tag:blogger.com,1999:blog-16376087107591094812024-02-07T03:32:36.366+01:00Komplexe Zahlen, Elektrotechnik und FraktaleWegen der Corona-Pandemie ist das SFN geschlossen. Der Ferienworkshop Mathematik findet deshalb als Blog statt.
Austausch und Diskussion in SFN-Online https://discord.gg/eh6eP6EKP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.comBlogger67125tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-32334643194571563622020-05-30T15:06:00.001+02:002020-05-30T15:06:43.092+02:00Fortsetzung folgt....Am ersten Samstag der Sommerferien findet wieder ein Ferienworkshop für alle besonders an Mathematik Interessierte statt:<br />
<br />
<span style="background-color: yellow;"><span style="font-size: large;"><strong>Warum rechnet man in der Quantenmechanik mit komplexen Zahlen?</strong></span></span><br />
<span style="background-color: yellow;"><span style="font-size: large;">
</span></span><span style="background-color: yellow;"><span style="font-size: large;">Sa, 4.7., 14-17 Uhr</span></span><br />
<span style="background-color: yellow;"><span style="font-size: large;">
</span></span><span style="background-color: yellow;"><span style="font-size: large;">Teilnahme nur nach Voranmeldung unter <span id="cloakfac2c52053367bf644314f6c06120528"><a href="mailto:info@sfn-kassel.de">info@sfn-kassel.de</a></span></span></span><br />
<br />
Das Wissen über komplexe Zahlen sollte man sich vorher über unseren Online-Workshop angeeignet haben<br />
<a href="https://sfnkomplexezahlen.blogspot.com/">https://sfnkomplexezahlen.blogspot.com/</a><br />
<br />
Das notwendige Wissen über quantenmechanische komplexe Wellen erwirbt man im Workshop.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDYCtoAZCNjPgxKHNzpVUBltnOnPF9WaD1d7dBqKNWrfBSfXCI-6YTIkW_tKo_2Ivxg4MnNHGkHzmITu0uqD5gKWT4Rvhqot3XOjbwRdMCAqhBJL5QhpjO33bUl8vQtFaBOZBfof6r3-h_/s1600/qmz.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="254" data-original-width="551" height="292" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDYCtoAZCNjPgxKHNzpVUBltnOnPF9WaD1d7dBqKNWrfBSfXCI-6YTIkW_tKo_2Ivxg4MnNHGkHzmITu0uqD5gKWT4Rvhqot3XOjbwRdMCAqhBJL5QhpjO33bUl8vQtFaBOZBfof6r3-h_/s640/qmz.jpg" width="640" /></a></div>
KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-40414411439961592702020-05-23T23:32:00.000+02:002020-05-23T23:38:46.772+02:00InhaltsverzeichnisIch hoffe, dieser reine Mathe-Blog hat etwas Spaß gemacht.<br />
Wer mehr lernen möchte: Ich habe noch einen Blogs über Wechselstromtechnik und elektromagnetische Schwingungen, IR-Astronomie und im Astronomie-Blog sind oft Postserien über Elementarteilchen, Quanten und Kosmologie.<br />
Ich plane einen neuen Blog über Schall und Dopplereffekt. Ab und an mal hier reinsehen, ich werde ihn hier ankündigen.<br />
<br />
<u><b>Inhaltsverzeichnis:</b></u><br />
<br />
0. Einführung<br />
<br />
1. <u><b>Wie man sich neue Zahlen bastelt</b></u><br />
1.1 Das Ausgangsmaterial: natürliche Zahlen<br />
1.2 Paare statt Zahlen<br />
1.3 Rechnen mit Paaren<br />
1.4 Warum Mathematiker die ganzen Zahlen erfunden haben<br />
1.5 Brüche bilden rationale Zahlen<br />
1.6 Rational sein ist nicht alles<br />
1.7 Irrational<br />
<br />
2. <u><b>Vom Zählen und Ordnung schaffen</b></u><br />
2.1 Doppelt soviel ist gleich viel?<br />
2.2 Weniger ist mehr?<br />
2.3 Fast überall geht es ordentlich zu<br />
<br />
3. <u><b>Einführen von komplexen Zahlen</b></u><br />
3.1 Einleitung<br />
3.2 Paarbildung<br />
3.3 Übugnen und Lösungen<br />
3.4 Richtungszuweisung und Addition<br />
3.5 Übungen<br />
3.6 Multiplikation und konjugiert kompelxe Zahlen<br />
3.7 Division<br />
3.8 Aufgaben und Lösungen<br />
3.9 Der Kehrwert von i<br />
3.10 Über die verlorene Ordnung<br />
3.11 Zwei wichtige Gleichungen<br />
<br />
4. <u><b>Polardarstellung komplexer Zahlen</b></u><br />
4.1 Einführung, Aufgaben und Lösungen<br />
4.2 Multiplikation und Division<br />
4.3 Lösungen<br />
4.4 Wir wurzeln<br />
4.4.1 √i und √8<br />
4.4.2 z³ = i<br />
4.4.3 z³ = 8<br />
<br />
5. <u><b>Die komplexe Exponentialfunktion </b></u><br />
5.1. Die e-Funktion im Reellen<br />
5.2 Exponentielles Wachstum<br />
5.3 Das i im Exponenten macht den Kreis<br />
5.4 Irrational und Imaginär: zusammen wird es natürlich<br />
5.5. Formelön für Sinus und Cosinus<br />
<br />
6. <u><b>Vom Komplexen ins Chaos</b></u><br />
6.1 Von Räubern und beute<br />
6.2 Die logistische Gleichung<br />
6.3 Material für ein Feigenbaumdiagramm<br />
6.4 Das Feigenbaumdiagramm<br />
6.5 Das Chaos im Feigenbaumdiagramm<br />
6.6 Was ist Chaos?<br />
<br />
7. <u><b>Fraktale</b></u><br />
7.1 Juliamengen<br />
7.2 Apfelmännchen<br />
7.3 Apfelmännchen und Feigenbaumdiagramm<br />
7.4 Video<br />
<br />
8. <u><b>Hyperkomplexe Zahlen</b></u><br />
<br />
Einschub: <u><b>Aus Imaginär wird reell</b></u><br />
<br />
9. <u><b>Komplexe Funktionen</b></u><br />
<br />
10. <u><b>Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...</b></u><br />
10.1 Der Kondensator<br />
10.2 Die Spule<br />
Zugabe: Experimente<br />
10.3 Drehende Zeiger<br />
10.4 Komplexe Widerstände<br />
10.5. Vertiefungen<br />
10.6 Wirk, Blind und Schein<br />
10.7 Beispiel: Berechnung einer Brückenschaltung<br />
<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
<br />
<u><b>Zusatzseiten:</b></u><br />
<br />
I. Überblick über Zahlsysteme<br />
II. Rechenregel<br />
III. Körperaxiome<br />
IV. Ordnungsrelationen<br />
V. Sinus und Cosinus<br />
VI. Bogenmaß statt Winkel<br />
VII. Lineare Funktionen<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXkuS4glDkc1BmcQBypow_RVRE34YMlCJ1GZPI6HvsNWCGaxOLC0TlbcZWaVpGHVtW2rabqELHLMXLspBDfdGGEQGR3vy8gKLC-Y053_8djqCqru2Bl7-DY8TyVV0XxnhJ_YzpUgYCq7yG/s1600/harvard.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="355" data-original-width="474" height="478" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgXkuS4glDkc1BmcQBypow_RVRE34YMlCJ1GZPI6HvsNWCGaxOLC0TlbcZWaVpGHVtW2rabqELHLMXLspBDfdGGEQGR3vy8gKLC-Y053_8djqCqru2Bl7-DY8TyVV0XxnhJ_YzpUgYCq7yG/s640/harvard.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4u-7IwQ0cRBBdIjooMLIQNQFRWoE7wLHerXvMYHQ0L4UwVR7gwMyKz5WtssIv8pXa_vtf0cIsAtHZN5yfOyc3dWTgeSI6ZRTtb-F_XLKWbC9EHjuGuncz9baOTUxefGwcSfsx9YnvjZ1z/s1600/Mandelbrot_sequence_new.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="240" data-original-width="320" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj4u-7IwQ0cRBBdIjooMLIQNQFRWoE7wLHerXvMYHQ0L4UwVR7gwMyKz5WtssIv8pXa_vtf0cIsAtHZN5yfOyc3dWTgeSI6ZRTtb-F_XLKWbC9EHjuGuncz9baOTUxefGwcSfsx9YnvjZ1z/s640/Mandelbrot_sequence_new.gif" width="640" /></a></div>
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-34670605308957650502020-05-21T10:42:00.002+02:002022-04-27T11:58:56.846+02:00Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...VII: Beispiel Berechnung einer BrückenschaltungZum Abschluss möchte ich einmal zeigen, wie man mit Hilfe der komplexen Widerstände in einem Rechengang Ströme und Phasen in einer Schaltung berechnen kann.<br />
Die Rechnungen werden mit Texten eingeführt, sind als Bilder zu sehen und werden in Videos erläutert (sollten die falschen Videos auftauchen, bitte Browser beenden, bereinigen und neu starten...).<br />
<br />
Zuerst stelle ich die Schaltung vor:<br />
<br />
Es ist eine Brückenschaltung, d.h. längs der Seiten eines Quadrates sind Widerstände angeordnet und quer über die Diagonale (die Brücke) hinweg ebenfalls. Da so der Eindruck eines "H" entsteht, nennt man die Schaltung auch H-Schaltung.<br />
Solche Schaltungen kommen mit ohmschen Widerständen häufig vor. Dabei ist ein Widerstand auf einer Quadratseite variabel. Ihn kann man so verstellen, dass in der Brücke kein Strom fließt.<br />
Damit kann man z.B. sehr präzise Widerstände messen.<br />
<br />
Wir wollen eine Brückenschaltung verwenden, die mit Wechselstrom arbeitet und dabei erreichen, dass der Strom über die Brücke von der Frequenz unabhängig ist. Das ist nur für einen bestimmten Brückenwiderstand möglich.<br />
<br />
Hier die Schaltung und Video 1:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLs1HqElFCtkysvv4zKGM_2eIYc4DPbRguFB9mUubfyUrT7ySzEPANh_BxDFDc2NHL5O7GNBdpLiLaFXtR7AEVpefGFOHHGW46Wj-9qVsyTOv2gGEEU5T8jCqYvpME21cBC7YdU9-R7IM2/s1600/Schaltung.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1008" data-original-width="1600" height="402" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhLs1HqElFCtkysvv4zKGM_2eIYc4DPbRguFB9mUubfyUrT7ySzEPANh_BxDFDc2NHL5O7GNBdpLiLaFXtR7AEVpefGFOHHGW46Wj-9qVsyTOv2gGEEU5T8jCqYvpME21cBC7YdU9-R7IM2/s640/Schaltung.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dw3JLN7gNiEHselNxvoWyKFkRhcUiAzzWF7kratwHT-8GUqJuH5HvdT5kovARYAgcS1rIySEx6sS52WrmYj2g' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
In der Elektrotechnik benutzt man Knoten- und Maschenregeln.<br />
Ein Knoten ist eine Stelle, an der mehrere Leiter zusammentreffen, verknotet sind. Im Knoten darf kein Strom fließen, also muss die Summe aller hineinfließenden Ströme so groß sein wie die Summe aller herausfließenden Ströme.<br />
Versieht man alle Ströme je nach Richtung mit einem Vorzeichen, so muss die Summe aller Ströme im Knoten 0 sein.<br />
<br />
Damit fangen wir an:<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifTktb8BSfgez1KzpwOW2ujxnvz5ccHG7NAqFyjKeaDcJ9HrtcEx_3ieX6zVraudR4QMhxVwzTd7NtIy7xQQCzGWLY_cEaHdArt2rMpH3TvzY74g5ZW2ALiIlQfim8cs-kJmqcVRHS23Jx/s1600/maschen+und+Knoten.jpg" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1122" data-original-width="1600" height="448" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEifTktb8BSfgez1KzpwOW2ujxnvz5ccHG7NAqFyjKeaDcJ9HrtcEx_3ieX6zVraudR4QMhxVwzTd7NtIy7xQQCzGWLY_cEaHdArt2rMpH3TvzY74g5ZW2ALiIlQfim8cs-kJmqcVRHS23Jx/s640/maschen+und+Knoten.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Anwendung Maschen- und Knotenregel</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dwigVV4-g3ixO7N6oyBQUKwAtS_wuklHVOuzPWPiJCaUwIhtsDhZhUEO9E-GgQW28v-xp_Mm_RtkA-YnzU8XQ' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
<br />
<br />
Eine Masche ist ein in sich geschlossener Teilstromkreis. Die Summe aller Spannungen in einem Stromkreis muss immer 0 ergeben, das gilt auch in einer Masche. Durchlaufen wir dabei das Innere des Generators, müssen wir diese Spannung mit einem anderen Vorzeichen versehen.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dzYUK5zXvo2XyNrz2DPeiCB-lXyL3RdmyVKCYR-aiqGJc_vY1VWrDdX8hXhnhI7ZpiS6lAFkGUiS7Ni8YW9Vw' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dxSuAOh3-NFSyLL17eMUgMulqWBcmRtQGixr2oF1EHuYRltTB8g9ulFZvIgG_Zg6Uem6tbjHl_r8peB1h2hVg' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
Nun stellen wir die entsprechenden Gleichungen zusammen:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dzLrW7mzTSPVBtplbQI9mJhkG35c7W7GoX_LE0W4KzslvlA6zOmpwnnl44UR5eO60EI7NACgJ7PxYbx0YF3dw' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
<br />
Jetzt haben wir alle Gleichungen zusammen. Die Phaseninformation für die Ströme setzen wir einfach in die komplexen Widerstände (*(-i)für Kondensator, *(+i) für Spule, *1 für ohmschen Widerstand).<br />
<br />
Dann setzen wir für den ohmschen Widerstand den vorgegebenen Wert ein, für den die Unabhängigkeit von der Frequenz eintreten soll und rechnen die Stromstärke durch diesen Widerstand aus.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_UFMwcgqnLLB2EMGBJY31PlP0u2xz7n4dI4fmq0i1VM0DgcI1ukIL2xtzB-_8bosUSwQiI2Rr7f_sqJ59df7cRSSSauzzTLO-hqBhOF6yhZ6TxQlqTtfTi9B1KBMBjX1bAOjjXkbm42hJ/s1600/Ergebnis.jpg" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1600" data-original-width="1378" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_UFMwcgqnLLB2EMGBJY31PlP0u2xz7n4dI4fmq0i1VM0DgcI1ukIL2xtzB-_8bosUSwQiI2Rr7f_sqJ59df7cRSSSauzzTLO-hqBhOF6yhZ6TxQlqTtfTi9B1KBMBjX1bAOjjXkbm42hJ/s640/Ergebnis.jpg" width="550" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dzp_wE6oKTnfkWoQ-WAnTruRDVfhXbU-iiq-Kjrh5DJ-3AQjuPenfI41JeYnaDP00qcXyHpDC4Ug31VaXcOBA' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
Und wir haben es geschafft...Die Formel für die komplexe Stromstärke enthält einen Real- und einen Imaginärteil. Damit kann man den messbaren Betrag der Stromstärke und die Phasenverschiebung zur angelegten Spannung ausrechnen.<br />
Wie gewünwscht, hängt die Stromstärke nicht von der Frequenz ab, nur von C und L und der angelegten Spannung.<br />
<br />
Es ergibt sich:<br />
Io = √(C/L) * Uo, d.h. Uo = √(L/C) * Io...wer hätte das gedacht...<br />
<br />
Fertig!<br />
<br />
Mit dem nächsten Post schließen wir dann den Blog ab.KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-66660340807248431112020-05-18T23:01:00.003+02:002020-05-18T23:07:58.657+02:00Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...VI: Wirk, Blind und Schein....<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Wir haben gesehen, dass man Widerstände auf der reellen bzw. der imaginären Achse auftragen kann, je nachdem ob sie zu einem ohmschen, einem indukltiven oder einem kapazitiven Widerstand gehören. Der <b><u>Gesamtwiderstand</u></b>, die <b><u>Impedanz Z</u> </b>oder der sog. <b><u>Scheinwiderstand</u></b> als |Z| (Pfeillänge) hat dann imaginäre und reelle Anteile.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlvbzkpOi_BHuE73r4iAuNabe128V3iLmFb7Rz46Q5xl7SlgyuPyuTFm5fBM_5i9eYIP-Rc0kgkDwApZ0uSQPsjt00z9dsDSQspx8SebgELfrVMEpGzDUB1s_waqSRWLjYdGwWFRNvxUuj/s1600/komplw.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="900" data-original-width="1600" height="225" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlvbzkpOi_BHuE73r4iAuNabe128V3iLmFb7Rz46Q5xl7SlgyuPyuTFm5fBM_5i9eYIP-Rc0kgkDwApZ0uSQPsjt00z9dsDSQspx8SebgELfrVMEpGzDUB1s_waqSRWLjYdGwWFRNvxUuj/s400/komplw.jpg" width="400" /></a></div>
