Rechenregeln

In Gruppen kann man ordentlich rechnen!

Damit ist nicht die Gruppenbildung beim Rechnen gemeint, sondern unter Gruppe versteht man eine bestimmte Art von Zahlenstrukturen:

(1) Wenn ich zwei Zahlen a und b addiere, erhalte ich wieder eine Zahl der gleichen Art.
(2) Kommutativgesetz: a+b = b+a
(3) Assoziativgesetz: a+(b+c) = (a+b)+c
(4) 0 ändert nichts: a+0 = 0, 0 ist ein neutrales Element
(5) Zu jeder Zahl a gibt es eine inverse Zahl -a, so dass a + (-a) = 0

Wenn Zahlen und ihre Verknüpfung (in dem  Fall +) diese Regeln befolgen, spricht man von einer kommutativen Gruppe.
Die Menge der ganzen Zahlen (...-3,-2,-1,0,1,2,3...) bildet bezüglich der Addition eine solche Gruppe.
Die Menge der natürlichen Zahlen bildet mit der Addition keine Gruppe, denn zur Zahl 3 gibt es keine inverse Zahl x, so dass 3 + x = 0 ergibt.

Zusammen mit der Multiplikation bilden die ganzen Zahlen keine Gruppe.
Versucht das mal zu begründen...
Es läuft darauf hinaus, dass zwar 4 eine natürliche Zahl ist, der Kehrwert 1/4 aber nicht...Und überlegt euch, warum 1 jetzt das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist.

Will man mit der Multiplikation eine Gruppe basteln, dann benötigt man mindestens alle Bruchzahlen:
Die Menge der rationalen Zahlen bildet mit der Multiplikation eine kommutative Gruppe.

Überprüft das mal!

Tipp: Invers heißt hier Kehrwert