Teil 4: Polardarstellung komplexer Zahlen, Abschnitt 2: Multiplizieren und Dividieren

Rechnen in der Polardarstellung

Wir legen erst einmal die beiden komplexen Zahlen z1 = r1* (cos φ1 + i* sin φ2)
und z2 = r2 * (cos φ2 + i* sin φ2 ) fest mit den Beträgen r1 und r2 und den Winkeln φ1 und φ2 fest.

Wenn man addieren will, ist es am einfachsten in die bekannte Form z = x + i*y  umzurechnen. Wir wollen sie ab jetzt die arithmetische Form nennen.

Die Polardarstellung ist dagegen besonders gut für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen:

Die Formel wollen wir nicht herleiten, das ist im Prinzip aber nicht so schwer. Man muss einfach eine Summe aus Sinüssen und Cosinüssen vereinfachen. Dazu gibt es die Additionstheoreme, die man früher in der Schule herleiten und können musste. Heute  werden  sie oft in der Schule noch nicht mal erwähnt.

Ich gebe die Endformeln an:

z1 * z2 = r1*r2 * [cos (φ1 + φ2) + i * sin (φ1 + φ2)]
Multiplizieren: Beträge  multiplizieren, Winkel addieren

 z1 / z2 = r1/r2 * [cos (φ1 - φ2) + i * sin (φ1 - φ2)]
Dividieren: Beträge dividieren, Winkel subtrahieren 

Man könnte auch so sagen:
Der Produktzeiger ist weitergedreht und gestreckt worden, der Quotientenzeiger zurückgedreht und gestaucht worden.
Das haben wir schon kennengelernt. Hier noch mal das Bild dazu:

matheistkeinarschloch

Und so sieht das in der Polardarstellung aus:
Winkel addieren, Zeigerlängen multiplizieren und schon hat man den Produktzeiger.

Am besten ihr übt das mal:

Aufgabe 1:
Zeichnet die Zeiger zu z1 = 2 * (cos 30° + i * sin 30°)
                         und zu z2 =  3 * (cos 45° + i* sin 45°)
in ein Koordinatensystem

Dann bildet z1*z2 und z1/z2 und zeichnet die neuen Zeiger.
Produkt und Quotient könnt ihr eigentlich direkt aus den Angaben für z1 und z2 ablesen...ihr müsst nurn noch zeichnen...

Irre: Ihr könnt jetzt komplexe Zahlen im Kopf multiplizieren und dividieren!  😎

Zum Schluss noch eine ganz wichtige Formel, die uns bald helfen wird, Wurzeln konkret hinzuschreiben:

Hier wird einfach zⁿ, die n-te Potenz gebildet.

Ihr wisst, was das bedeutet: z*z*z*z*z... (n-mal)...jedesmal wird das r mit sich multipliziert und der Winkel auf sich selbst addiert...
und schon ist die berühmte Formel von Moivre fertig:

zⁿ = rⁿ * [cos(n*φ) + i * sin(n*φ)]


Ihr könnt jetzt übrigens auch komplexe Zahlen im Kopf potenzieren:

Macht das mal...

Aufgabe 2:
Bildet z² und z³ sowie z⁴ zu z = 3 * (cos 80° + i*sin 80°).
Was macht die Zeigerspitze beim Potenzieren?


Wer potenzieren kann, kann auch wurzeln,...und das erkläre ich euch im nächsten Post.
Dann lernen wir auch Vielecke zu zeichnen...

 Im übernächsten  Post erkläre ich dann die häufigste Schreibweise für komplexe Zahlen, die ein Herr Euler gefunden hat. Und mit der kann man dann richtig viel machen...sogar Kreise zeichnen....

Ach, und falls irgendjemand die beiden genannten Formeln herleiten will, hier die Additionstheoreme:

Lösung der Aufgaben oder wie oft kann man die Erde umkreisen bevor man an ein Ende kommt?

a) Gib alle reellen Zahlen in der Polardarstellung an.

r ist beliebig, eben jede reelle Zahl, aber als Winkel können nur 0° (positive reele Zahlen) oder 180° (negative reelle Zahlen vorkommen. Allerdings, wer sagt denn, das man nur einmal herum darf? Auch 350° bzw. 540° bzw.720° produzieren reelle Zahlen:
 Relle Zahlen = z*[cos (0° + k*180°) + i*sin (0° + k*180°)],
    dabei ist z eine reine reelle Zahl und k ist eine beliebige ganze Zahl

b) Welcher Winkel gehört zu den imaginären Zahlen?
Nun: 90° oder 270° oder jeweils immer 180° dazu zählen oder abziehen....
also: 90° + k*180°, k ist eine beliebige ganze Zahl

c) Warum gibt es keine eindeutige Antwort auf diese Fragen?
weil man beliebig oft um Kreise herumlaufen kann, man kommt nie an ein Ende...

d) Wie lautet die Polardarstellung von komplexen Zahlen, die auf der Hauptdiagonalen des Koordinatensystems liegen?
Hier muss man von einem Winkel von 45°, 225°, 405° ....ausgehen und man kann jeden beliebigen Abstand nehmen:
  r*[cos (45° + k*180°) + i*sin(45° + k*180°)]

e) Wie lauten die Polardarstellungen der Zahlen, die auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung liegen?
Hier muss man r= 5 nehmen und den Winkel beliebig lassen:

  r*(cos φ + i*sin φ )

f) Rechne z = 3 + 4i in Polardarstellung um, ebenso z = 3 -4i und z = -3-4i
Ich gebe erst die Formeln an, mit denen man arbeiten muss:

Den Winkel  φ erhält man über das Tangens-Verhältnis: tan φ = Im/Re = y/x, den  Abstand r erhält man über den Pythagoras: r² = x² + y² und dann die Wurzel ziehen.

Da es beim Quadrieren nicht nauf die Vorzeichen ankommt, erhält man für alle drei Fälle r = 5! Die Punkte liegen also alle auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung.

Um das Ergebnis, welches der Taschenrechner ausspuckt (normalerweise nur Winkel zwischen -90° und + 90°)  richtig zu interpretieren, überlegen wir erst, in welchem Quadrant der Punkt liegt.
Achtung: Man muss die Umkehrfunktion vom tan drücken, invtan oder wie auch immer bezeichnet...und der Taschenrechner sollte auf degree stehen....

x       y    Quadrant     tan φ     φ
3       4           I              4/3       53°
3      -4          IV           -4/3       -53° oder 360-53 = 307°
-3     -4          III            4/3       53+180 = 233°
Läge der Punkt in Quadrant II müsste man 180 - 53 = 127° rechnen.
Ja und dann müssen wir noch alle anderen Winkel zulassen, die durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° entstehen.

Meistens begnügt man sich aber ohne diese zusätzlichen Angaben von unendlich vielen Winkeln und spricht dann vom Hauptwert der Lösung.

Das waren Übungsaufgaben, die eigentlich viel Lerninhalt hatten. Also nicht verzagen, wenn man die nicht alleine lösen konnte.

spektrum

Hinweis: Rechts in der Computerversion (unter den Zusatzseiten) gibt es zwei Hilfen zu trigonometrischen Funktionen wie sin und cos...)