Ziel des Workshops

Was sind komplexe Zahlen?
Einführung in das Rechnen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen sind wie Vektoren sind aber keine Vektoren
Warum es Wurzeln aus negativen Zahlen gibt
Exponentialfunktion liefert Kreise
Einfache Beschreibung von Schwingungen durch komplexe Zahlen
Wechselstromwiderstände lassen sich durch komplexe Zahlen zusammenfassen
Erzeugung von fraktalen Mustern durch einfach Gleichungen
....

Dienstag, 12. Mai 2020

Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...I: Der Kondensator

In der letzten Postrunde möchte ich noch eine Anwendung vorstellen, die zu großer Bedeutung gelangt ist:

Komplexe Widerstände

Wechselstrom:
Zuerst müsst ihr den Unterschied zwischen Gleichstrom und Wechselstrom kennen:

Batterien erzeugen Gleichstrom, eine fest orientierte Spannung lässt die Ladungen immer in die gleiche Richtung fließen.
Bei Wechselstrom ändert sich ständig die Stromrichtung, da die antreibende Spannung ihre Polung ständig ändert.

Der ohmsche Widerstand:
Wir alle kennen den normalen ohmschen Widerstand R = U/I, angegeben in Ohm Ω.
Ein Widerstand von 5 Ω bedeutet, dass man für einen Strom von 1 A einen Antrieb von 5 V braucht.
Je höher der Widerstand gegen den Strom ist, desto mehr Spannung benötigt man, um auf die gleiche Stromstärke zu kommen.

Irgendwie logisch...

Ohmsches Gesetz:

Die Formel U = R * I lernen Generationen von Jugendlichen. Dieses Gesetz sagt: Ist der Widerstand konstant, so sind U und I zueinander proportional.
Das gilt sogar für Wechselstrom:
Bei Wechselstrom wechselt etwa 60 mal in der Sekunde die Stromrichtung. Und immer ist der zu jedem Moment fließende Strom zur angelegten Spannung proportional.
Man sagt: U(t) und I(t) sind gleichphasig.

Kondensator im Stromkreis:
Ein Kondensator besteht aus zwei Metallplatten, die sich gegenüber stehen und die gegeneinander isoliert sind.
Beide Platten können durch eine angelegte Spannung U auf jeweils die Ladung Q (auf der einen Platte die positive Ladung Q+ und auf der anderen die negative Ladung Q-) aufgeladen werden.

Es gilt die Gleichung Q = C * U, dabei ist C die Kapazität des Kondensators. Sie gibt an, wieviel Ladung man pro Volt Antrieb auf die Platten bekommt.


Für einen Gleichstrom sperrt ein Kondensator den Stromfluß nachdem er aufgeladen ist.

Ein Wechselstrom spürt den Kondensator als Hindernis, er kann aber hin- und herfließen, so wie das für einen Wechselstrom halt üblich ist:

Der Strom lädt den Kondensator auf, dabei entsteht eine Spannung zwischen den geladenen Platten des Kondensators, die die Stromstärke reduziert. Wenn dann der Strom in die andere Richtung fließt ,kann der Kondensator sich weider entladen. Dieses ständige Auf- und Entladen erzeugt eine ständig wechselnde Spannung am Kondensator, die den Stromfluß behindert.

Der Kondensator hat also einen Wechselstromwiderstand.

Der ist für uns nicht wichtig, trotzdem gebe ich die Formel einmal an:

Rc = 1/(2π*f* C).

Ist die Frequenz f des Wechselstroms ganz hoch, so macht sich die Gegenspannung des Kondensators durch die Aufladung kaum bemerkbar, sein Widerstand für den Wechselstrom ist klein. Das gilt auch, wenn er eine große Kapazität hat, also leicht aufladbar ist.

Für uns ist aber etwas anderes wichtig:

Erst muss ein Strom auf die Kondensatorplatten fließen, damit dort eine Spannung entstehen kann. U(t) und I(t) sind nicht mehr gleichphasig.
Die Stromstärkekurve I(t) eilt der Spannugnskurve U(t) um ein Viertel der Periode des Wechselstroms voraus, also letztlich um 360°/4 = 90°.
Die Phasenverschiebung von U(t) und I(t) bei Wechselstrom ist 90°

Wie geht es weiter?

Im nächsten Post lernen wir die Spule im Wechselstromkreis kennen.

Dann nutzen wir die Phasenverschiebung von 90° aus, um das Verhalten des Wechselstromes mit Realteil und Imaginärteil von komplexen Zahlen zu beschreiben (Trick: Realteile und Imaginärteile komplexer Zahlen  werden auch auf zueinander um 90° gedrehte Achsen dargestellt) und berechnen dann zum Schluß eine elektrische Schaltung mit komplexen Zahlen.
Dabei erhalten wir alle Informationen über die Schaltung schnell und relativ einfach!

Hinweis:

Ich habe noch einen zweiten Blog über Wechselstromtechnik.
Da sind viele der eben erwähnten Aspekte ausführlicher und mathematischer beschrieben. Ich gebe mal Links an, falls jemand etwas mehr und vertieft erfahren möchte, für uns hier im Blog ist das aber nicht wichtig:

Wechselstromwiderstände

Mehr mathematische Info zum Kondensator im Wechselstromkreis

Mehr Infos zum Begriff der Kapazität