Ziel des Workshops

Was sind komplexe Zahlen?
Einführung in das Rechnen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen sind wie Vektoren sind aber keine Vektoren
Warum es Wurzeln aus negativen Zahlen gibt
Exponentialfunktion liefert Kreise
Einfache Beschreibung von Schwingungen durch komplexe Zahlen
Wechselstromwiderstände lassen sich durch komplexe Zahlen zusammenfassen
Erzeugung von fraktalen Mustern durch einfach Gleichungen
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Freitag, 1. Mai 2020

Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 6: Was ist eigentlich Chaos?

Der Meterologe Lorenz hat 1963 ein Modell zur Wettervorhersage entwickelt, dass mit drei gekoppelten Differnzialgleichungen arbeitet. Wir wissen heute, das ist ein nicht lineares System, das chaotisches Verhalten zeigt.
Er gab Wetterdaten ein und überlies es einem Ciomputer (ja, die gab es damals auch schon), daraus ein Modell zu rechnen.
Er wollte das wiederholen, rundete aber die Daten leicht (man sagt er hatte keine Lust wieder alle Stellen hinter dem Komma in Lochkarten einzugeben...) und erhielt einen vollkommen anderen Wetterzustand.

Das ist die ein chaotisches Ssystem charakterisierende Anfangssensibilität:
Die Entwicklung des Systems hängt extrem empfindlich vom Startwert ab, schon geringste Änderungen können zu großen Abweichungen führen. Abweichungen wachsen exponentiell. Da man selten Anfangsbedingungen präzise kennt, lässt sich also die weitere Entwicklung des Systems nicht vorhersagen.

Das ist ein weiteres Charakteristikum eines chaotischen Systems: Nichtvorhersagbarkeit.

Trotzdem aber laufen alle Prozesse streng determiniert nach Gesetzen ab.

Für das Feigenbaumdiagramm hatten wir genaue Rechenvorschriften. Ändert man aber den Startwert etwas, findet eine komplett andere Entwicklung statt.

Chaotische Systeme sind nicht vorhersagbar, aber determiniert und haben nichts mit zufälligen Entwicklungen zu tun.

"Der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien beeinflusst das Wetter in Europa" ist zu einem gängigen Sprichwort geworden.


Noch einige weiterführende Anmerkungen:

Die Menge aller möglichen stabilen Endzustände eines Systems nennt man Attraktor. Chaotische
Systeme entwickeln sich häufig auf einen solchen Attraktorzustand hin. Dabei aber bleiben die
chaotischen Eigenschaften erhalten: Obwohl nur eine begrenzte Anzahl von Endzuständen im
Attraktor liegen, laufen die Entwicklungen exponentiell auseinander. Der Attraktor zieht also die
Entwicklungen an und schleudert sie dann in seinem begrenzten Inneren exponentiell auseinander. Das geht nur, wenn der Attraktor fraktale Strukturen hat, eben seltsam ist. Deswegen spricht man vom seltsamen Attraktor.

Fraktale sind extrem komplizierte geometrische Gebilde, die aber durch einfache Regeln (und
Rückkopplungen) erzeugt werden. Sie sind wieder in sich selbst zerlegbar, sie sind sich also selbstähnlich, d.h. in jedem Teil von ihnen steckt ein Bild  des Ganzen (ein Farnzweig sieht entsprechend vergrößert wie ein Farn aus). Fraktale haben gebrochenzahlige Dimensionen, so hat z.B. Kleinfeld 1990 entdeckt, das neuronale Aktivitäten im menschlichen Gehirn fraktale Muster bilden, die die Dimension 1,7 +/- 0,1 besitzen, also fast flächenförmig sind, und deutlich mehr als linear.
Nicht nur Farne, sondern auch Blumenkohl und Broccoli (Hintergrundbild) zeigen fraktale Strukturen.

Eine bekannte fraktale Struktur ist das Sierpinski-Dreieck, das Walter Sierpinski 1915 erfunden hat. Man konsturiert es, in dem man ein Dreieck zeichnet, neue Dreiecke durch Verbinden der Mittelpunkte des Ursprungsdreiecks konstruiert und dann das mittlere der Teildreiecke weglässt. Mit jedem der verbliebenen Dreiecke uiederholt man das Verfahren.
Die Dimension dieses Gebildes ist 1,585, es ist also weder eine Linie noch eine durchgehende Fläche.






Einige von euch kennen das Pascalsche Dreieck (Binomialkoeffizienten), färbt man da die geraden Zahlen weiß, so entsteht auch die Struktur eines Sierpinskidreiecks.

 Ein schönes Beispiel für den Übergang in Chaos ist ein tropfender Wasserhahn. Das kann man zu Hause leicht selbst ausprobieren:

Bei kleinem Wasserdruck kommen die Tropfen regelmäßig. Erhöht man den Wasserdruck
(und damit die Ausströmgeschwindigkeit, das ist der Parameter a, verdoppelt sich immer
wieder die Tropffrequenz bis es zu einem chaotischen Tropfen kommt, das dann in eine
Strömung übergeht.


Da das kein Workshop über Chaos ist, wollen wir uns jetzt Systemen zuwenden, die mit komplexen Zahlen arbeiten. Wir werdne auch so etwas wie ein Feigenbaudiagramm kennenlernen, aber mit viel abenteuerlicheren Strukturen mit fraktalen Eigenschaften, das Apfelbrotmännchen oder auch Mandelbrotmenge und die Juliamengen.