Bevor ich andere Darstellungen komplexer Zahlen erkläre, möchte ich erst noch zwei wichtige Gleichungen vorstellen.
Dazu schreiben wir die komplexen Zahlen so hin:
z = Re(z) + i*Im(z), wobei Re(z) der Realanteil und Im(z) der Imaginäranteil ist.
Also: z = 5 + i*7 (oder 5 +7i) hat Re(z) =5 und Im(z) = 7
Dann ist die an der reellen Achse gespiegelte Zahl, das komplex Konjugierte:
z# = Re(z) - i*Im(z).
In unserem Beispiel: z# = 5 - i*7.
Nun kann man leicht zwei Formeln für den Realanteil und den Imaginäranteil einer komplexen Zahl aufstellen:
Re(z) = 1/2 * (z + z#)
Im(z) = 1/(2i) * (z -z#) = -1/2*i * (z-z#)
Überprüfen wir es mal:
Re(z) = 1/2 * (5+7i + 5-7i) = 1/2*10 = 5....stimmt
Im(z) = -1/2*i* (5+7i-(5-7i)) = -1/2*i* (5+7i -5+7i) = -1/2*i*14i = - 7*(-1) = 7 ....stimmt
Herleitung der Formeln:
Man bilde einfach z + z# und z - z# und forme um:
z+z# = Re(z) + i*im(z) + Re(z) -i*im(z) = 2* Re(z) ....
bzw.
z-z# = Re(z) + i*Im(z) - (Re(z) - i*Im(z)) = 2i*Im(z) ....
