Rückblick: Was wir bisher gelernt haben

...gleich mit einigen Ergänzungen:

- Komplexe Zahlen werden als Kombination von reellen und imaginären Zahlen dargestellt. Imaginäre Zahlen sind Vielfache einer Zahl i = √(-1)
Man schreibt z = (x,iy) und nennt y den Imaginärteil der komplexen Zahl, x den Realteil.

- Die Visualisierung komplexer Zahlen geschieht über ein Koordinatensystem. Auf der x-Achse wird der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil dargestellt, manchmal auch i*y.
So ist jede komplexe Zahl ein Punkt im Koordinatensystem, also in der Ebene.
Diese Ebene nennt man auch Gaußsche Zahlenebene.

schulminator

- Wir haben schon eine andere Darstellungsform kennengelernt: z = x + iy. Hier wird eine komplexe Zahl als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl geschrieben.
Diese Darstellung ermöglicht uns die intuitive Übernahme aller bisherigen Rechenarten mit reellen Zahlen. Wir müssen lediglich beachten, dass i²=-1 ist.

 - z# = x -iy nennen wir konjugiert komplex zu z = x + iy.
Das Bild von z# liegt gespiegelt an der x-Achse.
Das Produkt aus einer Zahl mit ihrer komplex konjugierten Zahl ist immer eine reelle Zahl.

Ergänzung für Fortgeschrittene:
Oft werden Produkte in der Mathematik ähnlich definiert. Man nutzt dabei immer einen Raum (komplexe Zahl) und einen Dualraum (komplex konjugierte Zahl). Das Skalarprodukt ist z.B. nicht das Produkt zweier Vektoren sondern das Produkt eines Vektors mit der ihm zugeordneten Linearform aus dem  Dualraum. Nur im kartesischen Koordinatnesystem ist das nicht notwendig. Nur hier sind Raum und Dualraum identisch. Das führt dazu, dass man Vektoren mit ihren dualen Objekten, den Linearformen, identifiziert und denkt, dass sei immer so.
Das wird durchweg in der Schulmathematik so gehandhabt.

Aber in krummlinigen Koordiantensystemen, wie man sie in der Relativitätstheorie braucht, muss man sehr genau unterscheiden.
Vielleicht kennen einige die Formel für den raum-zeitlichen Abstand s² zweier Ereignisse in  der Relativitätstheorie. Es ist nicht s² = x² + (c*t)² sondern s² = x² - (c*t)². Nur im letzten Fall erhält man eine lorentzinvariante Größe, also etwas, was in allen Bezugssystemen unabhängig von deren Bewegung, gleich groß ist.

Ebenso in der Quantenmechanik: Hier spielen komplex konjugierte Objekte eine grundlegende Rolle bei der Übertragung der Rechnungen in die Realität.
Als Operatoren dürfen nur sog. hermitesche Matrizen verwendet werden. Das sind Matrizen (Zahlenschemata), die identisch zu ihrer adjungierten Form sind. Die adjungierte Form einer Matrix erhält man, wenn man die Einträge an der Hauptdiagonalen spiegelt und dabei durch die komplex konjugierten Zahlen ersetzt. So müssen alle Zahlen auf den Hauptdiagonalen reell sein.
Nur hermitesche Matrizen liefern reelle Zahlen als echte Messwerte!


- Betrag einer komplexen Zahl |z| = √(z*z#) bezeichnet den Abstand des zu z gehörenden Punktes in der Gaußschen Zahlenebene zum Ursprung.

Bevor wir andere Darstellungsformen von komplexen Zahlen kennenlernen, möchte ich auf die Ordnung komplexer Zahlen eingehen:

Auf der Realachse ist sicherlich 1 > 0. Aber wie ist das auf der imaginären Achse? Gilt da auch i > 0?
Was meint ihr?