Mit R bezeichnet man den reelllen Anteil, man nennt ihn <u><b>Wirkwiderstand</b></u>.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgykVQ9nob9x497hAQo6VpB3bldMBaatBE6yV3tZvLW_R0R32dla1scVQUQ2W4uGPTD-WYxAHjExdEtMGW-jrtjiYKIs_KM6gMrkaD87tl90_IeLJPF3XEsy1yPBtHdKdhA8L5fhXULPN4y/s1600/338615_3_De_11_Fig6_HTML.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="138" data-original-width="260" height="211" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgykVQ9nob9x497hAQo6VpB3bldMBaatBE6yV3tZvLW_R0R32dla1scVQUQ2W4uGPTD-WYxAHjExdEtMGW-jrtjiYKIs_KM6gMrkaD87tl90_IeLJPF3XEsy1yPBtHdKdhA8L5fhXULPN4y/s400/338615_3_De_11_Fig6_HTML.gif" width="400" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Der Wirkwiderstand lässt Spannung und Strom gleichphasig, d.h. der Strom fließt angetrieben von der Spannung. Am Wirkwiderstand wird die elektrische Energie umgesetzt, sie wirkt.<br />
Formel:<br />
R = Re(Z) = Z * cos φ<br />
<br />
Dann gibt es nur den Imaginärteil des komplexen Widerstandes Z, es ist der <u><b>Blindwiderstand X</b></u>.<br />
X = Im(Z) = Z * sin φ<br />
Spannung und Stromstärke sind am Blindwiderstand um 90° phasenverschoben. Die Spannung kann am Strom keine Arbeit verrichten.<br />
So etwas ähnliches kennen wir von der Kraft:<br />
Wirkt die Kraft senkrecht zum Weg, so verrichtet sie ebenfalls keine Arbeit.<br />
Die elektrische Energie fließt in den Blindwiderstand hinein, aber auch wieder heraus. Sie pendelt sozusagen zwischen Erzeuger und Verbraucher hin- und her.<br />
<br />
Blindwiderstand X und Wirkwiderstand R müssen quadratisch zum Scheinwiderstand Z addiert werden:<br />
<br />
Z² = X² + R²<br />
<br />
In vielen elektrischen Geräten sind Spulen, sie erzeugen Blindwiderstände. Hat eine Firma viele solcher Geräte im Einsatz, muss sie die Phasenverschiebungen durch Kondensatorblöcke kompensieren.<br />
<br />
<br />
Entsprechende Überlegungen gibt es auch für die Leistungen von Wechselstrom:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTUkvlXxkGc1mT5jurFf7lDkuQIlWbdIz1Z4zEapelUntp8tR6jyokvcjeKvP5gvsHNTrDT056e8JC7dh5pAnDR3Oi4dwR57iU5ertezyf-GzVlKmpYOQHVr1WpnyXRMc5_f81UC6S-Ot5/s1600/2-0.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="418" data-original-width="409" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgTUkvlXxkGc1mT5jurFf7lDkuQIlWbdIz1Z4zEapelUntp8tR6jyokvcjeKvP5gvsHNTrDT056e8JC7dh5pAnDR3Oi4dwR57iU5ertezyf-GzVlKmpYOQHVr1WpnyXRMc5_f81UC6S-Ot5/s320/2-0.png" width="313" /></a></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcejlsFGtUdsdOvugbHxvFg6ntlE8o_JM4Fm5bLzfzD4fDC6jlAPyI6z1oeb33ghSX8McAEYr9W6oqTWzIfHDh1Hnswa3A1eALLHz-B34xJV64t9BE9ggKfeh2Tn845M44D1dqY3sOs4hm/s1600/blindleistung.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="237" data-original-width="465" height="203" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhcejlsFGtUdsdOvugbHxvFg6ntlE8o_JM4Fm5bLzfzD4fDC6jlAPyI6z1oeb33ghSX8McAEYr9W6oqTWzIfHDh1Hnswa3A1eALLHz-B34xJV64t9BE9ggKfeh2Tn845M44D1dqY3sOs4hm/s400/blindleistung.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">wordpress</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-My0ygYzQNgTdurjDngXFR21XAVwQDpJcz3HZUV9VtcuBtWcK1m9IKyHalh44O2M60kCQTP9g5Qffc-vxNg764EHcAwnuHH-b68_2o6M3U1RE2I6HY0pO29cLcc4sZhMeDbXYB4SqqjjY/s1600/cosphi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="200" data-original-width="450" height="177" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj-My0ygYzQNgTdurjDngXFR21XAVwQDpJcz3HZUV9VtcuBtWcK1m9IKyHalh44O2M60kCQTP9g5Qffc-vxNg764EHcAwnuHH-b68_2o6M3U1RE2I6HY0pO29cLcc4sZhMeDbXYB4SqqjjY/s400/cosphi.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Und wer das nicht versteht, sollte sich mit einem kühlen Bier (alkoholfrei!) zurückziehen:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVT5u0tiiV5HlnT9Qh66NuqGUbyhZR8EO64J99gHunLJ2oItPccLQzaTFbS68QKnR7XXszBvvpioEUmg5tlFJDg45PG0OxZz-4QiM1cWN4x59gWDRhNd36e9bI1kwP3niZ1KwuMYAugwfE/s1600/Birglas.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="375" data-original-width="305" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVT5u0tiiV5HlnT9Qh66NuqGUbyhZR8EO64J99gHunLJ2oItPccLQzaTFbS68QKnR7XXszBvvpioEUmg5tlFJDg45PG0OxZz-4QiM1cWN4x59gWDRhNd36e9bI1kwP3niZ1KwuMYAugwfE/s400/Birglas.png" width="325" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">energiezentrum berlin</td></tr>
</tbody></table>
Irre, was man alles an Physik erhält, wenn man komplexe Zahlen zur Darstellung benutzt.<br />
<br />
Im nächsten Post zeige nich, wie man sich auch viele umständliche Rechnerei erspart...da machen wir mal eine Netzwerkrechnung mit komplexen Widerständen.<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-5434808762547189582020-05-18T22:32:00.002+02:002020-05-18T22:32:16.377+02:00Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...V: VertiefungenIn meinem Blog über Elektrotechnik sind einige Kapitel, die unseren Blog hier ergänzen. Sie sind aber zum weiteren Verständnis nicht wichtig.<br />
<br /><a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/2020/03/wechselstromtechnik-teil-4-addition-von.html" target="_blank">Addition von Impedanzen: Problemdarstellung</a><br />
<br />
<a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/2020/03/wechselstromtechnik-teil-4-addition-von_21.html" target="_blank">Addition von Impedanzen: Einführung von Zeigerdiagrammen</a><br />
<br />
<a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/2020/03/wechselstromtechnik-teil-4-addition-von_61.html" target="_blank">Übungsaufgaben und Lösungen</a><br />
<br />
<a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/2020/03/wechselstromtechnik-teil-5-blindleistung.html" target="_blank">Blindleistung</a><br />
<br />
KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-69267892174789943342020-05-17T17:40:00.003+02:002020-05-17T17:40:57.535+02:00Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...IV: Komplexe Widerstände<br />
Rechnen wir erst einmal die Gesamtspannung aus:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxzAKmIz-ERGrfTtzgMxB67AyRK8fkvIt9NUd8IwcXNQvGJIZmEanZwuEd_YC7_dydxr4N8321DPm2Z5AGdsjRKpTeFaB1pQB0n2xzfD-wdySzsRpqkHTn0RsDv0dkK11zP9DynkEAjFRA/s1600/zeiger+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="900" data-original-width="1600" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxzAKmIz-ERGrfTtzgMxB67AyRK8fkvIt9NUd8IwcXNQvGJIZmEanZwuEd_YC7_dydxr4N8321DPm2Z5AGdsjRKpTeFaB1pQB0n2xzfD-wdySzsRpqkHTn0RsDv0dkK11zP9DynkEAjFRA/s640/zeiger+2.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiulCVdEjM8AxPzBBJ-XCmnncz184Hide8UjG5mOiwaUY4VNJFqah0DEUmdFInRoxzpn6EA4_C03kTBNszlTLrjjXlcdXlUhKeEWZMJ0rR35_7XcoJNkO6nLyhvZyULXTd-yKgmqGQQCSIU/s1600/uaddi.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1554" data-original-width="1023" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiulCVdEjM8AxPzBBJ-XCmnncz184Hide8UjG5mOiwaUY4VNJFqah0DEUmdFInRoxzpn6EA4_C03kTBNszlTLrjjXlcdXlUhKeEWZMJ0rR35_7XcoJNkO6nLyhvZyULXTd-yKgmqGQQCSIU/s640/uaddi.jpg" width="420" /></a></div>
<br />
<br />
Da die Zeiger die Maximalwerte angeben und diese bei gleicher Stromstärke I proportional zum jeweiligen Widerstand sind, kann man auch Widerstandszeiger einführen.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOT19nWluHhLZ1UZVdvHrr-4hMGJ_HlJOjc28zh69sCuRVmja-zwMHcu7AzE8v7rbUwLjGcNMnsuDG87JecviHOkL9E5DVQktcAWQUAra4CS8LMBrbaQLY0H5SrUo0u97b0I4Tl-CnWzll/s1600/komplw.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="900" data-original-width="1600" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOT19nWluHhLZ1UZVdvHrr-4hMGJ_HlJOjc28zh69sCuRVmja-zwMHcu7AzE8v7rbUwLjGcNMnsuDG87JecviHOkL9E5DVQktcAWQUAra4CS8LMBrbaQLY0H5SrUo0u97b0I4Tl-CnWzll/s640/komplw.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
Nun, Spannungen als gerichtete Größen, ja, das kann man sich vorstellen...<br />
Widerstände? Aber wenn wir die Zeichnung als Darstellung komplexer Zahlen auffassen, an die senkrechte Achse die Imaginäranteile antragen und an die waagerechte Achse die Realanteile, dann erhält jetzt jeder Widerstand einen komplexen Wert. Der Pfeil markiert also keine Richtung mehr, sondern ist eine Darstellung der komplexen Werte der Widerstände.<br />
Diese werden üblicherweise nicht mit R sondern mit Z abgekürzt! <br />
Und wir werden im nächsten Post sehen, welche physikalische Bedeutung sie haben.<br />
Im übrigen: Hier wird deutlich, dass komplexe Zahlen keine Vektoren sind, wir können sie durch Pfeile markieren, so wie wir das eben bei Widerstände machen. Aber diese Pfeile weisen dann auf eine komplexe Zahl und nicht in eine Richtung!<br />
Nicht alles, was man mit zwei Koordinaten angibt, ist ein Vektor! <br />
(Für Fachleute: Vektoren sind zweikomponentige Tensoren, unterliegen also ganz bestimmten Eigenschaften beim Wechsel von Koordinatensystemen.)<br />
<br />
Die komplexen Widerstände können wir nun ganz einfach hinschreiben:<br />
<br />
Den <u> ohmschen Widerstand</u> haben wir als RΩ bezeichnet, der Pfeil liegt komplett auf der Realachse, also ist der komplexe Widerstand ZΩ = RΩ <br />
<br />
Den <u>Kondensatorwiderstand</u> haben wir als 1/(ω *C) bezeichnet, er legt auf der imaginären Achse, also ist Zc= -i/( ω *C). -i, weil er ja nach unten zeigt.<br />
<br />
Ganz entsprechend ist somit der <u>komplexe induktive Widerstand</u> Xl = i *ω * L.<br />
<br />
Und der Gesamtwiderstand?<br />
<br />
Einfach die drei komplexen Zahlen addieren:<br />
<br />
Z = ZΩ + Zc+ Zl<br />
<br />
Den Betrag dieser Zahl Z, also |Z| nennt man auch den Scheinwiderstand:<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFEavOEGXz1DelCBXYi9ZtOZrFK_1uCr3R0Suzr3CiBPzz3Yt91YY9oYM7FSff5VJwHoV5XHrFrYlHix5opUAPh2LF4SzYdS-msZ6Ukb0oUBPNjqNSrz8W6cynuHJClu41lJ47lr-8jNLF/s1600/wider.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1167" data-original-width="1064" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFEavOEGXz1DelCBXYi9ZtOZrFK_1uCr3R0Suzr3CiBPzz3Yt91YY9oYM7FSff5VJwHoV5XHrFrYlHix5opUAPh2LF4SzYdS-msZ6Ukb0oUBPNjqNSrz8W6cynuHJClu41lJ47lr-8jNLF/s640/wider.jpg" width="582" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
Der komplexe Gesamtwiderstand Z hat einen Real- und einen Imaginäranteil.<br />
Was bedeutet dies physikalisch?<br />
<br />
Darüber mehr im nächsten Post. <br />
<br />
<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-82839402639435964182020-05-16T13:52:00.000+02:002020-05-16T13:52:03.556+02:00Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...III: Drehende ZeigerBevor wir zu komplexen Widerständen kommen, möchte ich euch erst eine Methode vorstellen, mit der man die Kurven für I(t) und U(t) erzeugen kann:<br />
<br />
Dazu müssen wir aus der Mathematik übernehmen, dass sich drehende Zeiger Sinus-Kurven erzeugen.<br />
<br />
Man sagt in der Fachsprache: Die Projektion einer Kreisbewegung ist eine (harmonische) Schwingung.<br />
<br />
In diesem Bild zu einer Federschwingung wird klar, was damit gemeint ist:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh51kXn6JDD9cWNy4dF6-sU2wIC1blqyDii1BJ1G-EkZC3UP5D0r2d7gyWMdGzAwQ4oCuf4Llo9bUu9m4od1H0RQYsEosO1Y7nBjVj1LNqXUelCK6q4j3Lycf1raoi5M_h3gPJTsJ1mq0v_/s1600/de+scio+de.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="161" data-original-width="440" height="234" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh51kXn6JDD9cWNy4dF6-sU2wIC1blqyDii1BJ1G-EkZC3UP5D0r2d7gyWMdGzAwQ4oCuf4Llo9bUu9m4od1H0RQYsEosO1Y7nBjVj1LNqXUelCK6q4j3Lycf1raoi5M_h3gPJTsJ1mq0v_/s640/de+scio+de.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">de scio de</td></tr>
</tbody></table>
Wenn das Federpendel schwingt, kann man den Zeiger links im Bild sich immer so schnell drehen lassen (gegen den Uhrzeigersinn) , dass seine Spitze immer auf der Höhe der Pendelmasse ist. Trägt man dann den Abstand der Zeigerspitze von der Nulllage gegen die Zeit auf, so erhält man die typische Schwingungskurve ganz rechts.<br />
<br />
Das haben wir auf den Infoseiten ja schon zusammengestellt:<br />
<br />
<a href="https://sfnkomplexezahlen.blogspot.com/p/sinus-und-cosinus.html" target="_blank">Einheitskreis und Sinus</a><br />
<br />
Die Zeigerlänge ist dabei die Amplitude der Schwingung, das wäre dann auch der Kreisradius.<br />
<br />
Bei Wechselstrom interessieren uns zwei Schwingungen gleichzeitig, die des Stromes und die der Spannung...<br />
Was machen wir? Wir nehmen zwei Zeiger...und drehen sie mit der gleichen Geschwindigkeit.<br />
<br />
Das ist im nächsten Bild dargestellt:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMvI50DAWITu61p_ULVtW2gI6cppcG-oPiE68Nwpnkj9f0SnczrvG3eCLYDPwguA8a6mr_wTZzLiyKemz42RQLq0dt_qRzec1hwVcxWYNRqRqagK0lVjb8svbo78dKXhleetbyx2ASXn9G/s1600/Wechselstrom.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="260" data-original-width="720" height="230" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMvI50DAWITu61p_ULVtW2gI6cppcG-oPiE68Nwpnkj9f0SnczrvG3eCLYDPwguA8a6mr_wTZzLiyKemz42RQLq0dt_qRzec1hwVcxWYNRqRqagK0lVjb8svbo78dKXhleetbyx2ASXn9G/s640/Wechselstrom.jpg" width="640" /></a></div>
Hier ist für den Winkel zwischen den Zeigern für Spannung und Stromstärke ein beliebiger Wert angenommen worden.<br />
<br />
Das ist bei Spule und Kondensator einfacher (das steht in den letzten Posts):<br />
<br />
Kondensator: Die Stromstärke eilt der Spannung immer um 90° voraus. Der Winkel zwischen den Zeigern für Spannung und Stromstärke am Kondensator muss also 90° sein.<br />
<br />
Spule: Hier eilt die Spannung der Stromstärke um 90° voraus. Anders ausgedrückt: Die Stromstärke hinkt der Spannung um 90° hinterher. Die beiden Zeiger für Spannung und Stromstärke haben auch einen 90° - Winkel dazwischen, nur in der anderen Richtung als beim Kondensator gedreht.<br />
<br />
Und wie ist es beim ohmschen Widerstand?<br />
Da sind Spannung und Stromstärke gleichphasig, also liegen die Zeiger aufeinander!.<br />
<br />
Am einfachsten verstehen wir die idee, wenn wir eine Riehenschaltung von Spule, Kondensator und ohmschen Widerstand betrachten.<br />
