Wir legen erst einmal die beiden komplexen Zahlen z1 = r1* (cos φ1 + i* sin φ2)
und z2 = r2 * (cos φ2 + i* sin φ2 ) fest mit den Beträgen r1 und r2 und den Winkeln φ1 und φ2 fest.
Wenn man addieren will, ist es am einfachsten in die bekannte Form z = x + i*y umzurechnen. Wir wollen sie ab jetzt die arithmetische Form nennen.
Die Polardarstellung ist dagegen besonders gut für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen:
Die Formel wollen wir nicht herleiten, das ist im Prinzip aber nicht so schwer. Man muss einfach eine Summe aus Sinüssen und Cosinüssen vereinfachen. Dazu gibt es die Additionstheoreme, die man früher in der Schule herleiten und können musste. Heute werden sie oft in der Schule noch nicht mal erwähnt.
Ich gebe die Endformeln an:
z1 * z2 = r1*r2 * [cos (φ1 + φ2) + i * sin (φ1 + φ2)]
Multiplizieren: Beträge multiplizieren, Winkel addieren
z1 / z2 = r1/r2 * [cos (φ1 - φ2) + i * sin (φ1 - φ2)]
Dividieren: Beträge dividieren, Winkel subtrahieren
Man könnte auch so sagen:
Der Produktzeiger ist weitergedreht und gestreckt worden, der Quotientenzeiger zurückgedreht und gestaucht worden.
Das haben wir schon kennengelernt. Hier noch mal das Bild dazu:
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| matheistkeinarschloch |
Winkel addieren, Zeigerlängen multiplizieren und schon hat man den Produktzeiger.
Am besten ihr übt das mal:
Aufgabe 1:
Zeichnet die Zeiger zu z1 = 2 * (cos 30° + i * sin 30°)
und zu z2 = 3 * (cos 45° + i* sin 45°)
in ein Koordinatensystem
Dann bildet z1*z2 und z1/z2 und zeichnet die neuen Zeiger.
Produkt und Quotient könnt ihr eigentlich direkt aus den Angaben für z1 und z2 ablesen...ihr müsst nurn noch zeichnen...
Irre: Ihr könnt jetzt komplexe Zahlen im Kopf multiplizieren und dividieren! 😎
Zum Schluss noch eine ganz wichtige Formel, die uns bald helfen wird, Wurzeln konkret hinzuschreiben:
Hier wird einfach zⁿ, die n-te Potenz gebildet.
Ihr wisst, was das bedeutet: z*z*z*z*z... (n-mal)...jedesmal wird das r mit sich multipliziert und der Winkel auf sich selbst addiert...
und schon ist die berühmte Formel von Moivre fertig:
zⁿ = rⁿ * [cos(n*φ) + i * sin(n*φ)]
Ihr könnt jetzt übrigens auch komplexe Zahlen im Kopf potenzieren:
Macht das mal...
Aufgabe 2:
Bildet z² und z³ sowie z⁴ zu z = 3 * (cos 80° + i*sin 80°).
Was macht die Zeigerspitze beim Potenzieren?
Wer potenzieren kann, kann auch wurzeln,...und das erkläre ich euch im nächsten Post.
Dann lernen wir auch Vielecke zu zeichnen...
Im übernächsten Post erkläre ich dann die häufigste Schreibweise für komplexe Zahlen, die ein Herr Euler gefunden hat. Und mit der kann man dann richtig viel machen...sogar Kreise zeichnen....
Ach, und falls irgendjemand die beiden genannten Formeln herleiten will, hier die Additionstheoreme:
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