplexen Zahlen übertragen.
Wie auch, es sind ja irgendwo in der Ebene liegende Punkte...
Nehmen wir mal das Beispiel i und nehmen an, es sei i > 0.
Multiplizieren wir beide Seiten mit i, so erhalten wir i² > 0, also -1 > 0.
Die Annahme i > 0 führt also zu einem Widerspruch (-1 > 0), sie muss falsch sein.
Also ist i < 0?
Denkste...
Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit (-1), müssen dabei das < zu einem > machen: und erhalten:
-i > 0
Wenn also -i positiv ist, dann ist das Produkt zweier positiver Zahlen auch positiv:
(-i)*(-i) > 0
Also gilt: -1 > 0
Auch hier offensichtlich ein Widerspruch, also kann i auch nicht kleiner als 0 sein.
Bleibt nur i = 0: i=0 bedeutet i² = 0, also -1 = 0
Geht auch nicht...
Allein von der imaginären Zahl i können wir nicht entscheiden, ob sie positiv, negativ oder 0 ist.
Ist irgendwie sprachlich auch logisch: >0 heißt ja rechts von der 0 auf dem reelllen Zahlenstrahl...und da liegt i ja nicht drauf...
Der Philosoph Kant würde von einem Kategorienfehler reden: Die Beziehung > gibt es nur auf dem Strahl der reellen Zahlen und nirgends wo anders...
(Vergleich: Die Relation "kann höher singen" gibt es nur innerhalb der Menge aller Sängerinnen, nicht in der Menge aller Brückenpfeiler...)
In der Tat ist die Menge der komplexen Zahlen keine geordnete Zahlenmenge mehr. Eine < - oder > - Beziehung ist nicht erklärbar.
Man könnte eine abgeschwächte > - Beziehung aufstellen: Man bildet den Betrag der komplexen Zahl, berechnet also ihren Abstand zu 0.
Dann kann man komplexe Zahlen nach ihrem Abstand von der 0 ordnen. Alle gleichweit von 0 entfernte komplexe Zahlen (davon gibt es unendlich viele) liegen auf einem Kreis um den Ursprung herum.
Das hilft eigentlich nicht viel.
Damit haben wir den Teil 3 (Einführung) fast beendet. Es geht aber weiter...der nächste Post kommt....
- Komplexe Zahlen werden als Kombination von reellen und imaginären Zahlen dargestellt. Imaginäre Zahlen sind Vielfache einer Zahl i = √(-1)
Man schreibt z = (x,iy) und nennt y den Imaginärteil der komplexen Zahl, x den Realteil.
- Die Visualisierung komplexer Zahlen geschieht über ein Koordinatensystem. Auf der x-Achse wird der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil dargestellt, manchmal auch i*y.
So ist jede komplexe Zahl ein Punkt im Koordinatensystem, also in der Ebene.
Diese Ebene nennt man auch Gaußsche Zahlenebene.
schulminator
- Wir haben schon eine andere Darstellungsform kennengelernt: z = x + iy. Hier wird eine komplexe Zahl als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl geschrieben.
Diese Darstellung ermöglicht uns die intuitive Übernahme aller bisherigen Rechenarten mit reellen Zahlen. Wir müssen lediglich beachten, dass i²=-1 ist.
- z# = x -iy nennen wir konjugiert komplex zu z = x + iy.
Das Bild von z# liegt gespiegelt an der x-Achse.
Das Produkt aus einer Zahl mit ihrer komplex konjugierten Zahl ist immer eine reelle Zahl.
Ergänzung für Fortgeschrittene:
Oft werden Produkte in der Mathematik ähnlich definiert. Man nutzt dabei immer einen Raum (komplexe Zahl) und einen Dualraum (komplex konjugierte Zahl). Das Skalarprodukt ist z.B. nicht das Produkt zweier Vektoren sondern das Produkt eines Vektors mit der ihm zugeordneten Linearform aus dem Dualraum. Nur im kartesischen Koordinatnesystem ist das nicht notwendig. Nur hier sind Raum und Dualraum identisch. Das führt dazu, dass man Vektoren mit ihren dualen Objekten, den Linearformen, identifiziert und denkt, dass sei immer so.
Das wird durchweg in der Schulmathematik so gehandhabt.
