Teil 2: Vom Zählen und Ordnung schaffen, Teil 1: Doppelt soviel ist gleich viel....?

Wir haben bisher die folgenden Zahlbereiche kennengelernt:

Natürliche Zahlen N: 
 (0),1,2,3,....


Ganze Zahlen Z:
 ....-3, -2 -1 ,0,1, 2, 3, ....

Rationale Zahlen Q:
Alle Bruchzahlen, d.h. auch ganze Zahlen: 4 = 1/2 = 8/2 =...
   Alle rationalen Zahlen lassen sich durch periodische oder abbrechende Dezimalzahlen darstellen:
   wie 3,25 oder 0,9999999999....

Irrationale Zahlen I:
Dezimalzahlen, deren Ziffernfolge weder periodisch ist noch abbricht
  Beispiel: √2, π, e

Reelle Zahlen R:
rationale und irrationale Zahlen


Zu den komplexen Zahlen C kommen wir ja bald.

In diesem Post wollen wir uns damit beschäftigen wieviele dieser Zahlen es gibt...Man denkt sicherlich, dass die irrationalen Zahlen recht selten sind. Es fallen einem ja kaum Beispiele ein. Das ist für ganze Zahlen anders...

Abzählen der Zahlmengen

Natürliche Zahlen:

Natürliche Zahlen kann man leicht zählen...
Wir beginnen mit der 0: 1. Zahl
dann kommt die 1: 2.Zahl
dann die 2: 3.Zahl usw...

es ist klar, dass das so einfach geht...denn wegen des Zählens sind die natürlichen Zahlen ja entstanden...

Ganze Zahlen:

Hm, davon müsste es eigentlich doppelt so viel geben...zu 1 gibt es die -1, zu 2 die -2,....

Falsch:

Es gibt genauso viel ganze Zahlen wie natürliche Zahlen:

0: 1. Zahl, +1: 2. Zahl, -1: 3.Zahl, +2: 4.Zahl, -2: 5.Zahl...

Alle natürlichen Zahlen reichen aus um alle ganzen Zahlen zu zählen!

Also:

Es gibt gleich viel natürliche wie ganze Zahlen!
In beiden Fällen unendlich viel!

Rationale Zahlen:

Interessanterweise gibt es auch genau soviel rationale Zahlen wie es natürliche ode rganze Zahlen gibt. Das ist schon seltsam, denn die rationalen Zahlen umfassen ja die ganzen und die die nattürlichen Zahlen...
Das liegt aber an der Unendlichkeit...damit wollen wir uns hier nicht näher auseinandersetzen...

Es gibt aber ein sofort einleuchtendes verfahren von Cantor, der zeigt, dass man jede Bruchzahl nacheinander mit den natürlichen Zahlen abzählen kann. Dabei werden erweiterte Brüche sogar mehrfach gezählt, also 3/5 und 6/10 haben eine eigene Nummer...

Trotzdem gilt:

Es gibt genau so viel rationale Zahlen wie ganze Zahlen und natürliche Zahlen, nämlich unendlich viele!

 

lunarinformatik uni mainz

Zu den reellen Zahlen kommen wir im nächsten Post.-

Ihr werdet euch wundern...


Wer das alles ausführlicher und fachlicher haben will, für den ist das folgende 15-minütige Video hilfreich. Wir brauchen das nicht mehr.

PS: Mein Browser schafft es selten die neuen Videos gleich anzuzeigen...
Ich weiß nicht wie es bei euch ist...ich muss immer den Cache löschen...