Ziel des Workshops

Was sind komplexe Zahlen?
Einführung in das Rechnen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen sind wie Vektoren sind aber keine Vektoren
Warum es Wurzeln aus negativen Zahlen gibt
Exponentialfunktion liefert Kreise
Einfache Beschreibung von Schwingungen durch komplexe Zahlen
Wechselstromwiderstände lassen sich durch komplexe Zahlen zusammenfassen
Erzeugung von fraktalen Mustern durch einfach Gleichungen
....

Sonntag, 26. April 2020

Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 2: Logistische Gleichung

Nun wollen wir unser Rechenverfahren leicht abändern.
Zuerst wollen wir jetzt die Werte für xn als prozentuale Anteile auffassen, d.h. x1 = 0,01 bedeutet, dass 1% des zur Verfügung stehenden Raumes für die Kaninchen belegt ist (durch Kanninchen natürlich). dadurch geben wir keine Anzahlen mehr an, sondern  nur noch Prozente.
Ein Zusatzfaktor (1-xn) begrenzt das Wachstum. Kommt xn an die 1, also an 100% ran,  so wird der Begrenzungsfaktor 1-xn kleiner und die nächste Populationsprozentzahl steigt nicht mehr so stark an.
Vereinfacht: Sind zuviel Kaninchen da, begrenzt sich die Population wegen Platz- oder Nahrungsmangel von allein. Unsere Gleichung lautet jetzt:

x(n+1) = a*xn * (1-xn)  = a*xn - a*(xn)².

Ich schreib das auch nochmal in gewohnter Weise auf:
Ich rechne mal ein paar Beispiele durch.
Wir haben a = 2 und x1 = 0,01:

x(n+1)  a*xn    a*xn * (1-xn)
x2         0,02      0,0198
x3         0,04      0,0388
x4         0,08      0,0746
x5         0, 6       0,0138
x6         1,2        0,238

Rechnet mal nach und zeichnet euch das mal auf...auf die x-Achse die Nummer (die Jahreszahl) und auf der y-Achse der Wert für x(n+1).

Und jetzt müsst ihr spielen...
Nehmt mal verschiedene Anfangswerte x1, variiert die Vermehrungszahl a (a =0,2 oder  a=1 oder  a=3 oder  a=3,4 oder a=5....).

Versucht mal Regelmäßigkeiten zu erkennen.

Alles seltsame, das passiert, liegt daran, dass wir jetzt eine nichtlineare Gleichung haben (es steht ein Quadrat oben n der Gleichung).

Die Gleichung heißt auch Verhulst-Gleichung, nach ihrem Entdecker 1845, oder logistische Gleichung.

Und wenn wir statt reellen Zahlen in der nächsten Runde das mit komplexen Zahlen machen, wird es noch interessanter.

wird fortgesetzt...


Lösung

Für die ersten Jahre ergeben sich die folgendne Werte:

n    xn
1     10
2     20
3     40
4     80 usw.
Der Graph sieht wie folgt aus:
Und wie rechnet man die jahre aus?

Zuerst braucht man die Fläche von Australien in m², das sind 7600 000 000 000 m². Das isz usner Wert xn. Unser Wert für x1 ist 1 m².
Damit können wir nun über den Logarithmus den zugehöriogen Wert für n ausrechnen:

Im nächsten Post verhindern wir das...und dann machen wir das ganze mit komplexen Zahlen und dann passieren ganz andere Dinge...

Fehlerkorrektur: Beim ersten Durchrechnen hatte ich 40,5 Jahre raus...heute morgen nicht...habe dne Fehler nicht gefunden, aber ein aufmerksamer Leser: Ich habe vergessen, dass x1 = 10 ist. Wir haben ja mit 10 Paaren angefangen...
wenn man das ein setzt, erhält man die auch zuerst angegebenen 40,5 Jahre.