Teil 2: Vom Zählen und Ordnung schaffen, Teil 2: Weniger ist mehr....?

Hab ewas vergessen, die "Lösung" zur Aufgabe im vorletzten Post:

e und π sind jeweils irrational...über die Summe e + π weiß man nichts...sollte wohl irrational sein, aber es gibt keinen Beweis dafür...

Was liegt zwischen Unendlich und alef 1?

In diesem Post will ich nur einige, wie ich finde, höchst spannende, Ergebnisse der Zahlentheorie und Mengenlehre zusammenstellen.
Wer das nicht versteht, wird trotzdem mit komplexen Zahlen arbeiten können...

Wir haben im letzten Post gesehen, dass man alle rationalen Zahlen abzählen kann.

Die Menge der rationalen Zahlen ist also gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen.
Wir dürfen nicht sagen, dass es gleich viele rationale Zahlen wie natürliche Zahlen gibt, denn beide Mengen sind unbegrenzt groß. Deswegen der etwas ausweichende Begriff der "Abzählbarkeit" und "Gleichmächtigkeit": Ich kann durch eine eindeutige Funktion die natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen abbilden.

Es gibt noch andere Mengen, die abzählbar sind, also gleichmächtig zu Q und N:
- die Menge aller Quadratzahlen, aller Kubikzahlen...
- die Menge aller Primzahlen
- die Menge aller gerade bzw. ungeraden Zahlen
- die Menge aller ganzen Zahlen

Alle diese Mengen haben unendlich viel Elemente. Ihre Mächtigkeit nennt man aleph 0.

Cantor hat gezeigt, dass man schon das Intervall zwischen 0 und 1 nicht mehr abzählen kann, wenn man allein die irrationalen Zahlen nimmt.
Also: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 lassen sich nicht zählen, sie sind überabzählbar...ihre Mächtigkeit ist aleph 1.
Das Intervall zwischen 0 und 1 enthält also mehr reelle Zahlen als es natürliche Zahlen gibt.

Das gilt natürlich auch für die gesamten reellen Zahlen!

Und für die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen ebenfalls...

Der Beweis ist sogar gut zu verstehen, führt uns aber vom Ziel zu sehr ab.
Am Ende des Posts verlinke ich ein Video, in dem der Beweis enthalten ist.
Letztlich läuft es darauf hinaus zu zeigen, dass man zu jeder beliebigen Dezimalzahl durch Ändern der Ziffern eine neue Dezimalzahl konstruieren kann, die noch nicht in der Liste aller Dezimalzahlen enthalten ist.

 Eine spannende Frage ist:
Gibt es Mengen, deren Mächtigkeit zwischen aleph 0 und aleph 1 liegt?

Hilbert hat 1900 diese Frage als Nummer 1 in die Liste der wichtigen offenen Fragen der Mathematik aufgenommen.

Gödel hat 1940 gezeigt, dass die Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist.

Paul Cohen hat 1963 gezeigt, dass die Nicht-Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist...

Toll...

Zur Zeit beschäftigt sich ein Ein-Personen-Team aus dem SFN mit diesem Thema. Mal sehen was 2020 passiert...


 Und hier für die Interessierten das Video:
 

 Noch ein Post...dann sind wir bei den komplexen Zahlen...