Sinus und Cosinus

Wenn man sin und cos einführt, dann macht man das am rechtwinkligen Dreieck:

Man bezeichnet damit die vom Winkel abhängenden Seitenverhältnisse:

Lernen mit Serlo

sin α = Gegenkathete/Hypotenuse = a/c
cos α = Ankathete/Hypotenuse = b/c

Das würde so nur Winkel bis 90° zulassen.
Auf beliebige Winkel überträgt man das Ganze dadurch, dass man ein rechtwinkliges Dreieck in einen Kreis mit dem Radius 1 einzeichnet:

Dann hat ein Punkt auf dem Kreis die Koordinaten (cos α, sin α). Vergrößert man den Winkel, wächst bis 90° der sin α, danach nimmt er wieder ab usw..

Auf diese Art kann man für alle Winkel sin und cos angeben, sogar  über 360° hinaus.
Ab 360° wiederholt sich alles: sin 370° = 10°...sin und cos sind periodische Funktionen.

Trägt man die jeweiligen Koordinaten gegen den Winkel auf, so erhält man die bekannten sin- und cos - Kurven.
Beim 90° ist der Sinus 1 und der Cosinus gleich 0, der Punkt hat die Koordinaten (0,1).

GeoGebra A.Briegel

kapiertde

 

Hinweis: Da die Projektion einer Kreisbewegung eine (harmonische) Schwingung darstellt, wird jetzt auch klar, warum Sinuskurven Schwingungen beschreiben.

Hinweis 2:
Sinuskurven kann man verändern. Das macht man durch Veränderungen am Funktionsterm.

Ganz oft nutzt man keine Winkel, sodnern einfache reelle Zahlen, das Bogenmaß (siehe Extraseite).

matheretter

 

 

Wer das nochmal vertiefen möchte (und die Kreisbewegung in Bewegung sehen will), hier zwei Videos: