Lösung der Aufgaben oder wie oft kann man die Erde umkreisen bevor man an ein Ende kommt?

a) Gib alle reellen Zahlen in der Polardarstellung an.

r ist beliebig, eben jede reelle Zahl, aber als Winkel können nur 0° (positive reele Zahlen) oder 180° (negative reelle Zahlen vorkommen. Allerdings, wer sagt denn, das man nur einmal herum darf? Auch 350° bzw. 540° bzw.720° produzieren reelle Zahlen:
 Relle Zahlen = z*[cos (0° + k*180°) + i*sin (0° + k*180°)],
    dabei ist z eine reine reelle Zahl und k ist eine beliebige ganze Zahl

b) Welcher Winkel gehört zu den imaginären Zahlen?
Nun: 90° oder 270° oder jeweils immer 180° dazu zählen oder abziehen....
also: 90° + k*180°, k ist eine beliebige ganze Zahl

c) Warum gibt es keine eindeutige Antwort auf diese Fragen?
weil man beliebig oft um Kreise herumlaufen kann, man kommt nie an ein Ende...

d) Wie lautet die Polardarstellung von komplexen Zahlen, die auf der Hauptdiagonalen des Koordinatensystems liegen?
Hier muss man von einem Winkel von 45°, 225°, 405° ....ausgehen und man kann jeden beliebigen Abstand nehmen:
  r*[cos (45° + k*180°) + i*sin(45° + k*180°)]

e) Wie lauten die Polardarstellungen der Zahlen, die auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung liegen?
Hier muss man r= 5 nehmen und den Winkel beliebig lassen:

  r*(cos φ + i*sin φ )

f) Rechne z = 3 + 4i in Polardarstellung um, ebenso z = 3 -4i und z = -3-4i
Ich gebe erst die Formeln an, mit denen man arbeiten muss:

Den Winkel  φ erhält man über das Tangens-Verhältnis: tan φ = Im/Re = y/x, den  Abstand r erhält man über den Pythagoras: r² = x² + y² und dann die Wurzel ziehen.

Da es beim Quadrieren nicht nauf die Vorzeichen ankommt, erhält man für alle drei Fälle r = 5! Die Punkte liegen also alle auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung.

Um das Ergebnis, welches der Taschenrechner ausspuckt (normalerweise nur Winkel zwischen -90° und + 90°)  richtig zu interpretieren, überlegen wir erst, in welchem Quadrant der Punkt liegt.
Achtung: Man muss die Umkehrfunktion vom tan drücken, invtan oder wie auch immer bezeichnet...und der Taschenrechner sollte auf degree stehen....

x       y    Quadrant     tan φ     φ
3       4           I              4/3       53°
3      -4          IV           -4/3       -53° oder 360-53 = 307°
-3     -4          III            4/3       53+180 = 233°
Läge der Punkt in Quadrant II müsste man 180 - 53 = 127° rechnen.
Ja und dann müssen wir noch alle anderen Winkel zulassen, die durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° entstehen.

Meistens begnügt man sich aber ohne diese zusätzlichen Angaben von unendlich vielen Winkeln und spricht dann vom Hauptwert der Lösung.

Das waren Übungsaufgaben, die eigentlich viel Lerninhalt hatten. Also nicht verzagen, wenn man die nicht alleine lösen konnte.

spektrum

Hinweis: Rechts in der Computerversion (unter den Zusatzseiten) gibt es zwei Hilfen zu trigonometrischen Funktionen wie sin und cos...)