Aber in krummlinigen Koordiantensystemen, wie man sie in der Relativitätstheorie braucht, muss man sehr genau unterscheiden.
Vielleicht kennen einige die Formel für den raum-zeitlichen Abstand s²
zweier Ereignisse in der Relativitätstheorie. Es ist nicht s² = x² +
(c*t)² sondern s² = x² - (c*t)². Nur im letzten Fall erhält man eine
lorentzinvariante Größe, also etwas, was in allen Bezugssystemen
unabhängig von deren Bewegung, gleich groß ist.
Ebenso in der Quantenmechanik: Hier spielen komplex konjugierte Objekte eine grundlegende Rolle bei der Übertragung der Rechnungen in die Realität.
Als Operatoren dürfen nur sog. hermitesche Matrizen verwendet werden. Das sind Matrizen (Zahlenschemata), die identisch zu ihrer adjungierten Form sind. Die adjungierte Form einer Matrix erhält man, wenn man die Einträge an der Hauptdiagonalen spiegelt und dabei durch die komplex konjugierten Zahlen ersetzt. So müssen alle Zahlen auf den Hauptdiagonalen reell sein.
Nur hermitesche Matrizen liefern reelle Zahlen als echte Messwerte!
- Betrag einer komplexen Zahl |z| = √(z*z#) bezeichnet den Abstand des zu z gehörenden Punktes in der Gaußschen Zahlenebene zum Ursprung.
Bevor wir andere Darstellungsformen von komplexen Zahlen kennenlernen, möchte ich auf die Ordnung komplexer Zahlen eingehen:
Auf der Realachse ist sicherlich 1 > 0. Aber wie ist das auf der imaginären Achse? Gilt da auch i > 0?
Was meint ihr?
In der Überschrift steckt eigentlich schon alles drin.
Ich rechne das mal auf einem Blatt vor, damit man das mit den Brüchen besser sieht:
Man erweitert den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners.
Dadurch kann man mit der dritten binomischen Formel (endlich merkt man mal, wozu die gut ist), den Nenner zu einer rationalen Zahl umformen.
Der Zähler wird ganz normal ausmultipliziert.
Zum Schluss wird noch vereinfacht.
Fertig.
Wer es unbedingt noch als Formel will:
frustfrei lernen
Übt mal:
(-2+5i)/(3-2i)
Was ist der Kehrwert von 3+i? (Lösung: (3-i)/10)
Zeige, dass der Kehrwert von i die imaginäre Zahl -i ist.
Hinweis: Man kann mit dem konjugiert Komplexen erweitern (-i), es reicht aber auch einfach i.
Zeige, dass der Kehrwert von 3i gleich -1/3*i ist.
So, jetzt könnt ihr komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und ihren Betrag bilden.
Im nächsten Post stellen wir das nochmal zusammen und dann zeige ich euch andere Möglichkeiten komplexe Zahlen darzustellen. Die sind dann für uns noch leichter in geometrische Deutungen umzusetzen. Wer fragen hat, diskutieren möchte: Im Kopf des Blogs steht der Zugang zu SFNonline. Da ist das alles möglich!
Übrigens, mit all dem hat sich Carl Friedrich Gauß 1799 in seiner Doktorarbeit auseinander gesetzt um dann zu zeigen: Alle Gleichungen haben immer eine Lösung!
Genau das wollen wir nachvollziehen...
Also: Wer manchmal etwas nicht gleich versteht...Vor 120 Jahren würdet ihr gerade an einer Doktorarbeit sitzen...
Im Prinzip ist eigentlich alles ganz einfach:
z = 2+i ist eine komplexe Zahl. Will man die mit 3 multiplizieren, dann macht man es so, wie man es gewohnt ist (man kümmert sich nicht um das i):
3*z = 3*(2 + i) = 6 + 3i
Wir zeichnen das mal in ein Koordinatensystem ein und verbinden den Ursprung mit der komplexen Zahl.
Dann erkennen wir, dass das Multiplizieren mit 3 nur die Länge der Verbindungslinie ändert, nicht aber die Richtung.
Multiplikation mit i
Auch hier können wir ohne große Überlegung losrechnen. Wir müssen nur wissen, wofür i steht:
i = √-1, also ist i*i = i² = -1:
Nun können wir rechnen:
i*z = i* (2+i) = 2i+i² = 2i-1 = -1+2i
Auch hier wollen wir die Zahlen in ein Koordinatensystem einzeichnen und mit dem Ursprung verbinden.
