Teil 7: Das Apfelmännchen II

und wie weit seid ihr??

wie, nicht weiter?

Ich hab das hier:

Im Inneren des Schwarzen liegen alle Zahlen für c, die Folgen mit einer Beschränkung unter 2 liefern. Die Farben und Tönungen markieren ab wieviel Rechenschritten klar ist, dass die Folge divergiert, also die Abstände über die 2 gehen.

Die folgenden Bilder  (von Wolfgang Beyer mit Ultra Fractal 3 angefertigt) zeigen einige vergrößerte Ausschnitte, wir zoomen rein:

Überall lauern Kopien des Apfelbrotmännchens...eine wahrlich fraktale Struktur!

Und das sind nur komplexe Zahlen, die der Rechenanweisung folgen: Quadriere und addiere c dazu...

Und hier ein allgemein zugängliches Zoom-Video:

In den nächsten Posts werden wir mehr über die Mandelbrotmenge erfahren, auch den faszinierenden Zusammenhang zu den Juliamengen herstellen.

Dann werde ich einen Ausblick auf noch umfassendere Zahlbereiche geben (Quaterionen) und zum Abschluss gibt es noch einen kleinen Exkurs zur Anwendung komplexer Zahlen bei Wechselstrom.

So in einer knappen Woche ist der Kurs fertig.

Teil 7: Das Apfelmännchen I

Fachlich spricht man von der Mandelbrotmenge nach Benoit Mandelbrot, der sie 1980 näher untersucht hat.

Wir beschäftigen  uns wieder mit unserer Gleichung z(n+1) = z(n)² + c mit komplexen Zahlen.

Zur Erinnerung: Eine Juliamenge Jc gehört zu einem bestimmten Wert von c und enthält die Startwerte, für die gerade noch eine Konvergenz der Folge von Zahlen z(n) vorliegt.

Jetzt nehmen wir einen festen Startwert, nämlich die reelle Zahl z(0) = 0. Wir arbeiten mit den Konstanten c, für die die Folge der Zahlen z(n) beschränkt bleibt, also z.B. |z(n)| < 2.

Ich hab mir das mal in ein Schema aufgeschrieben:

In einer zu c gehörenden Juliamenge werden also bestimmte Startwerte aufgetragen.
In der Mandelbrotmenge (sie gehört immer zum Startwert 0) werden bestimmte Konstanten der Folgen aufgetragen.
Über meinem Text stehen die Bedingungen zum Auftragen.

In den folgenden Rechnungen schreibe ich die ersten Folgenglieder der Folge z(n) hin:

Beispiel c = 0:

0+0 = 0,
 0+0 = 0,  usw.
c=0 liefert also eine beschränkte Folge, sie bleibt imemr auf dem Startwert hängen, der auf dem Urspung liegt.. Der Punkt c =0 gehört zur Mandelbrotmenge.

Beispiel c = -1:
0 - 1 = -1,
(-1)² + (-1) = 0
dann:  -1, 0, -1, 0...
c= -1 liefert zwei Endwerte, die abwechselnd angenommen werden und die nicht weiter als 2 vom Urspung entfernt liegen. Der Punkt c = -1 gehört zur Mandelbrotmenge. Man sagt, er gehört zu zwei Grenzzyklen.

Hinweis: c = -1 ist eine komplexe Zahl mit dem Realteil -1 und dem Imaginärteil 0.

Beispiel c = +1:
0 + 1 = 1
 1² + 1 = 2
 2² + 1 = 5
 5² + 1 = 26 ...
Diese Folge divergiert, die Zahlen sind schnell außerhalb der vorgegebenen Grenze, d.h.
c = +1 gehört nicht zur Mandelbrotmenge.

Beispiel c = -2:
0 + (-2) = -2
 (-2)² -2 = 2
 2² -2 = 2  usw.
Die Folge ist sofort beim Wert 2, bleibt da, die Werte sind aber nicht kleiner als 2, d.h. c = -2 gehört gerade nicht mehr zur Mandelbrotmenge

Beispiel c = -3:
0 -3 = -3
(-3)² -3 = 6
36 -3 = 33 ...
Die Folge divergiert, ist sofort weiter als 2 vom Urspung weg, c = -3 gehört nicht zur Mandelbrotmenge

Beispiel c = -i:
0 -i = -i.
(-i)² -i = -1-i
(-1-i)² -i = 1 +2i + i² -i = i
i² -i = -1-i, usw...
Es entstehen abwechseln i und -1-i, beide Punkte sind dichter als 2 am Ursprung, c = -i liefert also einen Punkt auf der Mandelbrotmenge. Es ist ebenfalls ein zweier Grenzzyklus.

Beispiel c = i:
0 + i = i
i² + i = -1 + i
(-1+i)² + i = i usw.
Auch hier entsteht ein zweier Grenzzyklus, beide Zahlen sind näher als 2 am Ursprung, c = i gehört auch zur Mandelbrotmenge..

Dann haben wir ja schon ein paar Punkte der Mandelbrotmenge gefunden.
Versucht noch mehr zu finden...
Wie ist es mit c = -0.23 + 0,8*i?

Ich bereite schon mal die Zeichnung vor...
und wenn ihr eure erste Mandelbrotmenge gezeichnet habt, kommt der nächste Post....