Diese Schaltung spielt in der Wechselstromtechnik als Siebkette eine große Rolle. Das werden wir hier aber nicht verfolgen. <br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJxxNFLSmxy2TVPvMhQ0-vbD0QCMafTaK3QdxMIw35YzFYjg2F7-ovfSSD3w_fgDcQgPrBnZJmGLvOVQXfIhNB1HwT2B1dQHwv7UtJTfAU1SOOutdwl-xEsJJwfEKuAq0U7gpMptKJby_o/s1600/wsiebs.gif" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="250" data-original-width="250" height="400" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJxxNFLSmxy2TVPvMhQ0-vbD0QCMafTaK3QdxMIw35YzFYjg2F7-ovfSSD3w_fgDcQgPrBnZJmGLvOVQXfIhNB1HwT2B1dQHwv7UtJTfAU1SOOutdwl-xEsJJwfEKuAq0U7gpMptKJby_o/s400/wsiebs.gif" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">schule-bw</td></tr>
</tbody></table>
Durch alle drei Bauteile fließt der gleiche Strom, es gibt also einen einzigen Zeiger für I(t). Den legen wir auf die waagerechte Achse.<br />
Der Zeiger für die Spannung am ohmschen Widerstand muss dann auczh, mit anderer Länge, dort liegen.<br />
<br />
Da wir gegen den Uhrzeigersinn drehen wollen (ist so verabredetz), liegt der Zeiger für die Spannung am Kondensator dann um 90° verdreht nach unten. Nur so ist I vor U!<br />
Und der Zeiger für die Spannung an der Spule eilt ja I(t) voraus, er liegt um 90° verdreht senkrecht nach oben.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic4bbse_KnofrRxNIKHYTTh3kPG9ujFTpxEdrtQli1fcDGTAPNQ5qy2GGcIwIBB7ddQB1iCpji2uCcfBk9QeNlpctIkaXQgPUTU3C-xAd5vA0b5BSAdhNmC-k6qDWw6E2HjNljfF2Fd8-a/s1600/zeiger+1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="900" data-original-width="1600" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEic4bbse_KnofrRxNIKHYTTh3kPG9ujFTpxEdrtQli1fcDGTAPNQ5qy2GGcIwIBB7ddQB1iCpji2uCcfBk9QeNlpctIkaXQgPUTU3C-xAd5vA0b5BSAdhNmC-k6qDWw6E2HjNljfF2Fd8-a/s640/zeiger+1.jpg" width="640" /> </a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Nun können wir aus den drei Einzelspannungen die Gesamtspannung ausrechnen. Das kann jeder ja mal probieren, mit Hilfe des ollen Griechen...</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Und wer kann den Gesamtwiderstand der Schaltung angeben?</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjA9yVc87TJkPdnds4zDoGmJL6LY-DKyMCHM_Jiz6KCB22lp5xO3mF8uSIoWaUEpClknm5otEVYtsN4_rP7IQIZ0CCP8iTteCr-Et3u7eqwraLfOKB9tSMWblikKgocEP51y_UGxDDlK7LY/s1600/zeiger+2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="900" data-original-width="1600" height="360" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjA9yVc87TJkPdnds4zDoGmJL6LY-DKyMCHM_Jiz6KCB22lp5xO3mF8uSIoWaUEpClknm5otEVYtsN4_rP7IQIZ0CCP8iTteCr-Et3u7eqwraLfOKB9tSMWblikKgocEP51y_UGxDDlK7LY/s640/zeiger+2.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Damit machen wir im nächsten Post weiter.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Ich denke, einige ahnen schon, wie wir da mit komplexen Zahlen weitermachen können...Ich muss eigentlich nur noch Real und Im an die Achsen schreiben.... </div>
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-26693343231396535782020-05-16T11:41:00.001+02:002020-05-16T11:41:13.873+02:00Intermezzo: ExperimenteJa, wir machen Mathematik...aber trotzdem können physikalische Experimente manchmal Dinge veranschaulichen.<br />
Ich habe hier zwei Versuche gefilmt, bei denen man die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung an Spule und Kondensator durch einen Trick am Oszilloskop sichtbar machen kann.<br />
Zum Trick: Oszilloskope können nur Spannungen messen, keine Ströme. Deshalb habe ich einen kleinen Widerstand in Reihe geschaltet. Die Spannung, die an ihm abfällt (und die das Oszilloskop messen kann) ist proportional zum Strom, der durch den Widerstand fließt.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dz-b6v2XFaD4Ptgy9b_CqGkQ9RqC0pwcDYtUTWSEP7FkVu_mRTwLXn3okt0otypH2GC4D7Ad8L0A1zLGqbbqQ' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dzKbn6LQI-3iu-6_umlp8kNUEaGcl4S0KWpkjUuF6H_0acQRlBG9do_LAcB3ShFFSFhRF4uTUvPiyVfjQKFSw' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-43357882488528546782020-05-14T20:02:00.000+02:002020-05-14T20:02:42.297+02:00Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...II: Die SpuleSpulen bilden die Hauptbestandteile von Elektromagneten und Elektromotoren.<br />
Ein Draht ist so aufgewickelt, dass die einzelnen Windungen spiralförmig eng aufeinanderliegen.<br />
Da jeder elektrische Strom ein Magnetfeld hat, verdichten sich somit auch die Magnetfelder der einzelnen Drähte und heraus kommt ein Magnetfeld, das dem eines Stabmagneten ähnelt.<br />
<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjz24zVxKjijUbrPthBPwDMgmjzNvvTZtWsYR05Cy45Zyn9eXIDc4fhQPmlygylqnw1ZJzLKoiPK0zJRAs4qhOSWYb5K3nOJh6Rzd9LfG2W3s6VwpCVshYvzJQgV8zO4Aj-OwgnnpetFHjP/s1600/jh+muenster.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="156" data-original-width="290" height="172" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjz24zVxKjijUbrPthBPwDMgmjzNvvTZtWsYR05Cy45Zyn9eXIDc4fhQPmlygylqnw1ZJzLKoiPK0zJRAs4qhOSWYb5K3nOJh6Rzd9LfG2W3s6VwpCVshYvzJQgV8zO4Aj-OwgnnpetFHjP/s320/jh+muenster.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">JHMünster</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"> </td></tr>
</tbody></table>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5KlKuXvgR1IKCIETGXxIZ1TySQPOTP93viqUs_5DvI-e262tBRH3ZtvUH3ZEAid3Oygwz_1S5TJ6-Jb7OtKAzxTBz-UW9KeO5ACWSnbssZFZMMVkr-REhWVbK8DR7ZixhitX0BvUYiRLh/s1600/leyp.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="413" data-original-width="387" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg5KlKuXvgR1IKCIETGXxIZ1TySQPOTP93viqUs_5DvI-e262tBRH3ZtvUH3ZEAid3Oygwz_1S5TJ6-Jb7OtKAzxTBz-UW9KeO5ACWSnbssZFZMMVkr-REhWVbK8DR7ZixhitX0BvUYiRLh/s320/leyp.jpg" width="299" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Experimentierspule, leybold</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Bevor wir verstehen, was eine Spule mit Wechselstrom macht, müssen wir die Induktion kennen lernen:<br />
<br />
<u><b>Elektromagnetische Induktion,</b></u><br />
<u><b>oder: </b></u><br />
<u><b>Wie man Strom erzeugt oder dem Strom das Leben schwer macht...</b></u><br />
<br />
Immer wenn sich ein Magnetfeld ändert, erzeugt es ein kreisförmiges elektrisches Feld, dass Ladungen kreisförmig in Bewegung setzt.<br />
So stellen wir Strom her! Und so funktioniert der Induktionsherd.<br />
<br />
Beim Generator drehen wir eine Spule in einem Magnetfeld. Da scheint sich zwar das Magnetfeld nicht zu ändern, aber die Menge der Feldlinien, die durch die Querschnittsfläche der Spule gehen, variiert durch die Drehung. Und deshalb entsteht in der Spule eine Wechselspannung.<br />
<br />
Da jeder elektrische Strom ein eigenes Magnetfeld ist, behindert sich elektrischer Strom oft selbt:<br />
<br />
Nehmen wir einen Wechselstrom, der durch eine Spule fließt. Der sich ständig ändernde und sich umpolende Strom erzeugt ein sich ständig änderndes Magnetfeld. Das wiederum muss ein kreisförmiges elektrisches Feld in der Spule erzeugen (man nennt das Selbstinduktion).<br />
<br />
Damit der Energieerhaltungssatz gilt, muss dieses elektrische Feld den Strom, der es erzeugt, abschwächen. Sonst hätten wir ein Perpetuum Mobile...<br />
<br />
Das gibt der Spule einen Widerstand gegen Wechselstrom.<br />
<br />
Und somit haben wir die Ursache für den Wechselstromwiderstand gefunden:<br />
Das sich ändernde Spulenmagnetfeld schwächt den eigenen Strom ab!<br />
<br />
Da die Induktionsspannung größer ist, wenn die Änderung des Magnetfeldes schneller erfolgt, wächst der Wechselstromwiderstand Rl der Spule mit der Frequenz.<br />
<br />
Es gilt:<br />
<br />
Rl = ω * L<br />
<br />
Hier bei ist L die Induktivität. Sie gibt an, wie stark die Spule auf Magnetfeldänderungen reagiert. Man kann L auch als die Trägheit des Magnetfeldes auffassen. Je größer L ist, desto träger reagiert das Magnetfeld und desto größer ist der Widerstand der Spule für Wechselstrom.<br />
<br />
Erschwerend kommt hinzu, dass die Spule aus Draht besteht und somit dieser Draht einen ganz normalen ohmschen Widerstand besitzt. Den vernachlässigen wir hier.<br />
<br />
Für uns ist aber etwas anderes sehr wichtig:<br />
<br />
Wenn ich eine Spannung an eine Spule anlege, kommt der Stromfluss wegen der Selbstinduktion (Trägheit des Magnetfeldes: Es mag nicht aufgebaut werden, ist halt träge.....das gibt ihnen etwas menschliches...) nur verzögert zustande.<br />
<br />
Eine mathematische Auswertung über Differenzialgleichungen ergibt:<br />
<br />
<span style="background-color: cyan;">Bei einer Spule hinkt die Stromstärkekurve I(t) der Spannungskurve U(t) um eine Viertel Periode, also um 90° hinterher.</span><br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiHclECqh_vCfzGUksjqdWhZBlKlLWjB_-HQc5dInCY-1uzEj4vh9hxFxcho4mpGuniWCY_ejMgJeCiP9wCWE5Jnj0y3CdwxwlUFef5SS0mFVlI58nBTVViJc1_LFhjkbrtWedugnSePRS/s1600/eth+z%25C3%25BCrich.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="600" data-original-width="1531" height="250" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjiHclECqh_vCfzGUksjqdWhZBlKlLWjB_-HQc5dInCY-1uzEj4vh9hxFxcho4mpGuniWCY_ejMgJeCiP9wCWE5Jnj0y3CdwxwlUFef5SS0mFVlI58nBTVViJc1_LFhjkbrtWedugnSePRS/s640/eth+z%25C3%25BCrich.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">ETH Zürich</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
Noch mal zur Erinnerung:<br />
<br />
Bei einem Kondensator läuft I(t) um 90° vor der Spannungskurve und bei einer Spule um 90° nach der Spannungskurve.<br />
<br />
Jetzt sind wir bereit, das alles durch komplexe Zahlen zusammenzufassen.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Wer noch etwas vertiefter arbeiten möchte, hier passende Links aus meinem anderen Blog:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/p/blog-page_36.html" target="_blank">Was sind Induktivitäten?</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<a href="https://www.blogger.com/Wechselstromtechnik%20Teil%204:%20Addition%20von%20Impedanzen%20oder%20was%20Widerst%C3%A4nde%20mit%20Pfeilen%20zu%20tun%20haben:%20Teil%201" target="_blank">Berücksichtigung des Drahtwiderstandes einer Spule</a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-84267891368078729862020-05-12T21:30:00.000+02:002020-05-12T21:30:03.246+02:00Teil 10: Wenn Strom komplex wird, wird alles leichter...I: Der KondensatorIn der letzten Postrunde möchte ich noch eine Anwendung vorstellen, die zu großer Bedeutung gelangt ist:<br />
<br />
<u><b>Komplexe Widerstände</b></u><br />
<br />
<u>Wechselstrom: </u><br />
Zuerst müsst ihr den Unterschied zwischen Gleichstrom und Wechselstrom kennen:<br />
<br />
Batterien erzeugen Gleichstrom, eine fest orientierte Spannung lässt die Ladungen immer in die gleiche Richtung fließen.<br />
Bei Wechselstrom ändert sich ständig die Stromrichtung, da die antreibende Spannung ihre Polung ständig ändert.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiKUZZiW2Wy6aiz9SXynIdFtrKY-Dy3g8RQ74CV-gPZDqUpLvNYaxIbnT1l9bj_z8-Z-4QsBCB2VS9zQpqhsk5FO4P5oIrYTchx9W_s92ToU8Nj9OoBadRAQat28QRU-FwwNCNbe5GNrzJ/s1600/ww.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="254" data-original-width="671" height="150" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhiKUZZiW2Wy6aiz9SXynIdFtrKY-Dy3g8RQ74CV-gPZDqUpLvNYaxIbnT1l9bj_z8-Z-4QsBCB2VS9zQpqhsk5FO4P5oIrYTchx9W_s92ToU8Nj9OoBadRAQat28QRU-FwwNCNbe5GNrzJ/s400/ww.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
<u>Der ohmsche Widerstand:</u><br />
Wir alle kennen den normalen ohmschen Widerstand R = U/I, angegeben in Ohm Ω.<br />
Ein Widerstand von 5 Ω bedeutet, dass man für einen Strom von 1 A einen Antrieb von 5 V braucht.<br />
Je höher der Widerstand gegen den Strom ist, desto mehr Spannung benötigt man, um auf die gleiche Stromstärke zu kommen.<br />
<br />
Irgendwie logisch...<br />
<br />
<u>Ohmsches Gesetz:</u><br />
<br />
Die Formel U = R * I lernen Generationen von Jugendlichen. Dieses Gesetz sagt: Ist der Widerstand konstant, so sind U und I zueinander proportional.<br />
Das gilt sogar für <u>Wechselstrom</u>:<br />
Bei Wechselstrom wechselt etwa 60 mal in der Sekunde die Stromrichtung. Und immer ist der zu jedem Moment fließende Strom zur angelegten Spannung proportional.<br />
Man sagt: U(t) und I(t) sind gleichphasig. <br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz-0gXPIXW-p-bddOaGMP7L6pYksVSiDqHb0NEkYOcm214L3gDdLwfWuK2Q_cXGZMaCAmCNg0vyVeQnabTDEvB4hiObt2sZxARi76yrtYfTdOrrY4Xci0WwcEnQTeGuPbrSqH0dpJD0lZd/s1600/1024px-Wechselstrom.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="640" data-original-width="1024" height="200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhz-0gXPIXW-p-bddOaGMP7L6pYksVSiDqHb0NEkYOcm214L3gDdLwfWuK2Q_cXGZMaCAmCNg0vyVeQnabTDEvB4hiObt2sZxARi76yrtYfTdOrrY4Xci0WwcEnQTeGuPbrSqH0dpJD0lZd/s320/1024px-Wechselstrom.svg.png" width="320" /></a></div>
<br />
<u>Kondensator im Stromkreis:</u><br />
Ein Kondensator besteht aus zwei Metallplatten, die sich gegenüber stehen und die gegeneinander isoliert sind.<br />
Beide Platten können durch eine angelegte Spannung U auf jeweils die Ladung Q (auf der einen Platte die positive Ladung Q+ und auf der anderen die negative Ladung Q-) aufgeladen werden.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW1Xnu2Y_KrHEiCjuClH3wQyNODMl1OTFFpvoUYqWe1wE90bKuQor_np8kPl16sRNlJixfmkPZQzSNR42W1HJ6iGsnDd8dxLuK_Z-hcZB_92giAUMf_kCgXtddFO8w54gOveCrJVFjaTR1/s1600/unnamed.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="186" data-original-width="491" height="121" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhW1Xnu2Y_KrHEiCjuClH3wQyNODMl1OTFFpvoUYqWe1wE90bKuQor_np8kPl16sRNlJixfmkPZQzSNR42W1HJ6iGsnDd8dxLuK_Z-hcZB_92giAUMf_kCgXtddFO8w54gOveCrJVFjaTR1/s320/unnamed.png" width="320" /></a></div>
Es gilt die Gleichung Q = C * U, dabei ist C die Kapazität des Kondensators. Sie gibt an, wieviel Ladung man pro Volt Antrieb auf die Platten bekommt.<br />
<br />
<br />
Für einen <u>Gleichstrom</u> sperrt ein Kondensator den Stromfluß nachdem er aufgeladen ist.<br />
<br />
Ein <u>Wechselstrom</u> spürt den Kondensator als Hindernis, er kann aber hin- und herfließen, so wie das für einen Wechselstrom halt üblich ist:<br />
<br />
