Quaternionen:
Zahlen der Form a +b* i + c*j + d*k wobei i = j = k = √(-1) und i*j*k = -1 sein muss.
Es sind also vierdimensionale Punkte (a,b,c,d)
Anwendung: Mit der Multiplikation von Quaternionen kann man Drehungen im Raum gut beschreiben. Dabei ist die erste Komponente eine skalere Größe und die anderen drei Komponenten liefern Vektoren.
Nachteil: Produkte sind nicht immer kommutativ, d.h. q*p muss nicht p*q sein.
Wer etwas mehr darüber lernen will, auch wie man Quaternionen addiert, sollte sich dieses (englischsprachige) Video ansehen:
Oktonionen:
Hier gibt es eine reelle und sieben imaginäre Einheiten.
Nachteil: Das Assoziativgesetz für die Multiplikation dieser achtdimensionalen Zahlen gilt nicht mehr.
Sedenionen:
Eine reelle und 15 imaginäre Einheiten liefern Zahlen mit 16 Dimensionen.
Nachteil: Es gibt Nullteiler, d.h. zu einer Zahl A gibt es eine Zahl B, die nicht 0 ist, aber trotzdem A*B = 0 liefert.
In der Schule nutzen wir aus, dass in den üblichen Zahlenmengen keine Nullteiler existieren.
Deshalb können wir sagen:
Ein Produkt a*b ist 0, wenn einer der beiden Faktoren a oder b gleich 0 ist.
Das hilft uns, viele Gleichungen einfach zu lösen: (x -5) * (3x+7) = 0 ergibt x = 5 oder x = -7/3
Würden wir in 16 Dimensionen rechnen, wäre das nicht so einfach...
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