Körperaxiome

Eine Menge (Zahlbereich) bildet einen sog. Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (Rechenarten) auf dieser Menge gibt.
Wir bezeichnen dann die Struktur mit (K, +, *).
Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt werden:

1) (K,t) bildet eine abelsche Gruppe (Gruppe mit Kommutativgesetz).
 
- Sind zwei Elelemente a, b in K, so ist auch a+b in K (Abgeschlossenheit). Man nennt a+b die Summe von a und b
- a+b = b+a (Kommutativität)
- a +(b+c) = (a+b)+c (Assoziativität)
- Es gibt ein Element 0, das nichts macht: a+0 = a (Neutrales Element bezügl. +)
- Zu jeder Zahl gibt es eine Gegenzahl: a + (-a) = 0

2) (K ohne 0, *) bildet auch eine abelsche Gruppe

- Das Produkt a*b ist in K ohne 0
- a*b = b*a
- a*(b*c) = a*(b*c)
- Es gibt ein Element 1, das Nichts macht: a*1 = a (neutrales Element bezügl. *)
- Zu jeder Zahl a gibt es eine Gegenzahl 1/a, s.d. a* 1/a = 1  (Jetzt wird klar, warum für die zweite Verknüpfung die 0 rausgenommen wird)

3) Es gelten die Distributivgesetze:
a*(b+c) = a*b + a*c
(a+b)*c = a*c + b*c

Die reellen Zahlen bilden bezügl. der Addition und der Multiplikation einen Körper.

Also:
In der Schule lernt man Rechnen im Körper der reellen Zahlen!

Auch die komplexen Zahlen bilden bezüglich der Addition und Multiplikation einen Körper.