Der Strom lädt den Kondensator auf, dabei entsteht eine Spannung zwischen den geladenen Platten des Kondensators, die die Stromstärke reduziert. Wenn dann der Strom in die andere Richtung fließt ,kann der Kondensator sich weider entladen. Dieses ständige Auf- und Entladen erzeugt eine ständig wechselnde Spannung am Kondensator, die den Stromfluß behindert.<br />
<br />
Der Kondensator hat also einen Wechselstromwiderstand.<br />
<br />
Der ist für uns nicht wichtig, trotzdem gebe ich die Formel einmal an:<br />
<br />
Rc = 1/(2π*f* C).<br />
<br />
Ist die Frequenz f des Wechselstroms ganz hoch, so macht sich die Gegenspannung des Kondensators durch die Aufladung kaum bemerkbar, sein Widerstand für den Wechselstrom ist klein. Das gilt auch, wenn er eine große Kapazität hat, also leicht aufladbar ist.<br />
<br />
Für uns ist aber etwas anderes wichtig:<br />
<br />
<span style="background-color: cyan;">Erst muss ein Strom auf die Kondensatorplatten fließen, damit dort eine Spannung entstehen kann. U(t) und I(t) sind nicht mehr gleichphasig.</span><br />
<span style="background-color: cyan;">Die Stromstärkekurve I(t) eilt der Spannugnskurve U(t) um ein Viertel der Periode des Wechselstroms voraus, also letztlich um 360°/4 = 90°.</span><br />
<span style="background-color: cyan;">Die Phasenverschiebung von U(t) und I(t) bei Wechselstrom ist 90°</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEUbcn5M0dG0_1s3Lmkrp7bKT9_p4GudQDQNqM831iMO7_51MZ4hVq-N3pkJNa0b9WWGJUtJhTNkg2oLJTSdADEX25I3e0gVc2O0OxxjcLNgKNIQKZNCkJycC95N-vDOBRU5176ZiABgKH/s1600/image010.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="200" data-original-width="291" height="219" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEUbcn5M0dG0_1s3Lmkrp7bKT9_p4GudQDQNqM831iMO7_51MZ4hVq-N3pkJNa0b9WWGJUtJhTNkg2oLJTSdADEX25I3e0gVc2O0OxxjcLNgKNIQKZNCkJycC95N-vDOBRU5176ZiABgKH/s320/image010.gif" width="320" /></a></div>
<span style="background-color: cyan;"><br /></span>
Wie geht es weiter?<br />
<br />
Im nächsten Post lernen wir die Spule im Wechselstromkreis kennen.<br />
<br />
Dann nutzen wir die Phasenverschiebung von 90° aus, um das Verhalten des Wechselstromes mit Realteil und Imaginärteil von komplexen Zahlen zu beschreiben (Trick: Realteile und Imaginärteile komplexer Zahlen werden auch auf zueinander um 90° gedrehte Achsen dargestellt) und berechnen dann zum Schluß eine elektrische Schaltung mit komplexen Zahlen.<br />
Dabei erhalten wir alle Informationen über die Schaltung schnell und relativ einfach!<br />
<br />
<u>Hinweis:</u><br />
<br />
Ich habe noch einen zweiten Blog über Wechselstromtechnik.<br />
Da sind viele der eben erwähnten Aspekte ausführlicher und mathematischer beschrieben. Ich gebe mal Links an, falls jemand etwas mehr und vertieft erfahren möchte, für uns hier im Blog ist das aber nicht wichtig:<br />
<br />
<a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/2020/03/wechselstromtechnik-teil-1-kapazitiver.html" target="_blank">Wechselstromwiderstände</a><br />
<br />
<a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/2020/03/wechselstromtechnik-teil-3-impedanzen.html" target="_blank">Mehr mathematische Info zum Kondensator im Wechselstromkreis</a><br />
<br />
<a href="https://lkphysik2020corona.blogspot.com/p/blog-page_24.html" target="_blank">Mehr Infos zum Begriff der Kapazität</a><br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-8932620692031937512020-05-11T16:57:00.001+02:002020-05-11T16:57:30.036+02:00Teil 9: Komplexe FunktionenIn diesem Abschnitt möchte ich einige anschauliche und unerwartete Eigenschaften zu komplexen Funktionen (ohne Beweis und nähere Begründung) angeben.<br />
Wer sich damit beschäftigen will, muss sich in der höheren Mathematik mit Funktionentheorie auseinandersetzen.<br />
<br />
Eine komplexe Funktion f(z) bildet einen Punkt z = x+iy = (x,y) auf einen anderen Punkt f(z) = (u,v) der komplexen Ebene ab:<br />
<br />
Auch f(z) hat dann einen Realteil u und einen Imaginärteil v:<br />
<br />
<span style="background-color: cyan;">f(z) = u(x,y) + i* v(x,y)</span><br />
<br />
Beispiel sei die <u>komplexe Exponentialfunktion</u>:<br />
<br />
f(z) = exp(z) = exp(x)* (cos y + i*sin y)<br />
Hier ist u(x,y) = exp(x) * cos y und v(x,y) = exp(x)*sin y<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgowdjhmwEZWkepq0wgLBgo9CDPQDSGBATgRj83JBklj9PAAqbubB1PZoP-WuugL65ZU17vXpbMk69MorSaECWEhQUlitfU6Vhi_MRTUAu7PFbfX-MD2ND3ru8-N6qdZXEOH-0AOeJeRQdj/s1600/bildexp.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1007" data-original-width="1600" height="251" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgowdjhmwEZWkepq0wgLBgo9CDPQDSGBATgRj83JBklj9PAAqbubB1PZoP-WuugL65ZU17vXpbMk69MorSaECWEhQUlitfU6Vhi_MRTUAu7PFbfX-MD2ND3ru8-N6qdZXEOH-0AOeJeRQdj/s400/bildexp.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Auf diesmemBild drückt die Höhe den Realteil der komplexen Exponentialfunktion aus und die Farbe kodiert den Imaginärteil (aus Ahrends u.a. Mathematik, SpektrumVerlag).<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhURTLzTT34d15Ia3WlQwz9bOgShcJ_ONMMhLV2ksr7V5ZOs1kSJMIq_Megwk8_9NN5f0EadwiAQ0foISY4fQkFz7LNyIUPPC-DZA0bAtpUQqf9EInyApG4LPszaX8XmjC1J-prbsiewsAd/s1600/sin.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="1303" data-original-width="1600" height="325" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhURTLzTT34d15Ia3WlQwz9bOgShcJ_ONMMhLV2ksr7V5ZOs1kSJMIq_Megwk8_9NN5f0EadwiAQ0foISY4fQkFz7LNyIUPPC-DZA0bAtpUQqf9EInyApG4LPszaX8XmjC1J-prbsiewsAd/s400/sin.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">(aus Ahrends u.a. Mathematik, SpektrumVerlag)</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Hier sehen wir f(z) = sin z, auch wieder mit der Höhe für den Realteil und die Farbe für den Imaginärteil. Man erkennt die periodisch liegenden Nullstellen auf der reellen Achse.<br />
<br />
Sind komplexe Funktionen innerhalb eines Gebietes der komplexen Ebene ableitbar (Steigungen bestimmbar), so nennt man sie holomorph oder analytisch.<br />
Dann kann man sie ganz normal ableiten:<br />
<br />
f(z) = 3z² + 4z + 1 hat als Ableitung f´(z) = 6z +4<br />
f(z) = sin z hat als Ableitung f´(z) = cos z<br />
und exp´(z) = exp(z), wie im Reellen.<br />
<br />
Auch das Integrieren (Aufsummieren) funktioniert vergleichbar. Es treten aber erstaunliche Vereinfachungen auf:<br />
<br />
- Integrale sind vom Integrationsweg unabhängig.<br />
<br />
- Kreisintegrale ergeben immer 0, wenn innerhalb des Kreises die Funktion ableitbar ist, insbesondere keine Polstellen auftreten. Das ist das berühmte Theorem von Cauchy.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVE9t_7nc1UE2pFuLu2tfsYlB7DuWcJ9VBrVpNB9NBrIVwX9n0lGLFWole6H8HyZt2qPM8_reDPQ5WtmHwwjDEEdf8W2l3Om6o21i3Cu9QxylwG-kSx8rF4ufAJuE7ZIpVnQgcxEXN8naT/s1600/dgl1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="913" data-original-width="1264" height="288" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgVE9t_7nc1UE2pFuLu2tfsYlB7DuWcJ9VBrVpNB9NBrIVwX9n0lGLFWole6H8HyZt2qPM8_reDPQ5WtmHwwjDEEdf8W2l3Om6o21i3Cu9QxylwG-kSx8rF4ufAJuE7ZIpVnQgcxEXN8naT/s400/dgl1.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
- Liegen Polstellen innerhalb des Integrationskreises, so ergeben sich auch einfache Formeln (Residuensatz), wie bei f(z) = 1/z und einem Integrationsweg um z=0 herum:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX2Cmquu3CkMcUT8vrnR1cXXtxAMqV0fYLqjCxZeicGrihO7btWrfKcb2V6HLyd2L2jFXy12P_8O1fdVNPedO02ExGncXvw5iInQw69skO8vnPaUEMspP5nim_ZlAbPHTLRsxwI1LFcdY7/s1600/residuen.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="345" data-original-width="1107" height="123" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiX2Cmquu3CkMcUT8vrnR1cXXtxAMqV0fYLqjCxZeicGrihO7btWrfKcb2V6HLyd2L2jFXy12P_8O1fdVNPedO02ExGncXvw5iInQw69skO8vnPaUEMspP5nim_ZlAbPHTLRsxwI1LFcdY7/s400/residuen.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Integriert man z.B. um z = 17i herum, ohne dass die Kurve den Ursprung einschließt, so ist das Integral wieder 0.<br />
<br />
Fachleute kennen diese Eigenschaften von <u>elektrischen Felder</u>n her:<br />
<br />
Nimmt man die klassische Feldstärke als Imaginärteil und das Potenzial als Realteil, so erhält man das komplexe elektrische Feld.<br />
Im elektrischen Feld sind Kreisintegrale 0 (Die Summe aller Spannungen im Stromkreis ist 0, elektrische Felder sind wirbelfrei).<br />
<br />
Ganz allgemein kann man sagen:<br />
<br />
Ist die Funktion f(z) = u(x,y) + i* v(x,y) in einem Bereich differenzierbar, so stehen die Linien u(x,y) für festes y und v(x,y) für festes x senkrecht aufeinander, so wie Feldlinien und Äquipotenziallinien.<br />
<br />
Mit komplexen Funktionen kann man auch Ähnlichkeitsabbildungen beschreiben. Insbesondere dreht f(z) = z* exp(iy) alles um den Winkel y und bildet f(z) = 1/z das Innere des Einheitskreises auf das Äußere ab (und umgekehrt).<br />
Vergleiche: Die Funktion f(x) = 1/x bildet das Innere des Intervalls [-1,1] auf das Äußere auf dem Zahlenstrahl ab und umgekehrt. <br />
<br />
Und auch sonst erleichtern komplexe, ableitbare Funktionen das Leben:<br />
<br />
Die Werte auf einer geschlossenen Linie bestimmen alle Werte und Steigungen der Punkte innerhalb der Linie.<br />
<br />
Stimmen zwei solcher Funktionen längs einer Linie überein, so sind sie in d r ganzen Ebene identisch.<br />
<br />
Abschließend sei noch der <u>Fundamentalsatz der Algebra </u>angegeben (den wir indirekt schon beim Wurzeln kennengelernt haben):<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjP2KEzHVWrvYtkchsX01PvMuEj4s973vWmyPuZJDkbWSMnT4JB6ARRL3VV8W3DWrK8OW_Y3UEFvXuNiosfJ6rcWCpQooTJfn8XXYMDt2psO4c2WCywbwwtNcoYqnVSOEpUs_nS_M6kR8xy/s1600/fundam.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="194" data-original-width="1289" height="60" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjP2KEzHVWrvYtkchsX01PvMuEj4s973vWmyPuZJDkbWSMnT4JB6ARRL3VV8W3DWrK8OW_Y3UEFvXuNiosfJ6rcWCpQooTJfn8XXYMDt2psO4c2WCywbwwtNcoYqnVSOEpUs_nS_M6kR8xy/s400/fundam.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Setzt man ein komplexes Polynom vom Grad n gleich 0, so erhält man eine Gleichung, die genau n Lösungen hat.<br />
Wir haben davon genutzt:<br />
<br />
Eine dritte Wurzel hat 3, eine vierte Wurzel 4 ...Werte. usw. Vielleicht erinnert man sich an die gleichseitigen Dreiecke, an deren Ecken die Wurzeln stehen.<br />
<br />
<br />
In dne nächsten Posts kommen wir zum letzten Kapitel:<br />
Komplexe Zahlen erleichtern Elektrotechnikern das Leben...<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-36832040821548679602020-05-11T00:12:00.000+02:002020-05-11T00:12:33.131+02:00Intermezzo: Aus Imaginär wird ReellIm Post vom 21.4.<br />
<br />
<a href="https://sfnkomplexezahlen.blogspot.com/2020/04/losung-irrational-und-imaginar-zusammen.html" target="_blank">Irrational und imaginär zusammen wird natürlich</a><br />
<br />
haben wir schon gesehen, dass exp(iπ) = -1 ist und exp(2πi) = 1 ergibt.<br />
<br />
Um das zu zeigen haben wir mit der Eulerschen Formel gearbeitet:<br />
<br />
<span style="background-color: yellow;">exp(iy) = cos y + i*sin y.</span><br />
<br />
Letztlich ist das die Definition der komplexen Exponentialfunktion.<br />
<br />
Wer sich das nochmal im Blog ansehen will:<br />
<br />
<a href="https://sfnkomplexezahlen.blogspot.com/2020/04/teil-5-die-komplexe-e-funktion_20.html" target="_blank">Begründung der Eulerschen Formel</a><br />
<br />
Nun wollen wir eins drauf setzen und wollen i hoch i berechnen...also etwas Imaginäres mit etwas Imaginären potenzieren...heraus kommt eine rein irrationale Zahl, also eine reelle Zahl...provozierend: knapp 21%...<br />
<br />
<span style="font-size: large;"><span style="background-color: yellow;">iⁱ = 0,207879... ~21%</span></span><br />
<br />
Um das zu beweisen, müssen wir erst i darstellen:<br />
<br />
i liegt auf der imaginären Achse bei i, also ist in der Eulerschen Formel der Winkel y = 90° oder π/2.<br />
Damit können wir über die Eulersche Formel i als Exponentialfunktion ausdrücken und somit auch mit i potenzieren..<br />
<br />
Ich habe das mal aufgeschrieben:<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCfiKXucfiIDv9xElzCkr_Bi6JSlXxVBol3nqadK9jz5WmuzooerVs4S2aGJKZJUMYd86Z8Vzh41H7FMQNFDnh5THunqQ8ZAMKlCWk3bPlIzcUlPpWOnrIArsIMJ6zrIbc26SyTN6OSSJh/s1600/i+hoch+i.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1040" data-original-width="1500" height="442" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjCfiKXucfiIDv9xElzCkr_Bi6JSlXxVBol3nqadK9jz5WmuzooerVs4S2aGJKZJUMYd86Z8Vzh41H7FMQNFDnh5THunqQ8ZAMKlCWk3bPlIzcUlPpWOnrIArsIMJ6zrIbc26SyTN6OSSJh/s640/i+hoch+i.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
Wer will, kann sich auch das folgende Video ansehen.<br />
<br />
Hier wird das über den Logarithmus hergeleitet.<br />
Ist etwas umständlicher, aber man lernt einen anderen Weg kennen und vorher wiederholt er Vieles, was wir gemacht haben. Er benutzt aber x statt y. Wir haben in usnerem Blog x für einen Realanteil und y für einen Imaginäranteil reserviert.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe width="320" height="266" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/TIMH2np2juo/0.jpg" src="https://www.youtube.com/embed/TIMH2np2juo?feature=player_embedded" frameborder="0" allowfullscreen></iframe></div>
<br />
<br />
Im nächsten Post will ich kurz einige interessante Anmerkungen machen zum Ausführen von Kreisintegralen.<br />
Was passiert, wenn man komplexe Funktionen im Kreis aufsummiert.... Wer sich mit Integralen nicht auskennt, kann das auch überspringen, es ist später nicht wichtig.<br />
<br />
Zum Abschluss des Workshops möchte ich dann einmal die Anwendung komplexer Zahlen in der Elektrotechnik zeigen, also bei der Berechnung von Widerständen und Schaltungen.<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-63749921246119021492020-05-09T00:07:00.003+02:002020-05-09T00:07:38.401+02:00Teil 8: Hyperkomplexe ZahlenBevor wir uns weiteren Anwendungen und Beispielen zuwenden, ein ganz kurzer Blick auf noch komplexere Zahlsysteme:<br />
<br />
<u><b>Quaternionen:</b></u><br />
<br />
