Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 3: Rechnen mit Paaren

Nun, zu zweit darf man ja was machen...in der Corona-Krise...also dürfen wir auch mit Paaren rechnen.😁

Wo sind wir gerade?

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Was wollen wir heute herausbekommen?

schule bw

Wir wollen die negativen Zahlen konstruieren!

Und los geht es!


Hier die Lösungen der Aufgaben aus dem letzten Post, die ich gleich zu neuen Erkenntnissen ausbaue:

Beschreibt mal die natürlichen Zahlen 17 sowie 0 sowie 8 durch mehrere passende Gleichungen und stellt diese natürlichen Zahlen durch Paare dar.


17: 1+x=18 oder 5+x=22, also: 17 ≙ (18,1) bzw. (22,5)         ≙ bedeutet  "entspricht"




0: 4+x=4 oder 127+x=127, also 0 ≙ (4,4) bzw. (127,127)
8: 3+x=11 oder 5+x=13, also 8  ≙ (11,3) bzw. (13,5)

Es sind natürlich noch andere Lösungen richtig...unendlich viele sogar...

Regel 1: Man kann eine natürliche Zahl  n durch das Paar (b,a) darstellen, wenn n = b-a ist. b und a sollen selbst auch natürliche Zahlen sein und b soll die größere Zahl sein..
 
Und wer etwas mehr denken möchte:

17 + 8 = 25
8 + 0 = 8

So wird in den natürlichen Zahlen addiert...kennt ihr..
das muss dann auch mit den Paaren gehen...

Könnt ihr die Regel zur Addition von Paaren aufstellen?


Darstellungen für 17 und 8 als Paare kennen wir ja schon, also steht auf der linken Seite:

17 + 8 ≙  (18,1) + (11,3)

Einige von euch haben schon oft mit solchen Paar-Additionen gerechnet und das immer komponentenweise gemacht. Die anderen könnten einfach mal der Gutartigkeit der Mathematik (nicht der Mathematiker!) vertrauen und es einfach ausprobieren:

(18,1) + (11,3) = (18+11, 1+3) = (29,4)  ≙  25

Passt also...Mathematiker nennen das"komponentenweise addieren"..

Und weil es passt, legen wir fest, dass wir Zahlenpaare in Zukunft genau so addieren wollen. Das ist nicht beweisbar, sondern eine sinnvolle Festlegung, die sich bewähren muss.


Regel 2: Die Paare (b,a) und (d,c), wobei b>a und d>c sein muss, repräsentieren die beiden natürlichen Zahlen b-a und d-c
Dann addieren wir komponentenweise:
(b,a) + (d,c) = (b+d, a+c)

Das passt wirklich, denn addieren wir mal die beiden so gegebenen natürlichen Zahlen:
(b-a) + (d-c) = b+d -a-c =(b+d) - (a+c) ≙ (b+d,a+c)
 



Damit haben wir die nächste Frage beantwortet:
Was ist also (b,a) + (d,c) ?



Und auch die nächste Frage wird dann klar:
Und was wäre (a,b) + (c,d)?



(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) 
denn es gilt wieder: (a-b) + (c-d) = (a+c) - (b+d) ≙ (a+c,b+d)

Nun setzen wir mal Zahlen ein. Wir haben ja gesagt: b>a und d>c

also: a=5, b=8, c= 6, d = 13

Nun geht das Rechnen los (ich empfehle selbst zu rechnen, zumindest mit aufzuschreiben, nicht nur lesen...).:

3 +7 ≙  (8,5) + (13,6) = (21,11) ≙ 21-11 = 10

Und hier die Rechnung für die vertauschten Komponenten (ich habe zusammen gehörende Inhalte mit der gleichen Farbe unterlegt):

(5,8) + (6,13) = (11,21) ≙ 11-21 = - 10

 Wir kommen nicht drum herum: Wenn wir mit (21,11) die natürliche Zahl 10 beschreiben können, dann muss (11,21) auch irgend eine Zahl sein...es kann aber keine natürliche Zahl sein.

Schreiben wir mal auf, was passiert, wenn ich die beiden vertauschten Paare addiere:

(21,11) + (11,21) = (32,32)  ≙ (0,0) ≙ 0

Das kennen wir: 10 + (-10) = 0

Das alles passt auch zu den Gleichungen:

Welche Gleichung gehört zu (37,11) und welche Gleichung gehört zu (11,37)?