Durch die Multiplikation mit i verändert sich die Richtung der Verbindungslinie von Zahl und Ursprung um 90°!
Wir erkennen jetzt eine Drehung der Verbindungslinie um 90° in die andere Richtung (siehe oben meine Zeichnung).
Fazit:
Multipliziert man mit i, so entspricht das einer Drehung um 90° entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn Multipliziert man (-i), so entspricht dies einer Drehung um 90° im Uhrzeigersinn!
Wir werden solche geometrischen Veränderungen durch komplexe Rechnungen bald vertiefen!
Multiplizieren zweier komplexer Zahlen:
Auch hier geht es ganz intuitiv, man muss nur an i² = -1 denken:
Zeichnet das mal selbst auf:
Hier sieht man, dass sich sowohl die Länge als auch die Richtung der Verbindungslinie ändert.
frustfrei lernen
matheistkeinarschloch.de
wolferseder
Noch ein Beispiel:
(2 + 3i) * (2 - 3i)
= 4 + 6i - 6i - 9i²
= 4 + 9 = 13
Hier entsteht eine rein reelle Zahl!
Schaut euch mal die beiden Zahlen an, die miteinander multipliziert wurden!
Man nennt die Zahl 2 - 3i die konjugiert komplexe Zahl zu 2 + 3i. Sie liegt einfach an der x-Achse gespiegelt.
Multipliziert man eine Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, so entsteht eine rein reelle Zahl. Dieser reelle Zahl hat sogar eine Bedeutung: Sie ist das Quadrat der Länge der Verbindungslinie der komplexen Zahl zum Ursprung!
Für Quantenfachleute:
In der Quantenmechanik sind Wellenfunktionen komplexe Zahlen. Multipliziert man eine Wellenfunktion mit ihrer konjugiert komplexen Funktion, so erhält man eine reelle Zahl. Diese Zahl ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit mit der das durch die Welle beschriebene Teilchen auftritt.
Konjugiert komplexe Zahlen:
Zu z = x + iy nennt man z# = x - iy die zu z konjugiert komplexe Zahl
matheonline
Hier ist die konjugiert komplexe Zahl mit einem Strich obendrüber markiert.
Man sieht, dass das - vor dem Imaginärteil das Spiegeln an der x-Achse bewirkt.
Es gilt: z*z# = Quadrat des Betrages der komplexen Zahl z = Quadrat des Abstandes zum Ursprung √(z*z#) = |z| ist der Abstand der Zahl z zum Ursprung.
Informatik Uni Leipzig
Anmerkung: Ich verwende wegen des leichteren Tippens ein # als Markierung für konjugiert komplex, üblich ist ein Strich über z oder ein hochgestellter Stern.
Aufgabe:
Der Betrag |z| ist der Abstand der komplexen Zahl z vom Ursprung.
Beweise, dass √(z*z#) = |z| gilt.
Hinweis: Zeichnet euch das mal in ein Koordinatensystem und bemüht einen alten Griechen, der eine Formel erfunden hat, die jeder kennt...
Zusammenfassung:
Wir haben gelernt, dass man komplexe Zahlen einfach multiplizieren darf. Dabei entstehen Drehungen und Streckungen bzw. Stauchungen.
Die an der reellen Achse gespiegelte Zahl nennt man konjugiert komplex. Die braucht man, wenn man durch Multiplizieren Längen, also reelle Zahlen, herausfinden will.
Und man braucht sie beim Dividieren...dazu aber mehr im nächsten Post.
Komplexe Zahlen existieren nicht auf einem Zahlenstrahl, sondern in einer Ebene. Dadurch weisen sie in eine Richtung:
Vom Ursprung (0,0) ausgehend geht es zur komplexen Zahl z = x+i*y = (x,iy).
Wir werden später sehen, dass man diese komplexe Zahl auch durch die Länge r der Verbindungslinie (Betrag der komplexen Zahl) und dem mit der Re-Achse (x-Achse) eingeschlossenen Winkel beschreiben kann.