Zahlen der Form a +b* i + c*j + d*k wobei i = j = k = √(-1) und i*j*k = -1 sein muss.<br />
Es sind also vierdimensionale Punkte (a,b,c,d) <br />
<u>Anwendung:</u> Mit der Multiplikation von Quaternionen kann man Drehungen im Raum gut beschreiben. Dabei ist die erste Komponente eine skalere Größe und die anderen drei Komponenten liefern Vektoren.<br />
<u>Nachteil:</u> Produkte sind nicht immer kommutativ, d.h. q*p muss nicht p*q sein.<br />
<br />
Wer etwas mehr darüber lernen will, auch wie man Quaternionen addiert, sollte sich dieses (englischsprachige) Video ansehen:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/jlskQDR8-bY/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/jlskQDR8-bY?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<br />
<u><b>Oktonionen:</b></u><br />
Hier gibt es eine reelle und sieben imaginäre Einheiten.<br />
<u>Nachteil: </u>Das Assoziativgesetz für die Multiplikation dieser achtdimensionalen Zahlen gilt nicht mehr.<br />
<br />
<u><b>Sedenionen:</b></u><br />
Eine reelle und 15 imaginäre Einheiten liefern Zahlen mit 16 Dimensionen.<br />
<u>Nachteil:</u> Es gibt Nullteiler, d.h. zu einer Zahl A gibt es eine Zahl B, die nicht 0 ist, aber trotzdem A*B = 0 liefert.<br />
In der Schule nutzen wir aus, dass in den üblichen Zahlenmengen keine Nullteiler existieren.<br />
Deshalb können wir sagen:<br />
Ein Produkt a*b ist 0, wenn einer der beiden Faktoren a oder b gleich 0 ist.<br />
Das hilft uns, viele Gleichungen einfach zu lösen: (x -5) * (3x+7) = 0 ergibt x = 5 oder x = -7/3<br />
Würden wir in 16 Dimensionen rechnen, wäre das nicht so einfach... <br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiK6bVmpp310dTzpFcRJnAvTUA-qYbyL3xx5pzzBt7WVnKRyt-c7UzGpMbIdCMqjX75xWyfHxf77U75d95UX_2zwFhUpM5LKTMAVAELlp2e6Ii1WM2fo9SkBDZsXqqKv2K8zD9CuaHECDcp/s1600/Hyperkomplexe_Zahlen.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="250" data-original-width="270" height="296" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiK6bVmpp310dTzpFcRJnAvTUA-qYbyL3xx5pzzBt7WVnKRyt-c7UzGpMbIdCMqjX75xWyfHxf77U75d95UX_2zwFhUpM5LKTMAVAELlp2e6Ii1WM2fo9SkBDZsXqqKv2K8zD9CuaHECDcp/s320/Hyperkomplexe_Zahlen.svg.png" width="320" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">wikipedia</td></tr>
</tbody></table>
<br />
<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-65200409464783706652020-05-08T21:10:00.000+02:002020-05-08T21:10:01.233+02:00Intermezzo: Videoabend<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/bIY6ahHVgqA/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/bIY6ahHVgqA?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<br />
Aus der Reihe <a href="https://www.youtube.com/channel/UCJ0yBou72Lz9fqeMXh9mkog" target="_blank">Physics Videos by Eugene Khutoryansky</a> gibt es auch ein schönes Video über komplexe Zahlen.<br />
Die Reihe enthält viele, mit abstrakten aber sehr anschaulichen Darstellungen versehene Infos über weite Bereiche der Physik und Technik, mit dem musikalischen Hintergrund manchmal sehr gewöhnungsbedürftig, aber inhaltlich sehr sehr oft spitze.<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-56131402208840407122020-05-07T14:39:00.000+02:002020-05-07T14:39:58.417+02:00Teil 7: Das Apfelmännchen und JuliamengenBetrachten wir noch einmal unsere Folge von komplexen Zahlen z(n+1) = z(n)² + c.<br />
<br />
Die Konstante c hat zweierlei Funktionen:<br />
<br />
1) c legt eine Juliamenge Jc fest, in dieser Juliamenge sind alle Startwerte, die zu einer konvergierenden Folge führen.<br />
2) c ist ein Punkt in der Mandelbrotmenge, für dieses c bleibt die Folge bei einem Startwert von 0 beschränkt.<br />
<br />
Hier ist der Zusammenhang zwischen c und der Lage in der Mandelbrotmenge dargestellt (Punkte 1 und i auf den Achsen markiert):<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaP9KoyKTY4uSl1p8K-lLEPu0MQXYsw0WMAG8kmD_Lti6TxEN0kKuIVNM6AMjlCZMZFGCj4g1MJg-mBYY9ba2Rrqwfu3iDTLW9rVld6wAb3R85piJHRHurrB2jVBfqveBMBkqX1BMTLQOk/s1600/apfel01.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="140" data-original-width="198" height="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgaP9KoyKTY4uSl1p8K-lLEPu0MQXYsw0WMAG8kmD_Lti6TxEN0kKuIVNM6AMjlCZMZFGCj4g1MJg-mBYY9ba2Rrqwfu3iDTLW9rVld6wAb3R85piJHRHurrB2jVBfqveBMBkqX1BMTLQOk/s400/apfel01.gif" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<br />
Das riecht nach einem Zusammenhang zwischen Mandelbrotmenge und Juliamenge:<br />
<br />
- Wenn der Punkt c in der Mandelbrotmenge liegt, dann ist die zugehörende Juliamenge Jc in sich zusammenhängend. Das heißt vereinfacht: Jeder Punkt der Menge kann von jedem anderen Punkt über Wege erreicht werden, die komplett in der Menge liegen.<br />
- Wenn c nicht in der Mandelbrotmenge liegt, dann ist die zugehörige Juliamenge "zerfleddert".<br />
- Wenn man innerhalb der Mandelbrotmenge auf einen Punkt c zu zoomt, taucht am Ende irgendwann die Juliamenge Jc auf.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEMGAP2A1V53QOCdflZh4f2cE2cPwQ87Bws0F40HVJRaLuxPumpj2g9MIh5oB6G52aItQy20BbGqBy47BJa_-55N1f6jMKhhvIKKegU5BidrZb8Y0MBrAGn687vJ_K2zxicoCIePYmMHlP/s1600/x050.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="352" data-original-width="366" height="614" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgEMGAP2A1V53QOCdflZh4f2cE2cPwQ87Bws0F40HVJRaLuxPumpj2g9MIh5oB6G52aItQy20BbGqBy47BJa_-55N1f6jMKhhvIKKegU5BidrZb8Y0MBrAGn687vJ_K2zxicoCIePYmMHlP/s640/x050.gif" width="640" /></a></div>
<br />
Im Bild oben sehen wir die Juliamengen zu einzelnen Mandelbrotpunkten.<br />
<br />
Ein absoluter Hammer ist das Simulationsprogramm dazu, das man sich hier herunterladen kann:<br />
<br />
<a href="https://mathematikalpha.de/beziehung-mandelbrot-julia-mengen" target="_blank">Julia und Mandelbrot</a><br />
<br />
Während die Punkte c durch die Mandelbrotmenge wandern, sieht man die zugehörigen Juliamengen.<br />
<br />
Ein weiteres Simulationsprogramm kann im virtuellen Physiklabor von Prof. Matzdorf heruntergeladen werden:<br />
<br />
<a href="https://www.uni-kassel.de/fb10/institute/physik/forschungsgruppen/oberflaechenphysik/virtuelles-physiklabor/mechanik/deterministisches-chaos/mandelbrotmenge.html" target="_blank">Mandelbrot in Kassel</a><br />
<br />
Begründungen für diese Zusammenhänge können wir hier nicht geben, stattdessen verlinke ich mal einige Videos, mit denen man abschließend eine Reise in die Unendlichkeit der Mandelbrotstrukturen machen kann:<br />
<br />
750 Millionen Schritte:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/aSg2Db3jF_4/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/aSg2Db3jF_4?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/jm_Q1FO9bP4/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/jm_Q1FO9bP4?feature=player_embedded" width="320"></iframe><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/1IOADs-4bJo/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/1IOADs-4bJo?feature=player_embedded" width="320"></iframe><br />
<br />
Und wer selbst herumspielen möchte:<br />
<br />
<a href="http://www.malinc.se/m/Mandelbrot.php" target="_blank">Zoom in die Mandelbrotmenge</a><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiEX_A7vW6jgJeHupbGrNtws3AO47XOyQfgS4iJw1hwhJogauzF4EYhJRgNqUVS0Ub5gbInoDQgYVJct60hfIxBVRspzMWMnQqQ0k27HO3MlbHfb5ZQ5i_MRb4YTJMvartSCEVlH6-vVhO/s1600/MandelbrotZoom.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="600" data-original-width="900" height="426" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiEX_A7vW6jgJeHupbGrNtws3AO47XOyQfgS4iJw1hwhJogauzF4EYhJRgNqUVS0Ub5gbInoDQgYVJct60hfIxBVRspzMWMnQqQ0k27HO3MlbHfb5ZQ5i_MRb4YTJMvartSCEVlH6-vVhO/s640/MandelbrotZoom.png" width="640" /></a></div>
<br />
Und immer wieder taucht ein neues Apfelbrotmännchen in der Tiefe auf...<br />
<br />
Und nicht vergessen: Wir quadrieren nur komplexe Zahlen und zählen eine feste Zahl dazu...und erzeugende eine unfassbare Welt aus komplexen und ästhetischen Objekten:<br />
<br />
Die fraktale Welt von Mandelbrot und Julia.KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-5057945517652134542020-05-06T17:53:00.003+02:002020-05-06T17:55:38.497+02:00Teil 7: Apfelmännchen und FeigenbaumWir haben ja schon gesehen, dass es bei der Mandelbrotmenge Punkte c gibt, die Folgen auf einen oder zwei oder mehr Endwerrte generieren.<br />
<br />
Hier ist ein kleiner Überblick dazu:<br />
Die Zahlen geben an, wieviele Endwerte es gibt.Vergrößert das Bild mal durch Anklicken.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAUA5e8ohQigutskuomMU_zNLrc_J2mGGWqXBrPtmwIJXS-gEgy3v4K3rAl7HAGW8oShEmjGfO_1E4zZNHnZoQkejsQCmIwBSRZ3qiRKh-768JG6pXwvwHg2QJDsnZem_wwL8c8dG48KJf/s1600/grenzzy.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1440" data-original-width="1600" height="576" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiAUA5e8ohQigutskuomMU_zNLrc_J2mGGWqXBrPtmwIJXS-gEgy3v4K3rAl7HAGW8oShEmjGfO_1E4zZNHnZoQkejsQCmIwBSRZ3qiRKh-768JG6pXwvwHg2QJDsnZem_wwL8c8dG48KJf/s640/grenzzy.png" width="640" /></a></div>
<br />
Solche Bifurkationen haben wir schon beim Feigenbaum kennengelernt:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyaRcKe_JF3dlBcxzA-jWEwViQ6dwbrOgXY0CxEtzDGWg_Z48a5WJ870a6Pmfr0oq_mOkLd4IfaBqHMJo0nyZqd7Pr1G3IRF7XcNUN73YCSbri6SdnDL5AF6bX00yzZMohHpZaNc6tSG2-/s1600/Georg+Johann+Lay.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1247" data-original-width="1000" height="640" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhyaRcKe_JF3dlBcxzA-jWEwViQ6dwbrOgXY0CxEtzDGWg_Z48a5WJ870a6Pmfr0oq_mOkLd4IfaBqHMJo0nyZqd7Pr1G3IRF7XcNUN73YCSbri6SdnDL5AF6bX00yzZMohHpZaNc6tSG2-/s640/Georg+Johann+Lay.jpg" width="512" /></a></div>
Alle Darstellungen sind von Georg Johann Lay.<br />
<br />
Das Feigenbaumdiagramm ist umgekehrt angeordnet, damit man das besser zuordnen kann.KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-77053944728777766422020-05-05T20:36:00.000+02:002020-05-05T20:36:28.376+02:00Teil 7: Das Apfelmännchen IIund wie weit seid ihr??<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjdHO6kOcXFJzBIfgN_p8DQXlTrrOEalqz7hWHicUhAtnl5aBKf7m2tlBsW10jPyrOy9yreiwTkKOjxSCqZS6_CBMVFqmbuMvPuDDSwSBZIzBIkw5QzlzOdkaBaFjqVdPOs5bsoAq9KfgS/s1600/erste.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="913" data-original-width="877" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgjdHO6kOcXFJzBIfgN_p8DQXlTrrOEalqz7hWHicUhAtnl5aBKf7m2tlBsW10jPyrOy9yreiwTkKOjxSCqZS6_CBMVFqmbuMvPuDDSwSBZIzBIkw5QzlzOdkaBaFjqVdPOs5bsoAq9KfgS/s320/erste.jpg" width="307" /></a></div>
<br />
wie, nicht weiter?<br />
<br />
Ich hab das hier:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-mpLJxH5nD5eqagwr7SkVjW-7X8NryfLVblD0AAeWJPWSUGOtH2jhGM7ouCPMbAyzfh8OXn7TURlm2ZgkwFR4d5VYLur2oRa7tdS3fYt3spfI81CducmW4LDhyphenhyphen6LBJYg7K__7olEuYF2x/s1600/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1600" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi-mpLJxH5nD5eqagwr7SkVjW-7X8NryfLVblD0AAeWJPWSUGOtH2jhGM7ouCPMbAyzfh8OXn7TURlm2ZgkwFR4d5VYLur2oRa7tdS3fYt3spfI81CducmW4LDhyphenhyphen6LBJYg7K__7olEuYF2x/s640/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg" width="640" /></a></div>
Im Inneren des Schwarzen liegen alle Zahlen für c, die Folgen mit einer Beschränkung unter 2 liefern. Die Farben und Tönungen markieren ab wieviel Rechenschritten klar ist, dass die Folge divergiert, also die Abstände über die 2 gehen.<br />
<br />
Die folgenden Bilder (von Wolfgang Beyer mit Ultra Fractal 3 angefertigt) zeigen einige vergrößerte Ausschnitte, wir zoomen rein:<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKvaf8eM0qZW5IV6jFRubhCWsPTGyq67rNASTi3NRSEzLiS0zHqrSkgElUVu3eCkEbfyJK9Z3w49hqpKE_Zv_9xsZWtLYCKhMueFPAC6ONgHj0oYdRdK8_qjfc3e7Eyy9MZooVetHrbVH3/s1600/Mandel_zoom_01_head_and_shoulder.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1600" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhKvaf8eM0qZW5IV6jFRubhCWsPTGyq67rNASTi3NRSEzLiS0zHqrSkgElUVu3eCkEbfyJK9Z3w49hqpKE_Zv_9xsZWtLYCKhMueFPAC6ONgHj0oYdRdK8_qjfc3e7Eyy9MZooVetHrbVH3/s640/Mandel_zoom_01_head_and_shoulder.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEoilib5-5RY50lKNL0Xi5i4QDwwF5CGlYe3_yJHof-Mfe9PSnVj2_Ruhh7zaQ3QEjTBu8N3idYDL8wzrNOLacE4wMvUtDOFympGEm7vMQQSxirKfKoIXdtOAXZdlP8tYp3hs4SIiRDZfp/s1600/Mandel_zoom_11_satellite_double_spiral.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1200" data-original-width="1600" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEoilib5-5RY50lKNL0Xi5i4QDwwF5CGlYe3_yJHof-Mfe9PSnVj2_Ruhh7zaQ3QEjTBu8N3idYDL8wzrNOLacE4wMvUtDOFympGEm7vMQQSxirKfKoIXdtOAXZdlP8tYp3hs4SIiRDZfp/s640/Mandel_zoom_11_satellite_double_spiral.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
Überall lauern Kopien des Apfelbrotmännchens...eine wahrlich fraktale Struktur!<br />
<br />
Und das sind nur komplexe Zahlen, die der Rechenanweisung folgen: Quadriere und addiere c dazu...<br />
<br />
Und hier ein allgemein zugängliches Zoom-Video:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dxfo_83r35hPAtQbVxAc3PawzN8-YN9dVAiUNTWo6VkcgbTfn_MwO2pBVvEXb9qZIEVxbp-itw3gPzS31Ouqg' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
In den nächsten Posts werden wir mehr über die Mandelbrotmenge erfahren, auch den faszinierenden Zusammenhang zu den Juliamengen herstellen.<br />
<br />
Dann werde ich einen Ausblick auf noch umfassendere Zahlbereiche geben (Quaterionen) und zum Abschluss gibt es noch einen kleinen Exkurs zur Anwendung komplexer Zahlen bei Wechselstrom.<br />
<br />
So in einer knappen Woche ist der Kurs fertig.KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-81410369392567219032020-05-05T20:10:00.001+02:002020-05-05T20:10:11.655+02:00Teil 7: Das Apfelmännchen IFachlich spricht man von der Mandelbrotmenge nach Benoit Mandelbrot, der sie 1980 näher untersucht hat.<br />
<br />
Wir beschäftigen uns wieder mit unserer Gleichung z(n+1) = z(n)² + c mit komplexen Zahlen.<br />
<br />
Zur Erinnerung: <span style="background-color: #eeeeee;">Eine Juliamenge Jc gehört zu einem bestimmten Wert von c und enthält die Startwerte, für die gerade noch eine Konvergenz der Folge von Zahlen z(n) vorliegt.</span><br />
