Teil 4: Polardarstellung komplexer Zahlen, Abschnitt 3: Wir wurzeln, Teil 3

Wir wurzeln immer weiter...

Hier erst einmal die Lösungen:

Aufgabe 1: Löse z³ = i

Das ist eine Gleichung dritten Grades. Die muss genau drei Lösungen haben...

Schritt 1: 
Schreibe das i in Polardarstellung, aber lasse alle Möglichkeiten für die Winkel zu, also addiere k*360° zu dem Winkel (für i ist das 90° + k*360°).

Schritt 2: 
Ziehe die dritte Wurzel, in dem Du die dritte Wurzel aus dem Betrag (Radius, Vorfaktor) ziehst und den Winkel unter dem cos und dem sin durch 3 teilst (Moivresche Formel).

Schritt 3: 
Gehe von k = 0 aus und bestimme so lange Lösungen, bis sich alles wiederholt...
Bei der dritten Wurzel geht es mit k=0, k=1 und k=2

Schritt 4: 
Jetzt kannst Du schon zeichnen und die Werte abschätzen.

Schritt 5: 
Mit einem Taschenrechner kannst Du Näherungswerte bestimmen.

Ich hab das mal für euch gerechnet:

Eine mögliche Lösung der Gleichung ist -i, also ∛i = -i als ein Wert...
das kann man leicht überprüfen: (i*i)+i = -1*i = - i
Die anderen beiden Lösungen sind komplexe Zahlen, wem langweilig ist, der kann das ja auch mal überprüfen...

Aufgabe 2: Löse z³ = 8

Das ist doch klar...z = 2, weil  ∛8 = 2...
ja, das ist eine der drei Lösungen, denn 2*2*2 = 8
aber es gibt noch zwei weitere Lösungen, das sind aber komplexe Zahlen, da ist die Überprüfung schwieriger als das Ausrechnen:

Wir haben jetzt wirklich gelernt, wie man alle (!!) Wurzeln einer Zahl bestimmt.

Leider müssen wir in Kauf nehmen, dass wir die Lösungen unserer Gleichungen nicht mehr nach der Größe ordnen können...

Und schaut euch mal meine Skizzen an:

Die Lösungen bilden regelmäßige n-Ecke...

Ich finde das faszinierend... Gauß wohl auch, er hat auch gezeigt, dass man das 17-Eck nur mit Zirkel und Lineal konstruieren kann...damals war er 18 jahre alt.

1894 hat Gustav Hermes eine 200 Seiten umfassende Konstruktionsvorschrift für ein 65537 -Eck abgeliefert.
Das war noch Einsatz!

Man kann inzwischen genau beweisen für welche Eckenzahl man die Konstruktion mikt Zirkel und Lineal machen kann.
Früher habe ich in der Klasse 8 das noch für Dreiecke unterrichtet.
Macht man das heute immer noch?

Das Bild hier wird euch jetzt bestimmt was sagen:

Da wurde einmal die zweite, einmal die dritte und einmal die vierte Wurzel aus einer Zahl bestimmt.

Und hier nochmal eine Darstellung mit Geogebra:
Die Zahl z, aus der die dritte Wurzel gezogen wird, ist in grün dargestellt, die drei Wurzeln in rot.

Die besondere Schreibweise mit der e-Funktion lernen wir noch kennen.