Dadurch, dass eine komplexe Zahl eine Richtung in der Ebene festlegt, erweisen sich diese Zahlen als sehr hilfreich, wenn man Prozesse beschreiben möchte, die Richtungen haben, wie Schwingungen oder Wellen oder verschieden gerichtete Anteile wie Wechselströme.
Das geht weit über das ursprüngliche Ziel hinaus, einfach nur Gleichungen umfassender zu lösen.
Viele von euch kennen Pfeile als Darstellung gerichteter Größen. Sie werden auch als Vektoren bezeichnet und auch durch Paare beschrieben.
Komplexe Zahlen sind aber keine Vektoren!
Ihr könnt sie euch durchaus so vorstellen, aber ein Vektor ist ein Zahlengebilde (eigentlich werden die beiden Komponenten übereinander geschrieben), das man auch als Tensor bezeichnet. Tensoren haben beim Wechsel von Koordinatensystemen ganz bestimmte Eigenschaften. Das alles hat mit komplexen Zahlen nichts zu tun...
Trotzdem gibt es gewisse Übereinstimmungen, wie ihr gleich bei der Addition komplexer Zahlen seht.
Bei der Multiplikation ist es dann ganz unterschiedlich: Bei Vektoren gibt es das Skalarprodukt (da kommt was anderes raus, nämlich eine Zahl) und das Kreuprodukt (da kommt wieder ein Vektor raus, aber das ist nicht kommutativ). Wir werden im nächsten Post sehen, dass das bei der Multiplikation komplexer Zahlen wirklich anders abläuft.
Was ist unsere Aufgabe?
- Wir wollen Lösungen der Gleichung x² = -1 beschreiben können.
- Dazu müssen wir neue Zahlen einführen.
- Diese Zahlen müssen die bekannten Zahlen umfassen.
- Alle Rechenarten von den bekannten Zahlen müssen übertragen werden und weiter funkltionieren..
serlo
Schritt 1:
Wir paaren reelle Zahlen zu (x,y). Das ergibt einen Punkt im Koordinatensystem.
(Damit könnte man auch einen Vektor beschreiben, aber das machen wir nicht. Gründe werden später klar Wir bleiben bei Punkten).
frustfreilernen
Schritt 2:
Wir bennenen die Koordinatenachsen um:
Die x-Achse heißt reale Achse. Sie enthält alle reellen Zahlen x.
Die y-Achse wird mit Vielfachen der Lösung unserer Gleichung beschriftet.
Wir nennen ⎷(-1) = i
Keine Ahnung, was ⎷(-1) ist, es ist unvorstellbar, also imaginär. Und da kommt das "i" her.
Auf der y-Achse werden also alle mit i multiplizierten reellen Zahlen abgetragen, also i*y.
Sie heißt jetzt imaginäre Achse.
Damit bekommt ein Punkt im Koordinatensystem jetzt die Koordinaten (x, i*y).
Das IST eine komplexe Zahl!
lernort mint
Erinnert euch daran: Auch die ganzen Zahlen haben wir früher als Paar eingeführt, dann danach nur ein "-" zur Beschreibung verwendet...und bei den Brüchen ist das Paar immer noch als Bruch a/b zu erkennen!
Entsprechend werden wir mehrere andere Schreibweisen für komplexe Zahlen kennen lernen.
Wir kürzen komplexe Zahlen mit z ab, also gilt: z = (x, i*y).
Schritt 3:
Alle reellen Zahlen haben die Form a = (x, i*0) = (x,0).
dafür schreiben wir in Kurzform natürlich a = x.
Wir könnten auch a = x + 0 schreiben....
Schritt 4: Darstellen der Paare durch eine Summe
Machen wir das doch allgemein:
Jede komplexe Zahl kann wie folgt dargestellt werden:
z =(x, i*y) = x + i*y
das war´s...den Rest könntet ihr euch jetzt selbst klar machen...
Keine Angst, ich komme wieder...
Aufgaben:
Aber erst müsst ihr mir mit dieser neuen Schreibweise zeigen, dass 13,7 + 8 = 21,7 ist
Und was ist ⎷(-2) ???
Und was ist ⎷(-1) + ⎷(-2) ??
Und was ist 17,8 + ⎷(-3)?
Bitte zeichnet alle die Aufgaben mal in ein Koordinatensystem mit reeller und imaginärer Achse.
Seht ihr, ihr könnt schon mit komplexen Zahlen rechnen...