11 +  x = 37 hat als Lösung x = 26

37 + x = 11 hat als Lösung x = - 26

Fazit:
Wir haben hier auf mathematisch aus bekannten Zahlen neue Zahlen konstruiert. Ich habe dabei auf alles Formale wie Definitionen, Beweise verzichtet. Ich hoffe aber, die Idee ist klar geworden und es leuchtet ein:

Natürliche Zahlen kann man durch Paare (n,m) beschreiben, wobei n und m selbst natürliche Zahlen sind  und n > m sein sollte.
Dann beschreibt das Paar (n,m) die natürliche Zahl n-m.

Vertauscht man die Reihenfolge von n und m, so erhält man neue Zahlen. Diese nennen wir negative Zahlen. Mit ihnen kann man alle Additionen genau so ausführen und über die Paare begründen wie mit natürlichen Zahlen.

Zu jeder natürlichen Zahl (n,m)  ≙ n-m gibt es eine negative Zahl (m,n) ≙ m-n  (in beiden Fällen n>m), die addiert die 0 ergibt.

All das braucht hier im Detail zu komplexen Zahlen nicht zu wissen. 
Aber es hilft euch die seltsame Konstruktion dieser Zahlen (ich denke ihr kommt drauf: es sind Paare aus anderen Zahlen) zu verstehen. Und eines ist hoffentlich deutlich geworden:

Durch Bilden von Paaren kann man aus Zahlen neue Zahlen basteln und die bisherigen Rechenregeln einfach mitnehmen.

Ihr kennt das schon von den Brüchen: 3/5 ist eigentlich auch ein Paar aus dem Zähler 3 und dem Nenner 5.... , aber das vertiefen wir hier nicht...

wiki

Negative Zahlen im Alltag:

Natürlich denken nur Mathematiker so...im Alltag sind die negativen  Zahlen ganz anders entstanden:

Es muss Temperaturen unter 0°C geben...jemand der Schulden hat, solllte ein "-" vor die Zahl in seiner Bilanz setzen,  ...

mathelexikon

päd Institut Bozen

Selbst Mathematiker haben das pragmatischer gemacht:

Als sie eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abziehen wollten, erfanden sie die negativen Zahlen: 57 - 100 = - 43

Steinschule

Also: Eigentlich braucht ihr nur die letzten Sätze mitzunehmen.

Wohin? Zum nächsten Post...

Der wird dann wieder kürzer...versprochen...
Aber:

Ganze Zahlen:
Vorher noch einen neuen Namen, den ihr sicher schon kennt:

Die negativen Zahlen und die natürlichen Zahlen bilden die ganzen Zahlen.
Und welchen Vorteil die für das Lösen von Gleichungen  bringen, machen wir im nächsten Post...
Denn auch die komplexen Zahlen sind erfunden worden, weil man Vorteile beim Lösen von Gleichungen  haben wollte...

Knobelaufgabe:

archemedica

Aber ich möchte euch doch noch, wer will, was zum Knobeln geben:

Auch die Multiplikation kann man für die Zahlenpaare definieren:

Untersucht mal, dass das so sinnvoll festgelegt ist!





 

Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 2: Paare statt Zahlen

Natürliche Zahlen können durch Paare natürlicher Zahlen dargestellt werden:

Ihr habt ja die Gleichung a+x = b untersucht und nur natürliche Zahlen (wir nehmen die 0 immer dazu)  für a und b eingesetzt.
Beispiele:

(1)  4 + x = 7
(2)  7 + x = 4
(3)  0 + x = 0

(4)  9 + x = 9

(5)  3,4 + x =2

Gleichung (1) ist mit natürlichen Zahlen lösbar: x = 3
Gleichung (2) erfüllt zwar die Bedingung, dass a und b natürliche Zahlen sind, aber sie ist nicht mit einer natürlichen Zahl lösbar ( x müsste -3 sein).
Gleichung (3): klappt, x =0
Gleichung (4): klappt, x = 0
Gleichung (5): darf nicht da stehen, denn a = 3,4 ist keine natürliche Zahl.

Also: Die Gleichung ist immer  dann mit einer natürlichen Zahl lösbar, wenn b>a ist.

Jetzt machen wir es erst mal komplizierter:

Wir können die Lösung der Gleichung a + x = b auch als Paar schreiben:
 x = (b,a)   (die Reihenfolge ist beliebig wählbar, ich habe mich so festgelegt).

Damit gilt folgende Regel:

Das geordnete Paar (b,a) ist genau dann eine Lösung der Gleichung a +x = b  (a und b sind natürliche Zahlen) im Bereich der natürlichen Zahlen,. wenn b ≥ a gilt (ist korrigiert worden, hatte vergessen, dass ich die  0 ja dazunehmen will).

