Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 4: Das Feigenbaumdiagramm

Mitchell Feigenbaum (1944 -2019) war ein amerikanischer Physiker, der Pionierarbeit im Bereich Chaos und Fraktale geleistet hat.

In den letzten Posts habt ihr gesehen, und sicher das ein oder andere mal auch  selbst gerechnet, wie man die Folgen von Zahlen x bestimmt, die wir als prozentualen Anteil der Kaninchenpaare an der maximal möglichen Bevölkerung angesehen haben.

Wir haben verschiedene Vermehrungsraten ausprobiert (unsere a Werte) und dabei zeichnet sich die folgende Regel ab (schaut dazu immer mal in dne letzten Post):

a zwischen 0 und 1: 
Die Population stirbt aus. Nach wenigen Jahren ist kein Kaninchen mehr da.

a zwischen 1 und 2: 
Die Population stabilisiert sich zu einer festen Prozentzahl (Grenzwert), die von a                             abhängt:
                                 a - 1/a,

d.h, für a =1 stirbt die Population noch aus, der Grenzwert ist 1 - 1/a = 0.
Aber schon für eine leicht erhöhte Vermehrungsrate von a = 1,1 entsteht der Grenzwert
1,1 - 1/1,1 = 0,191,
d.h. die Population stabilisiert sich auf einen Endwert, der bei 19,1 % der maximal möglichen Populationsgröße liegt.

a zwischen 2 und 3:
Der Endzustand wird abwechselnd von größeren und von kleineren Werten angepeilt, aber erst nach sehr sehr vielen Jahren erreicht.

a zwischen 3 und 3,45:
Nun gibt es zwei mögliche Endzustände, zwischen denen die Population hin- und herwechselt. Dieses Aufteilen sieht wie eine Gabel aus, man nennt das Bifurkation, manchmal irreführend Periodenverdopplung.

a zwischen 3,45 und 3,54: 
Vier mögliche Endzustände wechseln sich ab

Und das geht mit einer immer schnelleren Folge von Verdopplungen weiter, aber:

a größer als 3,57:
Es gibt keine Regelmäßigkeit mehr, die Population verhält sich chaotisch.
Im nächsten Post werden wir klären, was das genau bedeutet.

Schaut nochmal die Bilder vom letzten Post an.
Wenn ich bei diesem chaotischen Fall die Startzahl nur etwas ändere, verläuft die Entwicklung nach wenigen Jahren komplett anders.
Das nennt man die Anfangssensitivität des Chaos. Darauf gehen wir bald ein.

Wir haben also gesehen, für viele a gibt es stabile Endzustände.
Ab a = 3,57 muss man einfach irgendwann die Berechnung abbrechen und den letzten Wert als "End"zustand nehmen.

Wenn man nun alle diese Endzustände gegen das a aufträgt, dann erhält man das weltberühmte Feigenbaumdiagramm. Es ist hier ab a = 2,6 dargestellt.

Das Diagramm hat auch fraktale Strukturen, d.h. es ist aus sich selbst zusammengesetzt. Wenn man hineinzoomt, findet man wieder ein solches Bild:

Wer mit Feigenbaumdiagrammen spielen möchte und auch hineinzoomen möchte, kann das mit der Simualation von Prof. Matzdorf der Uni Kassel sehr gut machen:

Feigenbaumdiagramm Simulation

Mehr im nächsten Post

Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 3: Material für das Feigenbaumdiagramm

Wir arbeiten mit der folgenden Gleichung:

Wir wollen erst einmal die Vermehrungsrate, das a variieren:
a uist das Verhältnis aus der neuen Anzahl der Kaninchenpaare zur alten Anzahl. a =2 beduetet z.B., das jedes Kaninchenpaar zwei weitere erzeugt.

Alle Berechnungen fangen mit x1 = 0,29 an, d.h. 29% der zur Verfügung stehenden Fläche für Kaninchen sind durch Kaninchenpaare belegt.
Die Kurven (erzeugt mit GeoGebra) geben die Entwicklung der Kaninchenpaare für die ersten 30 Jahre an (n ist die Jahresnummer).

a= 0,44

Die Kaninchenpopulation stirbt schon nach wenigen Jahren aus.

a = 1,0

Früher oder später wird auch diese Population aussterben.

a = 1,5

Recht schnell stellt sich ein Gleichgewicht ein zwischen Neuproduktion vion Kaninchen und Beschränkung des Lebensraumes. Die Population ist stabil.

a = 2,94

Auch hier entsteht ein Gleichgewicht, das aber periodisch nach oben und nach unten abweicht. Etwas zuviel Kaninchen in einem jahr behidnern die Ausbreitung im folgendne Jahr, dadurch fallen Einschränkungne weg und die verbliebenen Paare können den Nachwuchs besser durchbringen. Die Abweichungen werden im Laufe der Zeit immer kleiner.

a= 3,42

Am Anfang sieht es so aus, als gäbe es eine Gleichgewichtspopulation. Dann zeigt sich aber sehr schnell, dass es zwei mögliche Zustände gibt: eine Population mit mehr und eine Population mit weniger Kaninchen. Beide Zustände wechseln sich ab. Das nennt man eine Periodenverdopplung, auch Bifurkation.

a= 3,54

Nun haben sich vier mögliche Populationsgrößen eingestellt, die sich ebenfalls ständig abwechseln.

a = 3,76 (Startwert 0,29)

Man wird hier keinerlei Regelmäßigkeit finden,,,die Anzahl der Kaninchen entwickelt sich chaotisch.
Fängt man statt mit x1 = 0, 29 mit einem nur geringfügig anderen Startwert an (hier x1 = 0,3), so entsteht nach wenigen Jahren eine vollkommen andere Entwicklung:

a = 3,76 (Startwert 0,3)

a = 4,0

Wir sind weiterhin im Chaos.
Ist die Vermehrungsrate über 4,0, so steigt der Wert für xn sehr schnell über 1 an, d.h. die Kaninchenpopulation explodiert.
Beispiel: a =5, x1 = 0,29 ergibt nach 4 Jahren eine Überbelegung von 3625 %...

Im nächsten Post fassen wir zusammen und stellen über die Endzustände der Entwicklung das Feigenbaum-Diagramm zusammen.
Daran erklären wir, was Chaos bedeutet und was ein fraktales Muster ist.

Und dann machen wir das mit komplexen Zahlen...