<br />
Jetzt nehmen wir einen festen Startwert, nämlich die reelle Zahl z(0) = 0. Wir arbeiten mit den Konstanten c, für die die Folge der Zahlen z(n) beschränkt bleibt, also z.B. |z(n)| < 2.<br />
<br />
Ich hab mir das mal in ein Schema aufgeschrieben:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrtX8Q226xH6FmK1nXuizztsQsx7BhrGfmt5nJO9OP21RDyLZeUlJq0oiGkQeafSF2LknyA7lABNXOHdunCfZ2VZG8talwqhYg-hdAgTWUg2pd2FDtojd4PXHqPOBnP3aVUpSR8HcKBeMU/s1600/mandeljulia.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1028" data-original-width="1512" height="434" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhrtX8Q226xH6FmK1nXuizztsQsx7BhrGfmt5nJO9OP21RDyLZeUlJq0oiGkQeafSF2LknyA7lABNXOHdunCfZ2VZG8talwqhYg-hdAgTWUg2pd2FDtojd4PXHqPOBnP3aVUpSR8HcKBeMU/s640/mandeljulia.jpg" width="640" /></a></div>
In einer zu c gehörenden Juliamenge werden also bestimmte Startwerte aufgetragen.<br />
In der Mandelbrotmenge (sie gehört immer zum Startwert 0) werden bestimmte Konstanten der Folgen aufgetragen.<br />
Über meinem Text stehen die Bedingungen zum Auftragen. <br />
<br />
In den folgenden Rechnungen schreibe ich die ersten Folgenglieder der Folge z(n) hin: <br />
<br />
<u>Beispiel c = 0:</u><br />
<br />
0+0 = 0,<br />
0+0 = 0, usw.<br />
c=0 liefert also eine beschränkte Folge, sie bleibt imemr auf dem Startwert hängen, der auf dem Urspung liegt.. Der Punkt c =0 gehört zur Mandelbrotmenge.<br />
<br />
<u>Beispiel c = -1:</u><br />
0 - 1 = -1,<br />
(-1)² + (-1) = 0<br />
dann: -1, 0, -1, 0...<br />
c= -1 liefert zwei Endwerte, die abwechselnd angenommen werden und die nicht weiter als 2 vom Urspung entfernt liegen. Der Punkt c = -1 gehört zur Mandelbrotmenge. Man sagt, er gehört zu zwei Grenzzyklen.<br />
<br />
Hinweis: c = -1 ist eine komplexe Zahl mit dem Realteil -1 und dem Imaginärteil 0.<br />
<br />
<u>Beispiel c = +1:</u><br />
0 + 1 = 1<br />
1² + 1 = 2<br />
2² + 1 = 5<br />
5² + 1 = 26 ...<br />
Diese Folge divergiert, die Zahlen sind schnell außerhalb der vorgegebenen Grenze, d.h. <br />
c = +1 gehört nicht zur Mandelbrotmenge.<br />
<br />
<u>Beispiel c = -2:</u><br />
0 + (-2) = -2<br />
(-2)² -2 = 2<br />
2² -2 = 2 usw.<br />
Die Folge ist sofort beim Wert 2, bleibt da, die Werte sind aber nicht kleiner als 2, d.h. c = -2 gehört gerade nicht mehr zur Mandelbrotmenge<br />
<br />
<u>Beispiel c = -3:</u><br />
0 -3 = -3<br />
(-3)² -3 = 6<br />
36 -3 = 33 ...<br />
Die Folge divergiert, ist sofort weiter als 2 vom Urspung weg, c = -3 gehört nicht zur Mandelbrotmenge<br />
<br />
<u>Beispiel c = -i:</u><br />
0 -i = -i.<br />
(-i)² -i = -1-i <br />
(-1-i)² -i = 1 +2i + i² -i = i <br />
i² -i = -1-i, usw...<br />
Es entstehen abwechseln i und -1-i, beide Punkte sind dichter als 2 am Ursprung, c = -i liefert also einen Punkt auf der Mandelbrotmenge. Es ist ebenfalls ein zweier Grenzzyklus.<br />
<br />
<u>Beispiel c = i:</u><br />
0 + i = i<br />
i² + i = -1 + i<br />
(-1+i)² + i = i usw.<br />
Auch hier entsteht ein zweier Grenzzyklus, beide Zahlen sind näher als 2 am Ursprung, c = i gehört auch zur Mandelbrotmenge..<br />
<br />
Dann haben wir ja schon ein paar Punkte der Mandelbrotmenge gefunden.<br />
Versucht noch mehr zu finden...<br />
Wie ist es mit c = -0.23 + 0,8*i?<br />
<br />
Ich bereite schon mal die Zeichnung vor...<br />
und wenn ihr eure erste Mandelbrotmenge gezeichnet habt, kommt der nächste Post.... <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-71867231242707567412020-05-03T22:05:00.004+02:002020-05-03T22:07:23.915+02:00Teil 7: Julia Mengen IIWir wollen nun lernen, was die bunten graphischen Darstellungen einer Julia Menge bedeuten.<br />
<br />
<u><b>Fall c=0:</b></u><br />
Fangen wir mit dem Fall c = 0 an, wir haben also z(n+1) = z(n)².<br />
Es gibt genau drei Möglichkeiten, wie sich die Folge von Werten verhält:<br />
Entweder alle Werte (bzw. die Beträge der komplexen Zahlen) streben zu 0, ins Unendliche oder der Betrag bleibt |z| =1, d.h. sie bleiben auf dem Einheitskreis.<br />
<br />
Streben die Werte gegen 0, sagt man: Die Folge aus Zahlen konvergiert.<br />
<br />
Streben die Werte gegen Unendlich, sagt man, dass die Zahlenfolge divergiert.<br />
<br />
Liegt eine komplexe Zahl auf dem Einheitskreis, dann ändert sich durch Quadrieren nie ihr Abstand zur 0, lediglich der Winkel wird verdoppelt, d.h. mit jedem Schritt wandert die Zahl auf dem Einheitskreis herum, bleibt aber dort.<br />
<br />
Es gibt also zwei Fälle:<br />
Alle Startwerte, die zu einer konvergierenden Zahlenfolge führen, liegen im Einzugsbereich E, alle, die zu einer divergierenden Zahlenfolge führen liegen im Divergenzbereich D.<br />
Die Julia-Menge ist genau die Grenze, sie enthält also alle Startwerte, die gerade noch zu konvergierenden Folgen führen. Sie ist der Rand von der Menge E.<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg233vLJf7cSPaU4ZtepGCmu987ym4QBghNHQ6ILBfsuuejsAtXtGaXEHvtnA8HyrRzFqaqffobAza3wzEyqI5GGzlEyIIP9hrBaFua82-LSdayS3bSWHnNkhVx8sDXz37WDcUOzSuifu-G/s1600/mathe+ch.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="194" data-original-width="250" height="310" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg233vLJf7cSPaU4ZtepGCmu987ym4QBghNHQ6ILBfsuuejsAtXtGaXEHvtnA8HyrRzFqaqffobAza3wzEyqI5GGzlEyIIP9hrBaFua82-LSdayS3bSWHnNkhVx8sDXz37WDcUOzSuifu-G/s400/mathe+ch.jpg" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">mathe ch</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Für unseren Fall ist also klar: Für c = 0 ist die Juliamenge die Kreislinie des Einheitskreises.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4BZwEsF14ftdckQVUgYGDD6_cV-LwlQJ8rN7FSOy7XbxiLs6AJ6ia1whag_XHhyphenhyphenOpMI8rsMRDlJrNc4xvyLgi4sX6e6zD6brvbYudTV1I9ODLKbwlrU5p1_UrZN6yIDhT6IqLpZgnQGvM/s1600/iki.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="750" data-original-width="1000" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4BZwEsF14ftdckQVUgYGDD6_cV-LwlQJ8rN7FSOy7XbxiLs6AJ6ia1whag_XHhyphenhyphenOpMI8rsMRDlJrNc4xvyLgi4sX6e6zD6brvbYudTV1I9ODLKbwlrU5p1_UrZN6yIDhT6IqLpZgnQGvM/s400/iki.png" width="400" /></a></div>
<br />
Ganz oft gibt es keine mathematischen Gesetzmäßigkeiten, aus denen man das Verhalten der Zahlenfolgen bestimmen kann. Dann legt man eine Grenze fest. Sobald die Zahlenfolge diesen Wert überschreitet, gilt der Startwert als zu D gehörend.<br />
Jetzt kann man noch schauen, wieviele Rechenschritte (Iterationen) man machen musste (wie groß also das n ist, ab der die Grenze überschritten wird) und dann kann man je nach Größe von n dem Startpunkt eine andere Farbe geben.<br />
So entstehen die sich umfassenden farbigen Bereiche...nach Außen überschreitet die Folge immer schneller die vorgegebene Grenze. der innerste dunkle Teil ist dann die Juliamenge.<br />
<br />
Die Julia-Menge selbst enthält immer überabzählbar viele Punkte, sie ist also gleichmächtig zur Menge der reellen zahlen. Kann man bei diesem fragilen Gebilde kaum glauben...<br />
Sie sehen fragil aus, sind aber sog. dichte Mengen.<br />
Das erkläre ich am besten an einem einfaschen beispiel: Die Menge der Brüche liegt dicht in der Menge der reellen zahlen. Ihc kann jede irrationale Zahl beliebig genau durch einen Bruch (rationale Zahl) annähern.<br />
Wenn jemand von euch π auf 500 Stellen genau kennt, dann weiß er oder sie wovon ich rede...<br />
<br />
π = 3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559
6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165
2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360
0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953
0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724
8912279381 8301194912 …<br />
<br />
Eine Anmerkung sollte ich machen: Wir arbeiten mit komplexen Zahlen, da haben wir gesehen, dass man keine Anordnung machen kann, also nicht sagen kann, wann eine komplexe Zahl größer als eine andere ist. Hier meint man immer den Betrag, also den Abstand zur 0 oder den Betrag der Differenz zweier komplexer Zahlen.<br />
<br />
<b> <u>Fall c= i</u></b><br />
Wir betrachten also jetzt die Folge z(n+1) = z(n)² + i und versuchen wieder herauszufinden ab welchem n die Zahlen (bzw. ihr Betrag!) eine gegebene Grenze überschreiten (meistens 2).<br />
<br />
Was herauskommt habe ich in einem kleinen Film zusammengefasst, der einzelne Iterationsschritte zeigt und am Ende die Julia-Menge und ihre farbig markierte Umgebung.<br />
Solche Simulationen kann man mit dem Programm fractale Extreme selbst machen, für drei Wochen gibt es eine Testversion, danach muss man etwa 10.-€ zahlen.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.blogger.com/video.g?token=AD6v5dyT78KmK9lbqr4CjK23-sGgOR55vbdPucCv6-VTxILl_LVEHGJjGuWafRYWk2ysO81CUw-K8NEmmLBt38CKvg' class='b-hbp-video b-uploaded' frameborder='0'></iframe></div>
(Fall ihr den falschen Film, einen früheren, seht: Browser beenden, bereinigen und neu starten...)<br />
<br />
<u><b>Fall c = -0732 + i*0,241</b></u><br />
Das wird wohl kaum jemand per Hand gerechnet haben...<br />
Hier die Juliamenge dazu . Ich bin in Bild 2 bis 4 imemr weiter in das jeweilige Bild hineingezoomt und wir erkennen, was fraktale Struktur bedeutet. Immer wieder taucht das gleiche Motiv auf.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTISJm6S_7Aj31Irp8XXlVYn0edNb8C8WN4dinw_Si6RkxZH-GrlX3-fLaZER1Fm68A9aruj4u50-o_Ke-fuO3qYV_jVYWH9YXIYHP1Uo060RK21jBOVYixA_sV6VkfJtGg6Hkp-KCROSn/s1600/1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="870" data-original-width="1600" height="348" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiTISJm6S_7Aj31Irp8XXlVYn0edNb8C8WN4dinw_Si6RkxZH-GrlX3-fLaZER1Fm68A9aruj4u50-o_Ke-fuO3qYV_jVYWH9YXIYHP1Uo060RK21jBOVYixA_sV6VkfJtGg6Hkp-KCROSn/s640/1.jpg" width="640" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">c = -0732 + i*0,241</td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"></td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEJZbt_gmUn2P-ByEz1LMmHzRTglz8a3ZwH5XBsBDhbflLja6_HSLWNJcIN2j2Se3ZixTzJvQjxTLc8b0yT3bUlsqTyb5jPDu0-sTaNMaGzhc6ucF8XIi1htIYcKia1OrWChq7y_K0VKae/s1600/2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="908" data-original-width="1600" height="362" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEJZbt_gmUn2P-ByEz1LMmHzRTglz8a3ZwH5XBsBDhbflLja6_HSLWNJcIN2j2Se3ZixTzJvQjxTLc8b0yT3bUlsqTyb5jPDu0-sTaNMaGzhc6ucF8XIi1htIYcKia1OrWChq7y_K0VKae/s640/2.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2sfUhhsWgtgD42VPic5uTU3eMHXqNpaE4Wd-1rIwBGXzspeoB2COz4BCpw9Rmz8fJbk06KBbSXp_XDhddaZMjfQ94XADJlIOI4HLEo3_p6HqrfrUnoqoUZeqeJf9MtGHnzj3TzigBt8Bf/s1600/3.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="883" data-original-width="1600" height="352" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2sfUhhsWgtgD42VPic5uTU3eMHXqNpaE4Wd-1rIwBGXzspeoB2COz4BCpw9Rmz8fJbk06KBbSXp_XDhddaZMjfQ94XADJlIOI4HLEo3_p6HqrfrUnoqoUZeqeJf9MtGHnzj3TzigBt8Bf/s640/3.jpg" width="640" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiz2NGRLD1bo3utLak1_4vBC_DTY74MKmXv83VfsbtBlpY97qyE6H-z8FRPL68PisQpQ6T4LIPxfbgzIzxmLLG0U_l1X02F1jWoOXYLQR4NXAHonrWDAkwqqO3__6kr6GrTpO0KOoDwG2TM/s1600/4.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1008" data-original-width="1600" height="402" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiz2NGRLD1bo3utLak1_4vBC_DTY74MKmXv83VfsbtBlpY97qyE6H-z8FRPL68PisQpQ6T4LIPxfbgzIzxmLLG0U_l1X02F1jWoOXYLQR4NXAHonrWDAkwqqO3__6kr6GrTpO0KOoDwG2TM/s640/4.jpg" width="640" /></a></div>
<br />
<u><b>Weitere Beispiele:</b></u><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-vkw7OxZQLuVf_2J_fZ-grzgjW_juuYYDGOFesS4qg5z-FAYEWLCne1X-keavXocMylLoWxoMblKCSqlriiBZlapgNmCo9VK7O69fFOX3fjNfF7qSUt7MtQPj8x5S-UNvH7zpvUBTmkyW/s1600/i++min0%252C4+plus++min+0%252C7plus+0%252C3+i++min+1%252C77+plus+0%252C01ii.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="192" data-original-width="256" height="480" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh-vkw7OxZQLuVf_2J_fZ-grzgjW_juuYYDGOFesS4qg5z-FAYEWLCne1X-keavXocMylLoWxoMblKCSqlriiBZlapgNmCo9VK7O69fFOX3fjNfF7qSUt7MtQPj8x5S-UNvH7zpvUBTmkyW/s640/i++min0%252C4+plus++min+0%252C7plus+0%252C3+i++min+1%252C77+plus+0%252C01ii.jpg" width="640" /></a></div>
oben links: c = i, oben rechts: c = -0,4 + i<br />
unten links: c = -0,7 + 0,3 i, unten rechts: c = -1,77 + 0,01 i<br />
<br />
Wer jetzt schon staunt, sollte warten... im nächsten Post machen wir mit der Gleichung f(z) = z² + c noch ganz andere Dinge...<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-73281638142134989332020-05-03T10:16:00.001+02:002020-05-03T21:21:53.488+02:00Teil 7: Julia Mengen I<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/EM3rUn9xcp8/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/EM3rUn9xcp8?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<br />
Was hat es mit solchen schönen Figuren auf sich?<br />
<br />
Erst einmal: Es sind Fraktale, immer wieder taucht beim Hineinzoomen das gleiche Motiv auf.<br />
<br />
Zweitens: Die Bilder per Hand berechnen erfordert viel, viel Zeit...ist aber eigentlich recht leicht...<br />
<br />
Fangen wir an:<br />
<br />
Was wir im Film sehen, ist eine Julia Menge.<br />
Julia Mengen sind benannt nach Gaston Julia, der sie 1919 entdeckt hat. Damals gab es keine Taschenrechner! Der hat das alles wirklich per Hand ausgerechnet.<br />
Erst in den 1970-er Jahren, mit dem Aufkommen schnellerer Computer konnte man die fraktale Schönheit wirklich zeigen und genießen.<br />
<br />
Julia-Mengen sind Darstellungen von Funktionen, die iterativ berechnet werden. Mehr im nächsten Post.<br />
<br />
Wir machen das für ein ganz einfaches Beispiel:<br />
<br />
Wir nehmen die komplexe Funktion f(z) = z² + c und setzen den errechneten Wert f(z) immer wieder für z ein, lassen das c fest. Ihr kennt das...das ist die Rückkopplung, die zu chaotischen Strukturen führt.<br />
<br />
Das kann man natürlich auch als Folge hinschreiben:<br />
<br />
z(n+1) = z(n)²+ c, n ist dann die sogenannte Iterationsnummer.<br />