Beispiel:

Die Gleichung 7 + x = 9 hat als Lösung x=(9,7)

Vollkommen gleichwertig dazu wäre aber auch die Gleichung 14 + x = 16  mit x = (16,14).

Alle Paare, deren erste Komponente a um 2 größer ist als die zweite Komponente b bezeichnen gleiche (äquivalente) Lösungen von Gleichungen:

Also: Zwei Paare sind äquivalent (gleichwertig), wenn die Differenz ihrer Komponenten gleich sind.

 (b,a) und (d,c) sind gleichwertig, wenn b-a = d-c ist.

In diesem Fall beschreiben beide Paare die gleiche natürliche Zahl n = b-a = d-c.


Natürliche Zahlen n (einschl. 0) können also als Lösungen von linearen Gleichungen der Form a + n = b dargestellt werden, wenn
(1) a und b selbst natürliche Zahlen sind
(2) b ≥ a ist.

Sicher denkt ihr, dass die Mathematiker spinnen, wenn sie etwas so einfaches wie natürliche Zahlen so kompliziert darstellen.
Aber haltet durch, ihr werdet bald die ungeahnten Möglichkeiten sehen, die dahinter stehen.

Bis zum nächsten Post:

Beschreibt mal die natürlichen Zahlen 17 sowie 0 sowie 8 durch mehrere passende Gleichungen und stellt diese natürlichen Zahlen durch Paare dar.

Und wer etwas mehr denken möchte:

17 + 8 = 25
8 + 0 = 8

So wird in den natürlichen Zahlen addiert...kennt ihr..
das muss dann auch mit den Paaren gehen...

Könnt ihr die Regel zur Addition von Paaren aufstellen?

Was ist also (b,a) + (d,c) ?

Und was wäre (a,b) + (c,d)?

Welche Gleichung gehört zu (37,11) und welche Gleichung gehört zu (11,37)?

Na, merkt ihr was?

Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 1: Das Ausgangsmaterial

Natürliche Zahlen als Ausgangsmaterial für alle Zahlen:
Also, was braucht man zum Basteln von Zahlen?
Dinge, von denen man erkennen kann, dass sie mehrfach vorhanden sind.
Schafe zum Beispiel.
Und dann müssen wir Gruppen von Schafen einen Namen geben, der die Stärke der Schafsansammlung beschreibt:
Wir wollen auch eine schaffsfreie Wiese mit der Zahl 0 kennzeichnen.
Sehen wir nur eines der Viecher, so ordnen wir der Menge dieser Schafe die Zahl 1 zu.
Finden wir auf einer Wiese mehrere Schafe, so müssen wir zählen und erhalten dadurch  die Bezeichnungen für die Größe der Schafsmenge.
Das ist so natürlich, dass wir die so erhaltenen Zahlen auch genau so nennen: Durch Abzählen erhalten wir die Menge der natürlichen Zahlen.
Eine beliebige natürliche Zahl wollen wir in Zukufnt mit n bezeichnen.

Diese Zahlen lassen sich auch ordnen: n + 1 > n.
Wir können zum Beispiel die Monate in einem Jahr zählen und dabei auch eine Reihenfolge festlegen, mit der die Monate nacheinander auftreten.

Die Eigenschaften der natürlichen Zahlen hat Peano 1889 erfasst und durch Axiome festgelegt:

1. Die Zahl 0 gehört dazu.
2. Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n+1
3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Die Nachfolgeregelung ist eindeutig: Haben zwei natürliche Zahlen den gleichen Nachfolger, so sind sie auch untereinander gleich.
5. Jede Menge von Objekten, die man so konstruieren kann, die also eine 0 enthält und mit jedem Objekt auch dessen Nachfolger, muss die Menge der natürlichen Zahlen enthalten.

Zum Glück muss man sich damit nicht beschäftigen, man nimmt einfach seine Finger und beginnt zu zählen.

Ich möchte jetzt nicht zeigen, wie man alle euch bekannten Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren kann. Das ist hochspannend, aber wir wollen ja etwas über komplexe Zahlen erfahren.
Trotzdem möchte ich an einem sehr einfachen Beispiel einmal die Konstruktion von neuen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vorführen.

Dazu überlegt euch mal die Lösbarkeit von Gleichungen der Form a + x = b innerhalb der natürlichen Zahlen.
Damit ist gemeint: a, b und x dürfen nur aus der Menge der natürlichen Zahlen entnommen werden.

Bis gleich...