Teil 7: Julia Mengen II

Wir wollen nun lernen, was die bunten graphischen Darstellungen einer Julia Menge bedeuten.

Fall c=0:
Fangen wir mit dem Fall c = 0 an, wir haben also z(n+1) = z(n)².
Es gibt genau drei Möglichkeiten, wie sich die Folge von Werten verhält:
Entweder alle Werte (bzw. die Beträge der komplexen Zahlen)  streben zu 0, ins Unendliche oder der Betrag bleibt |z| =1, d.h. sie bleiben auf dem Einheitskreis.

Streben die Werte gegen 0, sagt man: Die Folge aus Zahlen konvergiert.

Streben die Werte gegen Unendlich, sagt man, dass die Zahlenfolge divergiert.

Liegt eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis, dann ändert sich durch Quadrieren nie ihr Abstand zur 0, lediglich der Winkel wird verdoppelt, d.h. mit jedem Schritt wandert die Zahl auf dem Einheitskreis herum, bleibt aber dort.

Es gibt also zwei Fälle:
Alle Startwerte, die zu einer konvergierenden Zahlenfolge führen, liegen im Einzugsbereich E, alle, die zu einer divergierenden Zahlenfolge führen liegen im Divergenzbereich D.
Die Julia-Menge ist genau die Grenze, sie enthält also alle Startwerte, die gerade noch zu konvergierenden Folgen führen. Sie ist der Rand von der Menge E.

mathe ch

Für unseren Fall ist also klar: Für c = 0 ist die Juliamenge die Kreislinie des Einheitskreises.

Ganz oft gibt es keine mathematischen Gesetzmäßigkeiten, aus denen man das Verhalten der Zahlenfolgen bestimmen kann. Dann legt man eine Grenze fest. Sobald die Zahlenfolge diesen Wert überschreitet, gilt der Startwert als zu D gehörend.
Jetzt kann man noch schauen, wieviele Rechenschritte (Iterationen) man machen musste (wie groß also das n ist, ab der die Grenze überschritten wird) und dann kann man je nach Größe von n dem Startpunkt eine andere Farbe geben.
So entstehen die sich umfassenden farbigen Bereiche...nach Außen überschreitet die Folge immer schneller die vorgegebene Grenze. der innerste dunkle Teil ist dann die Juliamenge.

Die Julia-Menge selbst enthält immer überabzählbar viele Punkte, sie ist also gleichmächtig zur Menge der reellen zahlen. Kann man bei diesem fragilen Gebilde kaum glauben...
Sie sehen fragil aus, sind aber sog. dichte Mengen.
Das erkläre ich am besten an einem einfaschen beispiel: Die Menge der Brüche liegt dicht in der Menge der reellen zahlen. Ihc kann jede irrationale Zahl beliebig genau durch einen Bruch (rationale Zahl) annähern.
Wenn jemand von euch  π  auf 500 Stellen genau kennt, dann weiß er oder sie  wovon ich rede...

π = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 …

Eine Anmerkung sollte ich machen: Wir arbeiten mit komplexen Zahlen, da haben wir gesehen, dass man keine Anordnung machen kann, also nicht sagen kann, wann eine komplexe Zahl größer als eine andere ist. Hier meint man immer den Betrag, also den Abstand zur 0 oder den Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen.

 Fall c= i
 Wir betrachten also jetzt die Folge z(n+1) = z(n)² + i und versuchen wieder herauszufinden ab welchem n die Zahlen (bzw. ihr Betrag!)  eine gegebene Grenze überschreiten (meistens 2).

Was herauskommt habe ich in einem kleinen Film zusammengefasst, der einzelne Iterationsschritte zeigt und am Ende die Julia-Menge und ihre farbig markierte Umgebung.
Solche Simulationen kann man mit dem Programm fractale Extreme selbst machen, für drei Wochen gibt es eine Testversion, danach muss man etwa 10.-€ zahlen.

(Fall ihr den falschen Film, einen früheren, seht: Browser beenden, bereinigen und neu starten...)

Fall  c = -0732 + i*0,241
Das wird wohl kaum jemand per Hand gerechnet haben...
Hier die Juliamenge dazu . Ich bin in Bild 2 bis 4  imemr weiter in das jeweilige Bild hineingezoomt und wir erkennen, was fraktale Struktur bedeutet. Immer wieder taucht das gleiche Motiv auf.

c = -0732 + i*0,241

Weitere Beispiele:

          oben links: c = i,                                                       oben rechts: c = -0,4 + i
          unten links: c = -0,7 + 0,3 i,                                     unten rechts: c = -1,77 + 0,01 i

Wer jetzt schon staunt, sollte warten... im nächsten Post machen wir mit der Gleichung f(z) = z² + c noch ganz andere Dinge...

Teil 7: Julia Mengen I

Was hat es mit solchen schönen Figuren auf sich?

Erst einmal: Es sind Fraktale, immer wieder taucht beim Hineinzoomen das gleiche Motiv auf.

Zweitens: Die Bilder per Hand berechnen erfordert viel, viel Zeit...ist aber eigentlich recht leicht...

Fangen wir an:

Was wir im Film sehen, ist eine Julia Menge.
Julia Mengen sind benannt nach Gaston Julia, der sie 1919 entdeckt hat. Damals gab es keine Taschenrechner! Der hat das alles wirklich per Hand ausgerechnet.
Erst in den  1970-er Jahren, mit dem Aufkommen schnellerer Computer konnte man die fraktale Schönheit wirklich zeigen und genießen.

Julia-Mengen sind Darstellungen von Funktionen, die iterativ berechnet werden. Mehr im nächsten Post.

Wir machen das für ein ganz einfaches Beispiel:

Wir nehmen die komplexe Funktion f(z) = z² + c und setzen den errechneten Wert f(z) immer wieder für z ein, lassen das c fest. Ihr kennt das...das ist die Rückkopplung, die zu chaotischen Strukturen führt.

Das kann man natürlich auch als Folge hinschreiben:

z(n+1) = z(n)²+ c, n ist dann die sogenannte Iterationsnummer.

Man fängt mit n = 0 an und legt den Startwert z(0) fest. Und dann geht es los...

Mein Tipp: macht das mal...

Ich schlage vor:
Erster Fall:
c = 0 mit den Startwerten z(0) = 0, z(0)=  1 und z(0) = i

Wenn ihr das habt, dann wählt mal ein anderes c:

Zweiter Fall:
c = 1 oder c = i

Wie man mit komplexen Zahlen rechnet, haben wir gelernt...

Also los...

Zeichnet immer für jeden Schritt die Punkte in eine Gaußsche Ebene, also in unser Koordinatensystem für komplexe Zahlen. Und macht möglichst viele Schritte...


Wer Langeweile hat, sollte mal verschiedene Startwerte für c = -0,732 + i*0,241 ausprobieren....

Lösungen und mehr Infos  gibt es im nächsten Post