Teil 4: Polardarstellung komplexer Zahlen, Abschnitt 3: Wir wurzeln, Teil 2

Wir wurzeln weiter...

Hier lernt ihr, wie man bei komplexen Zahlen mehrere Werte (komplexe Werte) für Wurzeln erhaltet.

Bei der zweiten Wurzel gibt es zwei Werte, bei der dritten immer (!!!) drei Werte, bei der vierten Wurzel immer vier Werte...
Besser kann es nicht kommen! Da freut sich das Mathematikerinnenherz!

Und zeichnet dann diese Werte mal in das Koordinatensystem ein...alles schön regelmäßig und symmetrisch!

Ich habe euch das erst einmal für √i aufgeschrieben.

Was ungewöhnlich ist...wir dürfen keinen bestimmten Winkel mehr nehmen, sondern immer beliebig viele volle Umdrehungen links- oder rechtsherum zusätzlich. Das drücken wir durch k*360° aus, die wir zuaddieren (oder effektiv abziehen, wenn k negativ ist). Nur für k=0 erhält man den sagen wir "üblichen" Wert...

 Und nun das Ganze für √2:

Ich hab dann am Ende das für die Lösung von Gleichungen z² = i und z² = 2 umgeschrieben.
Man erhält dann jeweils zwei Lösungen.
Macht mal die Probe...setzt für z mal jede der beiden Lösungen ein und rechnet das nach...es kommt wirklich hin! Ich habe das für z² = i angefangen, aber dann abgebrochen...sollt ihr mal selbst weitermachen...

So und nun kommen wir zum nächnsten Schritt:

Macht das jetzt mal für die dritten Wurzeln! Also bestimmt die Lösungen für die folgenden Gleichungen:

   z³ = i sowie z³ = 8

Denkt dran: dritte Wurzel bedeutet hoch 1/3!
Haltet euch ruhig an die Vorlagen oben und zeichnet mal die jeweils drei Lösungen in das Koordinatensystem ein!