<br />
Man fängt mit n = 0 an und legt den Startwert z(0) fest. Und dann geht es los...<br />
<br />
Mein Tipp: macht das mal...<br />
<br />
Ich schlage vor:<br />
Erster Fall:<br />
c = 0 mit den Startwerten z(0) = 0, z(0)= 1 und z(0) = i<br />
<br />
Wenn ihr das habt, dann wählt mal ein anderes c:<br />
<br />
Zweiter Fall:<br />
c = 1 oder c = i<br />
<br />
Wie man mit komplexen Zahlen rechnet, haben wir gelernt...<br />
<br />
Also los...<br />
<br />
Zeichnet immer für jeden Schritt die Punkte in eine Gaußsche Ebene, also in unser Koordinatensystem für komplexe Zahlen. Und macht möglichst viele Schritte...<br />
<br />
<br />
Wer Langeweile hat, sollte mal verschiedene Startwerte für c = -0,732 + i*0,241 ausprobieren....<br />
<br />
Lösungen und mehr Infos gibt es im nächsten PostKP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-56084542433740091542020-05-01T21:49:00.000+02:002020-05-02T09:20:35.342+02:00Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 6: Was ist eigentlich Chaos?Der Meterologe Lorenz hat 1963 ein Modell zur Wettervorhersage entwickelt, dass mit drei gekoppelten Differnzialgleichungen arbeitet. Wir wissen heute, das ist ein nicht lineares System, das chaotisches Verhalten zeigt.<br />
Er gab Wetterdaten ein und überlies es einem Ciomputer (ja, die gab es damals auch schon), daraus ein Modell zu rechnen.<br />
Er wollte das wiederholen, rundete aber die Daten leicht (man sagt er hatte keine Lust wieder alle Stellen hinter dem Komma in Lochkarten einzugeben...) und erhielt einen vollkommen anderen Wetterzustand.<br />
<br />
Das ist die ein chaotisches Ssystem charakterisierende <u>Anfangssensibilität</u>:<br />
Die Entwicklung des Systems hängt extrem empfindlich vom Startwert ab, schon geringste Änderungen können zu großen Abweichungen führen. Abweichungen wachsen exponentiell. Da man selten Anfangsbedingungen präzise kennt, lässt sich also die weitere Entwicklung des Systems nicht vorhersagen.<br />
<br />
Das ist ein weiteres Charakteristikum eines chaotischen Systems: <u>Nichtvorhersagbarkeit</u>.<br />
<br />
Trotzdem aber laufen alle Prozesse <u>streng determiniert</u> nach Gesetzen ab.<br />
<br />
Für das Feigenbaumdiagramm hatten wir genaue Rechenvorschriften. Ändert man aber den Startwert etwas, findet eine komplett andere Entwicklung statt.<br />
<br />
Chaotische Systeme sind nicht vorhersagbar, aber determiniert und haben nichts mit zufälligen Entwicklungen zu tun.<br />
<br />
"Der Flügelschlag eines Schmetterlings in Brasilien beeinflusst das Wetter in Europa" ist zu einem gängigen Sprichwort geworden.<br />
<br />
<br />
Noch einige weiterführende Anmerkungen:<br />
<br />
Die Menge aller möglichen stabilen Endzustände eines Systems nennt man <u>Attraktor</u>. Chaotische <br />
Systeme entwickeln sich häufig auf einen solchen Attraktorzustand hin. Dabei aber bleiben die<br />
chaotischen Eigenschaften erhalten: Obwohl nur eine begrenzte Anzahl von Endzuständen im <br />
Attraktor liegen, laufen die Entwicklungen exponentiell auseinander. Der Attraktor zieht also die<br />
Entwicklungen an und schleudert sie dann in seinem begrenzten Inneren exponentiell auseinander. Das geht nur, wenn der Attraktor fraktale Strukturen hat, eben seltsam ist. Deswegen spricht man vom <u>seltsamen Attraktor</u>.<br />
<br />
<u>Fraktale</u> sind extrem komplizierte geometrische Gebilde, die aber durch einfache Regeln (und <br />
Rückkopplungen) erzeugt werden. Sie sind wieder in sich selbst zerlegbar, sie sind sich also selbstähnlich, d.h. in jedem Teil von ihnen steckt ein Bild des Ganzen (ein Farnzweig sieht entsprechend vergrößert wie ein Farn aus). Fraktale haben gebrochenzahlige Dimensionen, so hat z.B. Kleinfeld 1990 entdeckt, das neuronale Aktivitäten im menschlichen Gehirn fraktale Muster bilden, die die Dimension 1,7 +/- 0,1 besitzen, also fast flächenförmig sind, und deutlich mehr als linear.<br />
Nicht nur Farne, sondern auch Blumenkohl und Broccoli (Hintergrundbild) zeigen fraktale Strukturen.<br />
<br />
Eine bekannte fraktale Struktur ist das <u>Sierpinski-Dreieck</u>, das Walter Sierpinski 1915 erfunden hat. Man konsturiert es, in dem man ein Dreieck zeichnet, neue Dreiecke durch Verbinden der Mittelpunkte des Ursprungsdreiecks konstruiert und dann das mittlere der Teildreiecke weglässt. Mit jedem der verbliebenen Dreiecke uiederholt man das Verfahren.<br />
Die Dimension dieses Gebildes ist 1,585, es ist also weder eine Linie noch eine durchgehende Fläche.<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgurkEx80Y3BUbaLOyZVMWFL2nz7to1IPn2iS2ue2jytYKXsMSQDDllnG1daZeaedNKkvxv98SkzM3lPES17PYTd5jS4Cnk73SfvZ39qeIBv8NL8moL1dLeLtEZaIjTQTC66B4vi-KuN8J/s1600/sierp.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="141" data-original-width="800" height="70" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgurkEx80Y3BUbaLOyZVMWFL2nz7to1IPn2iS2ue2jytYKXsMSQDDllnG1daZeaedNKkvxv98SkzM3lPES17PYTd5jS4Cnk73SfvZ39qeIBv8NL8moL1dLeLtEZaIjTQTC66B4vi-KuN8J/s400/sierp.gif" width="400" /></a></div>
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgi8WVCFBGQplsXzvFkshMmmtAD-xjUtSLGlzdb-LBYQJD1VxBKieswpfDMr5yqHtv19rYSSoz7G1MpEIKePBUVopDnYapJEH5xFXlm8UVoXWGWU_gYJmYzVfMt2uCpQJ4_O0L8KdR4gZQ/s1600/sierpinski2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="260" data-original-width="300" height="554" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhgi8WVCFBGQplsXzvFkshMmmtAD-xjUtSLGlzdb-LBYQJD1VxBKieswpfDMr5yqHtv19rYSSoz7G1MpEIKePBUVopDnYapJEH5xFXlm8UVoXWGWU_gYJmYzVfMt2uCpQJ4_O0L8KdR4gZQ/s640/sierpinski2.png" width="640" /></a></div>
<br />
<br />
Einige von euch kennen das Pascalsche Dreieck (Binomialkoeffizienten), färbt man da die geraden Zahlen weiß, so entsteht auch die Struktur eines Sierpinskidreiecks.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicps931F63jn2vtsD8_ZmJrm8ov85AinG1raR4PJq5xLN2soSck7LLWZXMlo19IbTsERVYbvEvuS7Cy6wpMKrU9-FqAzsQoNMajR34LD3RAZtrHK-aklHeyuS69VgaP1SPsgo3CQY6dQT7/s1600/pascal.webp" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="234" data-original-width="312" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEicps931F63jn2vtsD8_ZmJrm8ov85AinG1raR4PJq5xLN2soSck7LLWZXMlo19IbTsERVYbvEvuS7Cy6wpMKrU9-FqAzsQoNMajR34LD3RAZtrHK-aklHeyuS69VgaP1SPsgo3CQY6dQT7/s400/pascal.webp" width="400" /></a></div>
<br />
Ein schönes Beispiel für den Übergang in Chaos ist ein tropfender Wasserhahn. Das kann man zu Hause leicht selbst ausprobieren:<br />
<br />
Bei kleinem Wasserdruck kommen die Tropfen regelmäßig. Erhöht man den Wasserdruck <br />(und damit die Ausströmgeschwindigkeit, das ist der Parameter a, verdoppelt sich immer <br />wieder die Tropffrequenz bis es zu einem chaotischen Tropfen kommt, das dann in eine <br />Strömung übergeht.<br />
<br /><br />
Da das kein Workshop über Chaos ist, wollen wir uns jetzt Systemen zuwenden, die mit komplexen Zahlen arbeiten. Wir werdne auch so etwas wie ein Feigenbaudiagramm kennenlernen, aber mit viel abenteuerlicheren Strukturen mit fraktalen Eigenschaften, das Apfelbrotmännchen oder auch Mandelbrotmenge und die Juliamengen.<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-61873173359213257462020-04-29T19:58:00.002+02:002020-04-29T19:59:02.253+02:00Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 5: Das Chaos im FeigenbaumdiagrammIn den letzten Posts ist deutlich geworden, dass die Entwicklung einer Zahlenreihe (bisher war es der prozentuale Anteil der Kaninchenpaare an der maximal möglichen Zahl, aber eigentlich haben wir nur Zahlenfolgen zwischen 0 und 1 generiert...) sich komplett anders gestaltet, wenn man einen quadratischen Term hinzufügt:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_o7H5D8wRrVDVJtpLTj1_BcQukXfhOik9V_zyVblEQ8T_YIChO956DfjfUP6sN1_LtkZew8e3mdzWFAXt2A5KKDpBF_YKEcxomz-8LYUuQ03iS6Doq9H_4Csaed4oqaMLHzSv4YBMxzBl/s1600/kanexp.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="326" data-original-width="642" height="162" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_o7H5D8wRrVDVJtpLTj1_BcQukXfhOik9V_zyVblEQ8T_YIChO956DfjfUP6sN1_LtkZew8e3mdzWFAXt2A5KKDpBF_YKEcxomz-8LYUuQ03iS6Doq9H_4Csaed4oqaMLHzSv4YBMxzBl/s320/kanexp.jpg" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiibLge4OC-nVWwJTYE4ZIu0SFxOYlD3cWusoYHH8xALmLeIGp90NL7LrtvR0uAwXzcInEcoUUa2cNywVUnLwbFQLgzWGUetDPWDO3Vsigvln3pUkv8wGVhCkp7998i9O_fPnFj-_v5_6jn/s1600/verhulst2.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="351" data-original-width="926" height="151" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiibLge4OC-nVWwJTYE4ZIu0SFxOYlD3cWusoYHH8xALmLeIGp90NL7LrtvR0uAwXzcInEcoUUa2cNywVUnLwbFQLgzWGUetDPWDO3Vsigvln3pUkv8wGVhCkp7998i9O_fPnFj-_v5_6jn/s400/verhulst2.jpg" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
Je nach a strebt die Folge der Zahlen x gegen eine feste Zahl (nennt man das auch einen stabilen Punkt oder Attraktor), gegen abwechselnd 2 oder 4 oder 8...Zahlen oder es lässt sich überhaupt kein Endwert ausmachen.<br />
Im letzten Fall hängt die Entwicklung extrem vom Startwert ab.<br />
<br />
Solche nichtlinearen Terme erzeugen immer unter bestimmten Umständen chaotisches Verhalten.<br />
Im nächsten Post sage ich dazu noch etwas mehr.<br />
<br />
Die Physik, die man in der Schule und größtenteils auch im Studium lernt, ist alles lineare Physik.<br />
<br />
Die Welt aber ist nichtlinear, chaotisch! Lineares Beschreiben kann immer nur eine Annäherung an das echte Verhalten der Welt sein.<br />
<br />
Das ist einigen Pionieren wie Feigenbaum und Mandelbrot schon vor Jahrzehnten klar gewesen. Aber erst in diesem Jahrtausend hat es sich langsam durchgesetzt.<br />
Als ich erstmalig mich um die Jahrhundertwende mit chaotischen Systemen beschäftigt habe, gab es noch viele Veröffentlichungen und Bücher, die zeigten, dass das seltsame Verhalten chaotischer Systeme dadurch entsteht, dass die Computer nicht genau genug rechnen könnten.<br />
<br />
Wir wissen heute, dass das nicht der Fall ist. Die Welt als solches ist ein chaotisches Ssystem<br />
<br />
Warum kommt sie uns so geordnet vor?<br />
<br />
Weil Chaos und Ordnung keine Gegensätze sind, sondern innerhalb chaotischen Verhaltens auch immer Ordnungssturkturen entstehen..<br />
Das sieht man wunderbar am Feigenbaumdiagramm: Ganz plötzlich endet das wirre Verhalten der Endpunkt und es gibt Bereiche, in denen nur ein oder zwei Endzustände entstehen. Ordung herrscht vor. Ändert man die Zahl a weiter, stellt sich sofort wieder Chaos ein.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4LjVZ_k_hLQ3AhIfSOr5NLRAg9xk9HGxs5ujOnPD5VrORwxSDOZIFuHvIPfgjF5DA-uAqeo1TR04zMtuGTDOrn-3wVDlYRDC60G4eHJAwVdLlXsdLFAgFvzGDJpODur8s-hE-8nm5lfjT/s1600/komprim+feigenSubsection_Bifurcation_Diagram_Logistic_Map.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1150" data-original-width="1600" height="460" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4LjVZ_k_hLQ3AhIfSOr5NLRAg9xk9HGxs5ujOnPD5VrORwxSDOZIFuHvIPfgjF5DA-uAqeo1TR04zMtuGTDOrn-3wVDlYRDC60G4eHJAwVdLlXsdLFAgFvzGDJpODur8s-hE-8nm5lfjT/s640/komprim+feigenSubsection_Bifurcation_Diagram_Logistic_Map.png" width="640" /></a></div>
<br />
So ist die Welt: Aus Chaos wird Ordnung und Ordnung wechselt ins Chaos.<br />
<br />
Im folgenden Video sieht man, wie sich bei einer strömenden Flüssigkeit aus chaotisch ablaufenden Mustern plötzlich geordnete Strukturen bilden.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/LqaIZAN7UZg/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/LqaIZAN7UZg?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<br />
<br />
Und den Wechsel von Chaos und Ordnung kann man auch beim Kochen beobachten..., das mit der Evolution und den Fröschen habe ich nicht so ganz verstanden ...<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen="" class="YOUTUBE-iframe-video" data-thumbnail-src="https://i.ytimg.com/vi/Eki-1yFrT0U/0.jpg" frameborder="0" height="266" src="https://www.youtube.com/embed/Eki-1yFrT0U?feature=player_embedded" width="320"></iframe></div>
<br />
Übrigens:<br />
Wer mir bis zum 1.7.2020 einen ähnlichen Film (mit Handy) zusendet (denke an Griesbrei etc...nicht an weitere Tiere...) erhält zwei Essensgutscheine von Betty Baguetti.<br />
<br />
Was ist aber nun ein chaotisches System?<br />
<br />
Das erkläre ich im nächsten Post, bevor wir uns chaotische komplexe Zahlsysteme ansehen.<br />
<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-50775224123009406762020-04-28T21:42:00.002+02:002020-04-28T22:48:50.877+02:00 Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 4: Das FeigenbaumdiagrammMitchell Feigenbaum (1944 -2019) war ein amerikanischer Physiker, der Pionierarbeit im Bereich Chaos und Fraktale geleistet hat.<br />
<br />
In den letzten Posts habt ihr gesehen, und sicher das ein oder andere mal auch selbst gerechnet, wie man die Folgen von Zahlen x bestimmt, die wir als prozentualen Anteil der Kaninchenpaare an der maximal möglichen Bevölkerung angesehen haben.<br />
<br />
Wir haben verschiedene Vermehrungsraten ausprobiert (unsere a Werte) und dabei zeichnet sich die folgende Regel ab (schaut dazu immer mal in dne letzten Post):<br />
<br />
<b>a zwischen 0 und 1: </b><br />
Die Population stirbt aus. Nach wenigen Jahren ist kein Kaninchen mehr da.<br />
<br />
<b>a zwischen 1 und 2: </b><br />
Die Population stabilisiert sich zu einer festen Prozentzahl (Grenzwert), die von a abhängt:<br />
a - 1/a,<br />
<br />
d.h, für a =1 stirbt die Population noch aus, der Grenzwert ist 1 - 1/a = 0.<br />
Aber schon für eine leicht erhöhte Vermehrungsrate von a = 1,1 entsteht der Grenzwert<br />
1,1 - 1/1,1 = 0,191,<br />
d.h. die Population stabilisiert sich auf einen Endwert, der bei 19,1 % der maximal möglichen Populationsgröße liegt.<br />
<br />
<b>a zwischen 2 und 3:</b><br />
Der Endzustand wird abwechselnd von größeren und von kleineren Werten angepeilt, aber erst nach sehr sehr vielen Jahren erreicht.<br />
<br />
<b>a zwischen 3 und 3,45:</b><br />
