Lösung Kehrwert von i

Kehrwert von i ist erst einmal 1/i, denn i*1/i = 1

(Erinnerung: a/b * b/a = 1)

Jetzt formen wir 1/i durch Erweitern mit i um (rational machen des Nenners)

1/i * i/i = i/(i*i) = i/(-1) = -i

Probe: i * (-i) = -(-1) = 1, stimmt also

Es gilt also: 1/i = -i

Schreibt euch das mal mit Wurzeln hin...

Lösung der Aufgabe

Im vorletzten Post (Abschnitt 3) habe ich eine Aufgabe gestellt:

Hier die Lösung

Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 4: Division

Teilen bedeutet Rationalmachen des Nenners

In der Überschrift steckt eigentlich schon alles drin.
Ich rechne das mal auf einem Blatt vor, damit man das mit den Brüchen besser sieht:

Man erweitert den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners.
Dadurch kann man mit der dritten binomischen Formel (endlich merkt man mal, wozu die gut ist), den Nenner zu einer rationalen Zahl umformen.
Der Zähler wird ganz normal ausmultipliziert.
Zum Schluss wird noch vereinfacht.
Fertig.

Wer es unbedingt noch als Formel will:

frustfrei lernen

Übt mal:
(-2+5i)/(3-2i)
Was ist der Kehrwert von 3+i?   (Lösung: (3-i)/10)

Zeige, dass der Kehrwert von i die imaginäre Zahl -i ist.
Hinweis: Man kann mit dem konjugiert Komplexen erweitern (-i), es reicht aber auch einfach i.

Zeige, dass der Kehrwert von 3i gleich -1/3*i ist.

So, jetzt könnt ihr komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und ihren Betrag bilden.

Im nächsten Post stellen wir das nochmal zusammen und dann zeige ich euch andere Möglichkeiten komplexe Zahlen darzustellen. Die sind dann für uns noch leichter in geometrische Deutungen umzusetzen.
Wer fragen hat, diskutieren möchte: Im Kopf des Blogs steht der Zugang zu SFNonline. Da ist das alles möglich!

Übrigens, mit all dem hat sich Carl Friedrich Gauß 1799 in seiner Doktorarbeit auseinander gesetzt um dann zu zeigen: Alle Gleichungen haben immer eine Lösung!

Genau das wollen wir nachvollziehen...
Also: Wer manchmal etwas nicht gleich versteht...Vor 120 Jahren würdet ihr gerade an einer Doktorarbeit sitzen...

Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 3: Multiplikation und konjugiert komplexe Zahlen

Multiplikation mit einer reellen Zahl

Im Prinzip ist eigentlich alles ganz einfach:
z = 2+i ist eine komplexe Zahl. Will man die mit 3 multiplizieren, dann macht man es so, wie man es gewohnt ist (man kümmert sich nicht um das i):

3*z = 3*(2 + i) = 6 + 3i

Wir zeichnen das mal in ein Koordinatensystem ein und verbinden den Ursprung mit der komplexen Zahl.
Dann erkennen wir, dass das Multiplizieren mit 3 nur die Länge der Verbindungslinie ändert, nicht aber die Richtung.

Multiplikation mit i

Auch hier können wir ohne große Überlegung losrechnen. Wir müssen nur wissen, wofür i steht:
i = √-1, also ist i*i = i² = -1:

Nun können wir rechnen:
i*z = i* (2+i) = 2i+i² = 2i-1 = -1+2i

Auch hier wollen wir  die Zahlen in ein Koordinatensystem einzeichnen und mit dem Ursprung verbinden.
Durch die Multiplikation mit i verändert sich die Richtung der Verbindungslinie von Zahl und Ursprung  um 90°!

faz

Entsprechend: (-i) * (2+i ) = 1-2i
(bitte nachrechnen!).

Wir erkennen jetzt eine Drehung der Verbindungslinie um 90° in die andere Richtung (siehe oben meine Zeichnung).

 Fazit: 

Multipliziert man mit i, so entspricht das einer Drehung um 90° entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn

Multipliziert man (-i), so entspricht dies einer Drehung um 90° im Uhrzeigersinn!

Wir werden solche geometrischen Veränderungen durch komplexe Rechnungen bald vertiefen!


Multiplizieren zweier komplexer Zahlen:

Auch hier geht es ganz intuitiv, man muss nur an i² = -1 denken:

(2+i) * (-3 - 2i)
= -6 - 4i +3i -2i²
= -6 -i +2
= -4 -i

Zeichnet das mal selbst auf:
Hier sieht man, dass sich sowohl die Länge als auch die Richtung der Verbindungslinie ändert.

frustfrei lernen

matheistkeinarschloch.de

wolferseder

Noch ein Beispiel:

(2 + 3i) * (2 - 3i)
= 4 + 6i - 6i - 9i²
= 4 + 9 = 13
Hier entsteht eine rein reelle Zahl!
Schaut euch mal die beiden Zahlen an, die miteinander multipliziert wurden!

Man nennt die Zahl 2 - 3i die konjugiert komplexe Zahl zu 2 + 3i. Sie liegt einfach an der x-Achse gespiegelt.

Multipliziert man eine Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, so entsteht eine rein reelle Zahl.
Dieser reelle Zahl hat sogar eine Bedeutung: Sie ist das Quadrat der Länge der Verbindungslinie der komplexen Zahl zum Ursprung!

Für Quantenfachleute:
In der Quantenmechanik sind Wellenfunktionen komplexe Zahlen. Multipliziert man eine Wellenfunktion mit ihrer konjugiert komplexen Funktion, so erhält man eine reelle Zahl. Diese Zahl  ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit mit der das durch die Welle beschriebene Teilchen  auftritt.

Konjugiert komplexe Zahlen:

Zu z = x + iy nennt man z# = x - iy die zu z konjugiert komplexe Zahl

matheonline

 Hier ist die konjugiert komplexe Zahl mit einem Strich obendrüber markiert.
Man sieht, dass das - vor dem Imaginärteil das Spiegeln an der x-Achse bewirkt.

Es gilt:
z*z# = Quadrat des Betrages der komplexen Zahl z = Quadrat des Abstandes zum Ursprung

√(z*z#) = |z| ist der Abstand der Zahl z zum Ursprung.

Informatik Uni Leipzig

Anmerkung: Ich verwende wegen des leichteren Tippens ein # als Markierung für konjugiert komplex, üblich ist ein Strich über z oder ein hochgestellter Stern.

Aufgabe:
Der Betrag |z| ist der Abstand der komplexen Zahl z vom Ursprung.
Beweise, dass √(z*z#) = |z|  gilt.

Hinweis: Zeichnet euch das mal in ein Koordinatensystem und bemüht einen alten Griechen, der eine Formel erfunden hat, die jeder kennt...

Zusammenfassung:

Wir haben gelernt, dass man komplexe Zahlen einfach multiplizieren darf. Dabei entstehen Drehungen und Streckungen bzw. Stauchungen.

Die an der reellen Achse gespiegelte Zahl nennt man konjugiert komplex. Die braucht man, wenn man durch Multiplizieren Längen, also reelle Zahlen, herausfinden will.

Und man braucht sie beim Dividieren...dazu aber mehr im nächsten Post.