Übrigens: ⎷9 + ⎷16 ist nicht 5 sondern 7!!! 😜
Ja, die komplexen Zahlen sind schon seltsam.... Bald werden wir sehen, was man Unglaubliches damit anstellen kann.
Bei den natürlichen und ganzen Zahlen ist klar, dass wir sofort entscheiden können, welche von zwei gegebenen Zahlen die größere ist:
6>5, -3>-7 usw...
Die Zahlen sind ja der Größe nach definiert worden...0 steht in der Mitte, 1 ist die Zahl danach, -1 die Zahl davor....
Bei Brüchen lernt man das in der 6.Klasse:
Um zu erfahren, ob 7/11 oder 8/13 die größere Zahl ist, bringt man beide Brüche auf den gleichen Nenner:
7/11 = 91/141 und 8/13= 88/141. Und schon st alles klar...
Das kann man auch an den Stellen hinter dem Komma entscheiden.
Und daraus lässt sich auch ein allgemeines Verfahren für reelle Zahlen ableiten:
Zwei reelle Zahlen sollen durch Dezimalzahlen dargestellt werden. Nehmen wir den Fall an, dass wir wahnsinnig viele Stellen hinter dem Komma kennen, aber keine Ahnung haben, ob die Ziffernfolge abbricht oder periodisch wird.
Ist auch egal!
3,765982.. vergleiche mit 3,765983...
Bei der zweiten Zahl ist die 6.Stelle größer als bei der ersten Zahl und damit ist die zweite Zahl die größere...vollkommenn egal, was noch an Stellen kommt.
Alle unsere Zahlenbereiche lassen also eine Ordnung der Zahlen zu. Wir können immer entscheiden, welche von zwei gegebenen Zahlen die größere ist.
Und die Mathematiker nennen deshalb die reellen Zahlen einen angeordneten Körper.
Ich schreibe in den nächsten Tagen mal in die Zusatzseiten rein, wie sie einen Körper definieren...
Mit einem angeordneten Körper kann man alles machen, was das Herz eines Mathematikers begehrt...naja nicht ganz...beim Wurzeln stößt man an Grenzen....
Wir werden sehen: wir müssen Opfer bringen, uns geht die Ordnung verloren.
Hab ewas vergessen, die "Lösung" zur Aufgabe im vorletzten Post:
e und π sind jeweils irrational...über die Summe e + π weiß man nichts...sollte wohl irrational sein, aber es gibt keinen Beweis dafür...
Was liegt zwischen Unendlich und alef 1?
In diesem Post will ich nur einige, wie ich finde, höchst spannende, Ergebnisse der Zahlentheorie und Mengenlehre zusammenstellen.
Wer das nicht versteht, wird trotzdem mit komplexen Zahlen arbeiten können...
Wir haben im letzten Post gesehen, dass man alle rationalen Zahlen abzählen kann.
Die Menge der rationalen Zahlen ist also gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen.
Wir dürfen nicht sagen, dass es gleich viele rationale Zahlen wie natürliche Zahlen gibt, denn beide Mengen sind unbegrenzt groß. Deswegen der etwas ausweichende Begriff der "Abzählbarkeit" und "Gleichmächtigkeit": Ich kann durch eine eindeutige Funktion die natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen abbilden.
Es gibt noch andere Mengen, die abzählbar sind, also gleichmächtig zu Q und N:
- die Menge aller Quadratzahlen, aller Kubikzahlen...
- die Menge aller Primzahlen
- die Menge aller gerade bzw. ungeraden Zahlen
- die Menge aller ganzen Zahlen
Alle diese Mengen haben unendlich viel Elemente. Ihre Mächtigkeit nennt man aleph 0.
Cantor hat gezeigt, dass man schon das Intervall zwischen 0 und 1 nicht mehr abzählen kann, wenn man allein die irrationalen Zahlen nimmt.
Also: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 lassen sich nicht zählen, sie sind überabzählbar...ihre Mächtigkeit ist aleph 1.
Das Intervall zwischen 0 und 1 enthält also mehr reelle Zahlen als es natürliche Zahlen gibt.
Das gilt natürlich auch für die gesamten reellen Zahlen!
Und für die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen ebenfalls...
Der Beweis ist sogar gut zu verstehen, führt uns aber vom Ziel zu sehr ab.