Nun gibt es zwei mögliche Endzustände, zwischen denen die Population hin- und herwechselt. Dieses Aufteilen sieht wie eine Gabel aus, man nennt das Bifurkation, manchmal irreführend Periodenverdopplung.<br />
<br />
<b>a zwischen 3,45 und 3,54: </b><br />
Vier mögliche Endzustände wechseln sich ab<br />
<br />
Und das geht mit einer immer schnelleren Folge von Verdopplungen weiter, aber:<br />
<br />
<b>a größer als 3,57:</b><br />
Es gibt keine Regelmäßigkeit mehr, die Population verhält sich chaotisch.<br />
Im nächsten Post werden wir klären, was das genau bedeutet.<br />
<br />
Schaut nochmal die Bilder vom letzten Post an.<br />
Wenn ich bei diesem chaotischen Fall die Startzahl nur etwas ändere, verläuft die Entwicklung nach wenigen Jahren komplett anders.<br />
Das nennt man die <u>Anfangssensitivität des Chaos</u>. Darauf gehen wir bald ein.<br />
<br />
Wir haben also gesehen, für viele a gibt es stabile Endzustände.<br />
Ab a = 3,57 muss man einfach irgendwann die Berechnung abbrechen und den letzten Wert als "End"zustand nehmen.<br />
<br />
Wenn man nun alle diese Endzustände gegen das a aufträgt, dann erhält man das weltberühmte <u>Feigenbaumdiagramm</u>. Es ist hier ab a = 2,6 dargestellt.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYD_jwqF6WgN09RxViBedK71GuWepJyS7q4gYPOcvFQINh1h0kmuGA9HJiG5yFccOW5HgFxl-2D8ltfBrXUeJLx6cPme5Aluaa74mX3x0VzD4kD9bAB_g6W4p26uW5JuU6JQNCtqkswprt/s1600/Bifurkationsdiagramm_zoom.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="566" data-original-width="800" height="452" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiYD_jwqF6WgN09RxViBedK71GuWepJyS7q4gYPOcvFQINh1h0kmuGA9HJiG5yFccOW5HgFxl-2D8ltfBrXUeJLx6cPme5Aluaa74mX3x0VzD4kD9bAB_g6W4p26uW5JuU6JQNCtqkswprt/s640/Bifurkationsdiagramm_zoom.png" width="640" /></a></div>
Das Diagramm hat auch fraktale Strukturen, d.h. es ist aus sich selbst zusammengesetzt. Wenn man hineinzoomt, findet man wieder ein solches Bild:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1LSh-7FbIVkxFen9SoLDMMcF1QNovauiNTzdxigNA2LqSaTLaCKg6Q3ycOUKRuE6YY-z-SsiVBUPpk_ibto9xalA15VyVqd4Gdd1LcXsDeV8yqX2OdvF_e3e2T9Jwe1Olxe3RC69lVvfc/s1600/mkandelbrot+teil.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="122" data-original-width="241" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg1LSh-7FbIVkxFen9SoLDMMcF1QNovauiNTzdxigNA2LqSaTLaCKg6Q3ycOUKRuE6YY-z-SsiVBUPpk_ibto9xalA15VyVqd4Gdd1LcXsDeV8yqX2OdvF_e3e2T9Jwe1Olxe3RC69lVvfc/s1600/mkandelbrot+teil.png" /></a></div>
Wer mit Feigenbaumdiagrammen spielen möchte und auch hineinzoomen möchte, kann das mit der Simualation von Prof. Matzdorf der Uni Kassel sehr gut machen:<br />
<br />
<a href="http://www.uni-kassel.de/fb10/institute/physik/forschungsgruppen/oberflaechenphysik/virtuelles-physiklabor/mechanik/deterministisches-chaos/feigenbaumdiagrmm.html" target="_blank">Feigenbaumdiagramm Simulation</a><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Mehr im nächsten Post</div>
<br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-7682087498428423992020-04-28T09:30:00.002+02:002020-04-28T16:24:30.540+02:00Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 3: Material für das Feigenbaumdiagramm<br />
Wir arbeiten mit der folgenden Gleichung:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi__bAdmp5WOVe311JTHdn-tDi51T4v5Nbao3NKfgoqePCrsuDRxvstoQokLx0uVu27g49ULGk93srf_wNrw53gYd7uBoLmxDXufWbhxFVSYqpJoR0-1W-DJR7utHmi4zjnJC6i0YBrDDYs/s1600/verhulst.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="351" data-original-width="926" height="121" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi__bAdmp5WOVe311JTHdn-tDi51T4v5Nbao3NKfgoqePCrsuDRxvstoQokLx0uVu27g49ULGk93srf_wNrw53gYd7uBoLmxDXufWbhxFVSYqpJoR0-1W-DJR7utHmi4zjnJC6i0YBrDDYs/s320/verhulst.jpg" width="320" /></a></div>
Wir wollen erst einmal die Vermehrungsrate, das a variieren:<br />
a uist das Verhältnis aus der neuen Anzahl der Kaninchenpaare zur alten Anzahl. a =2 beduetet z.B., das jedes Kaninchenpaar zwei weitere erzeugt.<br />
<br />
Alle Berechnungen fangen mit x1 = 0,29 an, d.h. 29% der zur Verfügung stehenden Fläche für Kaninchen sind durch Kaninchenpaare belegt.<br />
Die Kurven (erzeugt mit GeoGebra) geben die Entwicklung der Kaninchenpaare für die ersten 30 Jahre an (n ist die Jahresnummer). <br />
<br />
a= 0,44<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFxNCF9jh_oEB-O4THgO1LZAR5a_puUC53pJKPJMSCUwX2okPg0R6lVdtQ8irHdxPHP2-LW3X5DOB_AVxYJ-i27MjFL7wVpItkLqbq-P0ccuTce3B_TmqcPZv4O-BiGGYH3g433t62k3MJ/s1600/start+0%252C29+a+0%252C44.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1067" data-original-width="1600" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiFxNCF9jh_oEB-O4THgO1LZAR5a_puUC53pJKPJMSCUwX2okPg0R6lVdtQ8irHdxPHP2-LW3X5DOB_AVxYJ-i27MjFL7wVpItkLqbq-P0ccuTce3B_TmqcPZv4O-BiGGYH3g433t62k3MJ/s400/start+0%252C29+a+0%252C44.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Die Kaninchenpopulation stirbt schon nach wenigen Jahren aus.<br />
<br />
a = 1,0<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxoVGx2aCNONrKyvaQuEG7Ncp2BBpq1hUqlOWTBhuQe4Iw4NcY9FfdoLSdxudna7wFcgL8xnIO3SlH9mKYdFnH4eouDVV4uZNKbQevYjkVf_GIlTRY7BDwy0NUcNXOLeRtdKaRnSy9d8CI/s1600/1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1114" data-original-width="1600" height="277" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgxoVGx2aCNONrKyvaQuEG7Ncp2BBpq1hUqlOWTBhuQe4Iw4NcY9FfdoLSdxudna7wFcgL8xnIO3SlH9mKYdFnH4eouDVV4uZNKbQevYjkVf_GIlTRY7BDwy0NUcNXOLeRtdKaRnSy9d8CI/s400/1.jpg" width="400" /></a></div>
Früher oder später wird auch diese Population aussterben.<br />
<br />
a = 1,5<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJYFcKRELpDzovC2h6keb1ugvBjH0oI4mecWxo4DzO0Z1QI8E3QD7cBltjwBAheAtrhQTkKPmZeZpu_fkfzPfYe3ugTVWtaixs2LujZi76GlF43OxQpNCSvwFWLuPNQhDCPsPY_KR5yX6_/s1600/1%252C5.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1131" data-original-width="1600" height="282" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgJYFcKRELpDzovC2h6keb1ugvBjH0oI4mecWxo4DzO0Z1QI8E3QD7cBltjwBAheAtrhQTkKPmZeZpu_fkfzPfYe3ugTVWtaixs2LujZi76GlF43OxQpNCSvwFWLuPNQhDCPsPY_KR5yX6_/s400/1%252C5.jpg" width="400" /></a></div>
Recht schnell stellt sich ein Gleichgewicht ein zwischen Neuproduktion vion Kaninchen und Beschränkung des Lebensraumes. Die Population ist stabil.<br />
<br />
a = 2,94<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh70na4GIHZdHbHkTJH_JYiuZMY0gVlebSoxqmizS4kFoXanuIdHS6uQipVq9ceOJeIQ_hv1NMaFeiskBQ2bE2_75YiWJL0f6lykYQDjKIAxukZjol30DqdpUCFNvb_ncfAmTnMCzuDeOE/s1600/2%252C94.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1103" data-original-width="1600" height="275" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgh70na4GIHZdHbHkTJH_JYiuZMY0gVlebSoxqmizS4kFoXanuIdHS6uQipVq9ceOJeIQ_hv1NMaFeiskBQ2bE2_75YiWJL0f6lykYQDjKIAxukZjol30DqdpUCFNvb_ncfAmTnMCzuDeOE/s400/2%252C94.jpg" width="400" /></a></div>
<br />
Auch hier entsteht ein Gleichgewicht, das aber periodisch nach oben und nach unten abweicht. Etwas zuviel Kaninchen in einem jahr behidnern die Ausbreitung im folgendne Jahr, dadurch fallen Einschränkungne weg und die verbliebenen Paare können den Nachwuchs besser durchbringen. Die Abweichungen werden im Laufe der Zeit immer kleiner.<br />
<br />
a= 3,42<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiroG50zOonCJEEKCuNHqvM2GJxFANLNMh67_tabYlRGIjRjmZdMqyqf5aCeYeGq2WUn3qMEbcvv8Joalh8bseeGROHyImjH3tsQP3mRdNjISKQKWFzG2VvDz17O028uYCTAfrEYkpDze3i/s1600/3%252C42.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1091" data-original-width="1600" height="272" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiroG50zOonCJEEKCuNHqvM2GJxFANLNMh67_tabYlRGIjRjmZdMqyqf5aCeYeGq2WUn3qMEbcvv8Joalh8bseeGROHyImjH3tsQP3mRdNjISKQKWFzG2VvDz17O028uYCTAfrEYkpDze3i/s400/3%252C42.jpg" width="400" /></a></div>
Am Anfang sieht es so aus, als gäbe es eine Gleichgewichtspopulation. Dann zeigt sich aber sehr schnell, dass es zwei mögliche Zustände gibt: eine Population mit mehr und eine Population mit weniger Kaninchen. Beide Zustände wechseln sich ab. Das nennt man eine Periodenverdopplung, auch Bifurkation.<br />
<br />
a= 3,54<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcELbpHm8aUdAw3gNKofYCqK5veZixIuDwvAfyBGGO7x8VbYq5gPwafCZaImUYVgMCg0I6n6dS0-aegIKaVisvShZd7gyPPAYGAphp3Rv_bqEEJGrapRbC7oYMNUstu-MH-092iisaeKM2/s1600/3%252C54.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1110" data-original-width="1600" height="221" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjcELbpHm8aUdAw3gNKofYCqK5veZixIuDwvAfyBGGO7x8VbYq5gPwafCZaImUYVgMCg0I6n6dS0-aegIKaVisvShZd7gyPPAYGAphp3Rv_bqEEJGrapRbC7oYMNUstu-MH-092iisaeKM2/s320/3%252C54.jpg" width="320" /></a></div>
Nun haben sich vier mögliche Populationsgrößen eingestellt, die sich ebenfalls ständig abwechseln.<br />
<br />
a = 3,76 (Startwert 0,29)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUC5c_3IT6jXcNVdnXt3kn8gLVw09GOsQPKm1VsIbeujhs6Bt1Ez7N4y9WHb0lKAV6PbNxDzdwwfauW2KBtWcJaJWleqwmZLU8Z5d0hwk8JZaBsNQPbSInAvbmXoxU_PAtf6yoMkrvlQ8u/s1600/3%252C76.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="965" data-original-width="1600" height="240" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUC5c_3IT6jXcNVdnXt3kn8gLVw09GOsQPKm1VsIbeujhs6Bt1Ez7N4y9WHb0lKAV6PbNxDzdwwfauW2KBtWcJaJWleqwmZLU8Z5d0hwk8JZaBsNQPbSInAvbmXoxU_PAtf6yoMkrvlQ8u/s400/3%252C76.jpg" width="400" /></a></div>
Man wird hier keinerlei Regelmäßigkeit finden,,,die Anzahl der Kaninchen entwickelt sich chaotisch.<br />
Fängt man statt mit x1 = 0, 29 mit einem nur geringfügig anderen Startwert an (hier x1 = 0,3), so entsteht nach wenigen Jahren eine vollkommen andere Entwicklung:<br />
<br />
a = 3,76 (Startwert 0,3)<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwBftcgCwsKN2bFYjZ0yL8BbUgDqmV7UGw67IDhExZ_vtj-AMTpEgIDIe6PwWXHvcdHLhwk2e6nc3O4srNCtPTbflpeeph9-1wBJOF30gMKz0YrOO8aXj6-iOIuAtlmHLbptjA4q8jIo2A/s1600/start+0%252C3+a+wie+oben.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1105" data-original-width="1600" height="276" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwBftcgCwsKN2bFYjZ0yL8BbUgDqmV7UGw67IDhExZ_vtj-AMTpEgIDIe6PwWXHvcdHLhwk2e6nc3O4srNCtPTbflpeeph9-1wBJOF30gMKz0YrOO8aXj6-iOIuAtlmHLbptjA4q8jIo2A/s400/start+0%252C3+a+wie+oben.jpg" width="400" /></a></div>
a = 4,0<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPifgwtsimkvIXZEa8HS6Fbx3imtsDFYwCQbN-3cuvtjB1T1ZyEPfR7kK16n4IXuGESkrcs_Ect4hYgSSB9W5GFcDXYfGNPrwIgvN_inyJHkPBRu4u0Rz9_R9LaSdjPs5kU92I30xL-yFJ/s1600/4+alter+startwert.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="1120" data-original-width="1600" height="278" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPifgwtsimkvIXZEa8HS6Fbx3imtsDFYwCQbN-3cuvtjB1T1ZyEPfR7kK16n4IXuGESkrcs_Ect4hYgSSB9W5GFcDXYfGNPrwIgvN_inyJHkPBRu4u0Rz9_R9LaSdjPs5kU92I30xL-yFJ/s400/4+alter+startwert.jpg" width="400" /></a></div>
Wir sind weiterhin im Chaos.<br />
Ist die Vermehrungsrate über 4,0, so steigt der Wert für xn sehr schnell über 1 an, d.h. die Kaninchenpopulation explodiert.<br />
Beispiel: a =5, x1 = 0,29 ergibt nach 4 Jahren eine Überbelegung von 3625 %...<br />
<br />
Im nächsten Post fassen wir zusammen und stellen über die Endzustände der Entwicklung das Feigenbaum-Diagramm zusammen.<br />
Daran erklären wir, was Chaos bedeutet und was ein fraktales Muster ist.<br />
<br />
Und dann machen wir das mit komplexen Zahlen...KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-1637608710759109481.post-12402905456995746332020-04-26T17:27:00.002+02:002020-04-26T17:27:56.283+02:00Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 2: Logistische GleichungNun wollen wir unser Rechenverfahren leicht abändern.<br />
Zuerst wollen wir jetzt die Werte für xn als prozentuale Anteile auffassen, d.h. x1 = 0,01 bedeutet, dass 1% des zur Verfügung stehenden Raumes für die Kaninchen belegt ist (durch Kanninchen natürlich). dadurch geben wir keine Anzahlen mehr an, sondern nur noch Prozente.<br />Ein Zusatzfaktor (1-xn) begrenzt das Wachstum. Kommt xn an die 1, also an 100% ran, so wird der Begrenzungsfaktor 1-xn kleiner und die nächste Populationsprozentzahl steigt nicht mehr so stark an.<br />
Vereinfacht: Sind zuviel Kaninchen da, begrenzt sich die Population wegen Platz- oder Nahrungsmangel von allein. Unsere Gleichung lautet jetzt:<br />
<br />
x(n+1) = a*xn * (1-xn) = a*xn - a*(xn)².<br />
<br />
Ich schreib das auch nochmal in gewohnter Weise auf:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3o8Hje2dlSMkFYXy8n5a3oBqlWQRg0q5HW4Fwwn_6pYlhzm6fV45bPe9eMF_DF3jVRRAJL02j5Gp0dTEphKH7HmlepXtlTCotlrIqmG2q4YKA5C2WeLHQCORt40_XBVJAQsCVFjr3hpuc/s1600/verhulst.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="351" data-original-width="926" height="121" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3o8Hje2dlSMkFYXy8n5a3oBqlWQRg0q5HW4Fwwn_6pYlhzm6fV45bPe9eMF_DF3jVRRAJL02j5Gp0dTEphKH7HmlepXtlTCotlrIqmG2q4YKA5C2WeLHQCORt40_XBVJAQsCVFjr3hpuc/s320/verhulst.jpg" width="320" /></a></div>
Ich rechne mal ein paar Beispiele durch.<br />
Wir haben a = 2 und x1 = 0,01:<br />
<br />
x(n+1) a*xn a*xn * (1-xn)<br />
x2 0,02 0,0198<br />
x3 0,04 0,0388<br />
x4 0,08 0,0746<br />
x5 0, 6 0,0138<br />
x6 1,2 0,238<br />
<br />
Rechnet mal nach und zeichnet euch das mal auf...auf die x-Achse die Nummer (die Jahreszahl) und auf der y-Achse der Wert für x(n+1).<br />
<br />
Und jetzt müsst ihr spielen...<br />
Nehmt mal verschiedene Anfangswerte x1, variiert die Vermehrungszahl a (a =0,2 oder a=1 oder a=3 oder a=3,4 oder a=5....).<br />
<br />
Versucht mal Regelmäßigkeiten zu erkennen.<br />
<br />
Alles seltsame, das passiert, liegt daran, dass wir jetzt eine nichtlineare Gleichung haben (es steht ein Quadrat oben n der Gleichung).<br />
<br />
Die Gleichung heißt auch Verhulst-Gleichung, nach ihrem Entdecker 1845, oder logistische Gleichung.<br />
<br />
Und wenn wir statt reellen Zahlen in der nächsten Runde das mit komplexen Zahlen machen, wird es noch interessanter.<br />
<br />
wird fortgesetzt... <br />
<br />
<br />KP Haupthttp://www.blogger.com/profile/07928372600484075799noreply@blogger.com0