Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 2: Richtungszuweisung und Addition

Komplexe Zahlen legen eine Richtung fest!

Komplexe Zahlen existieren nicht auf einem Zahlenstrahl, sondern in einer Ebene. Dadurch weisen sie in eine Richtung:

Vom Ursprung (0,0) ausgehend geht es zur komplexen Zahl z = x+i*y = (x,iy).
Wir werden später sehen, dass man diese komplexe Zahl auch durch die Länge r der Verbindungslinie (Betrag der komplexen Zahl) und dem mit der Re-Achse (x-Achse) eingeschlossenen Winkel beschreiben kann.

Dadurch, dass eine komplexe Zahl eine Richtung in der Ebene festlegt, erweisen sich diese Zahlen als sehr hilfreich, wenn man Prozesse beschreiben möchte, die Richtungen haben, wie Schwingungen oder Wellen oder verschieden gerichtete Anteile wie Wechselströme.

Das geht weit über das ursprüngliche Ziel hinaus, einfach nur Gleichungen umfassender zu lösen.

Viele von euch kennen Pfeile als Darstellung gerichteter Größen. Sie werden auch als Vektoren bezeichnet und auch durch Paare beschrieben.
Komplexe Zahlen sind aber keine Vektoren!

Ihr könnt sie euch durchaus so vorstellen, aber ein Vektor ist ein Zahlengebilde (eigentlich werden die beiden Komponenten übereinander geschrieben), das man auch als Tensor bezeichnet. Tensoren haben beim Wechsel von Koordinatensystemen ganz bestimmte Eigenschaften. Das alles hat mit komplexen Zahlen nichts zu tun...
Trotzdem gibt es gewisse Übereinstimmungen, wie ihr gleich bei der Addition komplexer Zahlen seht.
Bei der Multiplikation ist es dann ganz unterschiedlich: Bei Vektoren gibt es das Skalarprodukt (da kommt was anderes raus, nämlich eine Zahl) und das Kreuprodukt (da kommt wieder ein Vektor raus, aber das ist nicht kommutativ). Wir werden im nächsten Post sehen, dass das bei der Multiplikation komplexer Zahlen wirklich anders abläuft.

Komplexe Zahlen lassen sich leicht addieren!

Machen wir es einfach mal:

(3,i4) + (2,i5)
= 3 + i4  + 2 + i5
= 3 + 2 + i4 +i5
= 5 + i9
= (5,i9)

Regel: 

Komplexe Zahlen werden addiert, in dem man die Realteile und die Imaginärteile addiert.

Zeichnet euch das mal in ein Koordinatensystem ein: (3,i4) + (2,i5)

Das ist wirklich so, wie ihr das mal bei der Addition von Kräften gelernt habt.

Komplexe Zahlen werden komponentenweise addiert!

matheonline

wiki

 

(a + ib) + (c + id) = (a+b) + i (c+d)

Easy, nicht wahr...Bei der Addition komplexer Zahlen ändern sich Beträge und Richtungen!