Am Ende des Posts verlinke ich ein Video, in dem der Beweis enthalten ist.
Letztlich läuft es darauf hinaus zu zeigen, dass man zu jeder beliebigen Dezimalzahl durch Ändern der Ziffern eine neue Dezimalzahl konstruieren kann, die noch nicht in der Liste aller Dezimalzahlen enthalten ist.
Eine spannende Frage ist:
Gibt es Mengen, deren Mächtigkeit zwischen aleph 0 und aleph 1 liegt?
Hilbert hat 1900 diese Frage als Nummer 1 in die Liste der wichtigen offenen Fragen der Mathematik aufgenommen.
Gödel hat 1940 gezeigt, dass die Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist.
Paul Cohen hat 1963 gezeigt, dass die Nicht-Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist...
Toll...
Zur Zeit beschäftigt sich ein Ein-Personen-Team aus dem SFN mit diesem Thema. Mal sehen was 2020 passiert...
Und hier für die Interessierten das Video:
Noch ein Post...dann sind wir bei den komplexen Zahlen...
Wir haben bisher die folgenden Zahlbereiche kennengelernt:
Natürliche Zahlen N:
(0),1,2,3,....
Ganze Zahlen Z:
....-3, -2 -1 ,0,1, 2, 3, ....
Rationale Zahlen Q:
Alle Bruchzahlen, d.h. auch ganze Zahlen: 4 = 1/2 = 8/2 =...
Alle rationalen Zahlen lassen sich durch periodische oder abbrechende Dezimalzahlen darstellen:
wie 3,25 oder 0,9999999999....
Irrationale Zahlen I:
Dezimalzahlen, deren Ziffernfolge weder periodisch ist noch abbricht
Beispiel: √2, π, e
Reelle Zahlen R:
rationale und irrationale Zahlen
Zu den komplexen Zahlen C kommen wir ja bald.
In diesem Post wollen wir uns damit beschäftigen wieviele dieser Zahlen es gibt...Man denkt sicherlich, dass die irrationalen Zahlen recht selten sind. Es fallen einem ja kaum Beispiele ein. Das ist für ganze Zahlen anders...
Abzählen der Zahlmengen
Natürliche Zahlen:
Natürliche Zahlen kann man leicht zählen...
Wir beginnen mit der 0: 1. Zahl
dann kommt die 1: 2.Zahl
dann die 2: 3.Zahl usw...
es ist klar, dass das so einfach geht...denn wegen des Zählens sind die natürlichen Zahlen ja entstanden...
Ganze Zahlen:
Hm, davon müsste es eigentlich doppelt so viel geben...zu 1 gibt es die -1, zu 2 die -2,....
Falsch:
Es gibt genauso viel ganze Zahlen wie natürliche Zahlen:
Alle natürlichen Zahlen reichen aus um alle ganzen Zahlen zu zählen!
Also:
Es gibt gleich viel natürliche wie ganze Zahlen! In beiden Fällen unendlich viel! Rationale Zahlen: Interessanterweise gibt es auch genau soviel rationale Zahlen wie es natürliche ode rganze Zahlen gibt. Das ist schon seltsam, denn die rationalen Zahlen umfassen ja die ganzen und die die nattürlichen Zahlen... Das liegt aber an der Unendlichkeit...damit wollen wir uns hier nicht näher auseinandersetzen... Es gibt aber ein sofort einleuchtendes verfahren von Cantor, der zeigt, dass man jede Bruchzahl nacheinander mit den natürlichen Zahlen abzählen kann. Dabei werden erweiterte Brüche sogar mehrfach gezählt, also 3/5 und 6/10 haben eine eigene Nummer... Trotzdem gilt:
Es gibt genau so viel rationale Zahlen wie ganze Zahlen und natürliche Zahlen, nämlich unendlich viele!
lunarinformatik uni mainz
Zu den reellen Zahlen kommen wir im nächsten Post.- Ihr werdet euch wundern... Wer das alles ausführlicher und fachlicher haben will, für den ist das folgende 15-minütige Video hilfreich. Wir brauchen das nicht mehr.
PS: Mein Browser schafft es selten die neuen Videos gleich anzuzeigen... Ich weiß nicht wie es bei euch ist...ich muss immer den Cache löschen...
