Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 1: Paarbildung

Einführung von komplexen Zahlen

1) Paarbildung

Was ist unsere Aufgabe?
- Wir wollen Lösungen der Gleichung x² = -1 beschreiben können.
- Dazu müssen wir neue Zahlen einführen.
- Diese Zahlen müssen die bekannten Zahlen umfassen.
- Alle Rechenarten  von den bekannten Zahlen müssen  übertragen werden und weiter funkltionieren..

serlo

Schritt 1:
Wir paaren reelle Zahlen zu (x,y). Das ergibt einen Punkt im Koordinatensystem.
 (Damit könnte man auch einen Vektor beschreiben, aber das machen wir nicht. Gründe werden später klar Wir bleiben bei Punkten).

frustfreilernen

Schritt 2:
Wir bennenen die Koordinatenachsen um:
Die x-Achse heißt reale Achse. Sie enthält alle reellen Zahlen x.
Die y-Achse  wird mit Vielfachen der Lösung unserer Gleichung beschriftet.
Wir nennen ⎷(-1) = i
Keine Ahnung, was ⎷(-1) ist, es ist unvorstellbar, also imaginär. Und da kommt das "i" her.
Auf der y-Achse werden also alle mit i multiplizierten reellen Zahlen abgetragen, also i*y.
Sie heißt jetzt imaginäre Achse.

Damit bekommt ein Punkt im Koordinatensystem jetzt die Koordinaten (x, i*y).

Das IST eine komplexe Zahl!

lernort mint

Erinnert euch daran: Auch die ganzen Zahlen haben wir früher als Paar eingeführt, dann danach nur ein "-" zur Beschreibung verwendet...und bei den Brüchen ist das Paar immer  noch als Bruch a/b zu erkennen!
Entsprechend werden wir mehrere andere Schreibweisen für komplexe Zahlen kennen lernen.

Wir kürzen komplexe Zahlen mit z ab, also gilt: z = (x, i*y).

Schritt 3:
Alle reellen Zahlen haben die Form a = (x, i*0) = (x,0).
dafür schreiben wir in Kurzform natürlich a = x.

Wir könnten auch a = x + 0 schreiben....

Schritt 4:  Darstellen der Paare durch eine Summe

Machen wir das doch allgemein:

Jede komplexe Zahl kann wie folgt dargestellt werden:

z =(x, i*y) = x + i*y

das war´s...den Rest könntet ihr euch jetzt selbst klar machen...

Keine Angst, ich komme wieder...

Aufgaben:

Aber erst müsst ihr mir mit dieser neuen  Schreibweise zeigen, dass 13,7 + 8 = 21,7 ist

Und was ist  ⎷(-2) ???

Und was ist  ⎷(-1)  + ⎷(-2)  ??

Und was ist 17,8 +  ⎷(-3)?

Bitte zeichnet alle die Aufgaben mal in ein Koordinatensystem mit reeller und imaginärer Achse.

Seht ihr, ihr könnt schon mit komplexen Zahlen rechnen...

Übrigens: ⎷9  +    ⎷16  ist nicht 5 sondern 7!!! 😜

Ja, die komplexen Zahlen sind schon seltsam....  Bald werden wir sehen, was man Unglaubliches damit anstellen kann.

physikmultimedial