Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 5: Über die verlorene Ordnung

Nichts ist umsonst! Alles hat seinen Preis!

Wir haben zwar mit den komplexen Zahlen eine Möglichkeit gefunden auch Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen und damit jede Gleichung zu lösen (damit werden wir uns bald beschäftigen).

Aber wir müssen einen Preis zahlen:

Wir kennen zwar alle Lösungen, aber wir können sie nicht mehr der Größe nach ordnen.

Die uns aus den reellen Zahlen bekannten Relationen > oder < lassen sich nicht auf die komplexen Zahlen übertragen.
Wie auch, es sind ja irgendwo in der Ebene liegende Punkte...

Nehmen wir mal das Beispiel i und nehmen an, es sei i > 0.
Multiplizieren wir beide Seiten mit i, so erhalten wir i² > 0, also -1 > 0.

Die Annahme i > 0 führt also zu einem Widerspruch (-1 > 0), sie muss falsch sein.

Also ist i < 0?

Denkste...
Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit (-1), müssen dabei das < zu einem > machen: und erhalten:

-i > 0

Wenn also -i positiv ist, dann ist das Produkt zweier positiver Zahlen auch positiv:

(-i)*(-i) > 0

Also gilt: -1 > 0

Auch hier offensichtlich ein Widerspruch, also kann i auch nicht kleiner als 0 sein.

Bleibt nur i = 0: i=0 bedeutet i² = 0, also -1 = 0

Geht auch nicht...

Allein von der imaginären Zahl i können  wir nicht entscheiden, ob sie positiv, negativ oder 0 ist.
Ist irgendwie sprachlich auch logisch: >0 heißt ja rechts von der 0 auf dem reelllen Zahlenstrahl...und da liegt i ja nicht drauf...

Der Philosoph Kant würde von einem Kategorienfehler reden: Die Beziehung > gibt es nur auf dem Strahl der reellen Zahlen und nirgends wo anders...
(Vergleich: Die Relation "kann höher singen" gibt es nur innerhalb der Menge aller  Sängerinnen, nicht in der Menge aller  Brückenpfeiler...)

In der Tat ist die Menge der komplexen Zahlen keine geordnete Zahlenmenge mehr. Eine < - oder > - Beziehung ist nicht erklärbar.

Man könnte eine abgeschwächte > - Beziehung aufstellen: Man bildet den  Betrag der komplexen Zahl, berechnet also ihren Abstand zu 0.
Dann kann man komplexe Zahlen nach ihrem Abstand von der 0 ordnen. Alle gleichweit von 0 entfernte komplexe Zahlen (davon gibt es unendlich viele) liegen auf einem Kreis um den  Ursprung herum.
Das hilft eigentlich nicht viel.

Damit haben wir den Teil 3 (Einführung) fast beendet. Es geht aber weiter...der nächste Post kommt....

mathelounge