Zwischenstand

Fazit:

Die ganzen Zahlen haben wir erfunden, damit Gleichungen der Form a + x = b immer lösbar sind.
Wir haben die negativen Zahlen erhalten.

Die rationalen Zahlen haben wir erfunden, damit Gleichugnen der Form a*x = b (a≠0) immer lösbar sind.
Wir haben die Brüche erhalten.

Die reellen Zahlen haben wir erfunden, damit Gleichungen der Form x² = c mit c ≥ 0 immer lösbar sind!
Wir haben die Wurzeln erhalten

Das Problem:

Also x² = 17 können wir durch eine irrationale Zahl lösen..., aber x² = - 17 geht nicht...

Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist.

Ist blöd...also machen wir uns neue Zahlen!
Wir wissen ja schon wie das geht...wir paaren das, was wir haben!

Willkommen bei den komplexen Zahlen!

Teil 2: Vom Zählen und Ordnung schaffen, Teil 3: Fast überall geht es ordentlich zu!

 Welche Zahlen lassen sich ordnen?

Bei den natürlichen und ganzen Zahlen ist klar, dass wir sofort entscheiden  können, welche von zwei gegebenen Zahlen die größere ist:

6>5, -3>-7 usw...

Die Zahlen sind ja der Größe nach definiert worden...0 steht in der Mitte, 1 ist die Zahl danach, -1 die Zahl davor....

Bei Brüchen lernt man das in der 6.Klasse:

Um zu erfahren, ob 7/11 oder 8/13 die größere Zahl ist, bringt man beide Brüche auf den gleichen Nenner:

7/11 = 91/141 und 8/13= 88/141. Und schon st alles klar...

Das kann man auch an den Stellen hinter dem Komma entscheiden.

Und daraus lässt sich auch ein allgemeines Verfahren für reelle Zahlen ableiten:

Zwei reelle Zahlen sollen durch Dezimalzahlen dargestellt werden. Nehmen wir den Fall an, dass wir wahnsinnig viele Stellen hinter dem Komma kennen, aber keine Ahnung haben, ob die Ziffernfolge abbricht oder periodisch wird.
Ist auch egal!

3,765982..  vergleiche mit  3,765983...

Bei der  zweiten Zahl ist die 6.Stelle größer als bei der ersten Zahl und damit ist die zweite Zahl die größere...vollkommenn egal, was noch an Stellen kommt.

Alle unsere Zahlenbereiche lassen also eine Ordnung der Zahlen zu. Wir können immer entscheiden, welche von zwei gegebenen Zahlen die größere ist.

Und die Mathematiker nennen deshalb die reellen Zahlen einen angeordneten Körper.
Ich schreibe in den nächsten Tagen mal in die Zusatzseiten rein, wie sie einen Körper definieren...

Mit einem angeordneten Körper kann man alles machen, was das Herz eines Mathematikers begehrt...naja nicht ganz...beim Wurzeln stößt man an Grenzen....
Wir werden sehen: wir müssen  Opfer bringen, uns geht die Ordnung verloren.


Ende Teil 2

Teil 2: Vom Zählen und Ordnung schaffen, Teil 2: Weniger ist mehr....?

Hab ewas vergessen, die "Lösung" zur Aufgabe im vorletzten Post:

e und π sind jeweils irrational...über die Summe e + π weiß man nichts...sollte wohl irrational sein, aber es gibt keinen Beweis dafür...

Was liegt zwischen Unendlich und alef 1?

In diesem Post will ich nur einige, wie ich finde, höchst spannende, Ergebnisse der Zahlentheorie und Mengenlehre zusammenstellen.
Wer das nicht versteht, wird trotzdem mit komplexen Zahlen arbeiten können...

Wir haben im letzten Post gesehen, dass man alle rationalen Zahlen abzählen kann.

Die Menge der rationalen Zahlen ist also gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen.
Wir dürfen nicht sagen, dass es gleich viele rationale Zahlen wie natürliche Zahlen gibt, denn beide Mengen sind unbegrenzt groß. Deswegen der etwas ausweichende Begriff der "Abzählbarkeit" und "Gleichmächtigkeit": Ich kann durch eine eindeutige Funktion die natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen abbilden.

Es gibt noch andere Mengen, die abzählbar sind, also gleichmächtig zu Q und N:
- die Menge aller Quadratzahlen, aller Kubikzahlen...
- die Menge aller Primzahlen
- die Menge aller gerade bzw. ungeraden Zahlen
- die Menge aller ganzen Zahlen

Alle diese Mengen haben unendlich viel Elemente. Ihre Mächtigkeit nennt man aleph 0.

Cantor hat gezeigt, dass man schon das Intervall zwischen 0 und 1 nicht mehr abzählen kann, wenn man allein die irrationalen Zahlen nimmt.
Also: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 lassen sich nicht zählen, sie sind überabzählbar...ihre Mächtigkeit ist aleph 1.
Das Intervall zwischen 0 und 1 enthält also mehr reelle Zahlen als es natürliche Zahlen gibt.

Das gilt natürlich auch für die gesamten reellen Zahlen!

Und für die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen ebenfalls...

Der Beweis ist sogar gut zu verstehen, führt uns aber vom Ziel zu sehr ab.
Am Ende des Posts verlinke ich ein Video, in dem der Beweis enthalten ist.
Letztlich läuft es darauf hinaus zu zeigen, dass man zu jeder beliebigen Dezimalzahl durch Ändern der Ziffern eine neue Dezimalzahl konstruieren kann, die noch nicht in der Liste aller Dezimalzahlen enthalten ist.

 Eine spannende Frage ist:
Gibt es Mengen, deren Mächtigkeit zwischen aleph 0 und aleph 1 liegt?

Hilbert hat 1900 diese Frage als Nummer 1 in die Liste der wichtigen offenen Fragen der Mathematik aufgenommen.

Gödel hat 1940 gezeigt, dass die Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist.

Paul Cohen hat 1963 gezeigt, dass die Nicht-Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist...

Toll...

Zur Zeit beschäftigt sich ein Ein-Personen-Team aus dem SFN mit diesem Thema. Mal sehen was 2020 passiert...


 Und hier für die Interessierten das Video:
 

 Noch ein Post...dann sind wir bei den komplexen Zahlen...