Ergänzung

Für einige sind vielleicht solche Summenformeln ungewohnt, deshalb führe ich hier mal Rechnungen vor:
Nehmen wir 3,14, das ist ungefähr Pi π, d.h. wir wissen, was bei Sinus und Cosinus rauskommen muss:
sin π = sin 180° = 0
cos π = cos 180° = -1

Nun rechnen wir mit den ersten Summanden  unserer Formeln:

sin x = x/1 - x³/3! + ...
          = 3,14 - 30,96/6 + 305,2/120 = 0,52
Das liegt noch nicht sonderlich dicht an 0, aber der nächste Summand ergibt - 0,6 und schon sind wir bei 0,08...

cos x = 1-x²/2 + ...
         = 1 -4,93 + 4,05
         = 0,12 passt auch noch nicht sehr gut...
der nächste Summand liefert - 1,33 und wir sind bei - 1,21

Man sieht, ein Taschenrechner muss da wesentlich mehr Summenden zusammentragen...

Und zum Schluß die e-Funktion:

Wir setzen x = 1, dann muss e = 2,7 herauskommen...

  e = 1 + 1+1/2+ 1/6 + 1/24 = 2,71...da haben wir schon mit 5 Summanden einen guten Wert für e erhalten...

Teil 5: Die komplexe e-Funktion, Abschnitt 1: e-Funktion im Reellen

Teil 5: Die komplexe e-Funktion

Abschnitt 1: Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall - die reelle e-Funktion

Leider hat uns die Corona-Pandemie vor Augen geführt, was exponentielles Anwachsen bedeutet. Am Anfang meint man, Wirkungen kaum zu spüren und lange Zeit sieht es so aus, als ändere sich nichts...
Und dann plötzlich geht es los...

Berühmt ist folgendes Beispiel:
Legt man auf das erste Feld eines Schachbrettes ein Reiskorn, und verdoppelt auf dem nächsten Feld immer  die Anzahl, dann kann man mit dem Reis, der auf den ersten 8 Feldern liegt, sich noch nicht einmal satt essen.
Aber die gesamte Weltreisproduktion reicht nicht, um alle 64 Felder des Schachbrettes zu füllen...

Wer sich etwas ausführlicher damit beschäftigen möchte, auch mathematisch, und auf Corona bezogen, dem sei dieses Video empfohlen:

Eine besondere Bedeutung hat die Funktion f(x) = exp (x) = eˣ.

Die Zahl e = 2,78...haben wir am 5.4. schon kennengelernt.

Irrationale Zahlen

Sie ist eine irrationale Zahl, als Basis einer Exponentialfunktion bewirkt sie, dass an jeder Stelle der Funktionswert so groß wie die Ableitung, also die Steigung, ist.

Entsprechend beschreibt exp(-x) einen exponentiellen Abfall.

Ich wiederhole das so ausführlich, weil wir im nächsten Post sehen werden, dass die komplexe e-Funktion wirklich total andere Eigenschaften hat!

Da wächst und fällt nichts mehr, da kreist es nur noch...

Um das nachvollziehen zu können, müsst ihr mir das Folgende noch abnehmen:

Darstellung der Funktionen durch eine Summe:

Alle in der Schule vorkommenden (d.-h. nicht bösartigen)  Funktionen kann man auch über eine sogenannte Reihenentwicklung ausrechnen, d.h. über eine Summe:

Sinus-Funktion:

Der erste Teil ist die abgekürzte Summenschreibweise, aber den zweiten Teil sollten alle verstehen:
Wenn ich den Sinus einer Zahl x (im Bogenmaß) berechnen will, muss ich abwechselnd alle ungeraden Exponenten dieser Zahl addieren. Dabei muss ich noch durch die Fakultät des Exponenten teilen. Die Fakultät ist ein Produkt und wird mit ! markiert:
3! bedeutet 1*2*3, 5! = 1*2*3*4*5 usw.

So etwas gibt es auch für die cosinus-Funktion:

Hier sind es die geraden Exponenten, die man nehmen muss.

Ein Taschenrechner kann übrigens nur addieren  und multiplizieren und er berechnet sin und cos über diese Summen. Man kann nach wenigen Summanden abbrechen und erhält ausreichend gute Werte.

Und nun das  Gleiche für die Exponentialfunktion:

Hier wird nur addiert...
Diese drei Reihen sehen ähnlich aus (das liegt daran, dass sie alles sog. Potenzreihen sind), aber ansonsten haben sie nichts miteinander zu tun...

Das wird sich ändern, wenn wir im nächsten Post die imaginäre Einheit i da rein schreiben...

Dann sind wir bei der sicher erstaunlichsten Form der Darstellung komplexer Zahlen, können seltsame Zusammenhänge erkunden und verstehen endlich, was ein Kreis ist...