Teil 4: Polardarstellung komplexer Zahlen, Abschnitt 1: Einführung

Einführung der Polardarstellung einer komplexen Zahl

Komplexe Zahlen haben wir bisher als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Die erste Koordinate war der Realteil, die zweite der Imaginärteil: z = (Re z, Im z).
Oder man gibt komplexe Zahlen als Summe aus Real- und Imaginärteil an: z = Re z + i* Im  z

Hauptsache, das Rechnen klappt wie gewohnt...
Und das tut es, haben wir ja überprüft.
Wenn wir jetzt komplexe Zahlen auf andere Art notieren, muss die Rechnerei weiterhin so wie bisher gehen...

Nun kann man aber komplexe Zahlen auch durch ihren Abstand zum Ursprung (Betrag |z| oder auch mit r bezeichnet) und durch den Winkel, den die Verbindungslinie z zum Ursprung mit der reellen Achse einnimmt (mit φ oder α bezeichnet) angeben.

Falls es jemand kennt: Das ist wie bei Polarkoordinaten!

lpunikgoettingen

Wie können wir nun den Realteil a und den Imaginäranteil b über r=|z| und den Winkel φ ausdrücken?

Dazu muss man sich das rechtwinklige Dreieck aus a, b und r ansehen.
b ist die Gegenkathete zum Winkel φ und a die Ankathete. Die Strecke r = |z| liegt dem rechten Winkel gegenüber, das ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
(Man erinnere sich: a² + b² = c², äh r²)
Damit kann man die Winkelfunktionen sin φ und cos φ aufstellen.

Wer sich damit nicht auskennt:
Im Laufe des Tages mache ich eine Zusatzinformationsseite dazu ( siehe rechts).
Ansonsten:
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis aus Gegenkathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck, der Cosinus des Winkels das Verhältnis aus Ankathete zur Hypotenuse.
Ein Taschenrechner kennt diese Zahlen...und kann damit rechnen...sogar, wenn die Winkel über 90° weitergehen...beliebig weit...

Für uns gilt:
cos φ = Ankathete/Hypotenuse = a/r, also a = r* cos φ
und
sin φ = Gegenkathede/Hypotenuse = b/r, also b = r * sin φ

Das setzen wir nun  in z = a + ib ein und erhalten die Polardarstellung der komplexen Zahl:

z = r*cos φ+ i*r* sin φ  = r *(cos φ+ i * sin φ).

ruhrunibochum

wikimathe

Das lässt sich auch leicht auf die konjugiert komplexe Zahl übertragen:

 Welche komplexe Zahl ist hier gemeint:

Antwort: z = (0,74, 0,67) = 0,74 + i*0,67 = 1* (cos 41,9° + i* sin 41,9°) oder (#1, 41,9°) in der Polardarstellung.

Umkehrung der Rechnungen:

Wir sollten noch kurz angeben, wie man aus der normalen Darstellung z = x + i*y  die Werte für r und φ erhält:

Bestimmung des Abstandes r ( = Bestimmung des Betrages, hatten wir also schon):

 r² =  x² + y², ist wieder der olle Grieche...P.

Bestimmung des Winkels:

Für den Winkel muss man die Winkelfunktion Tangens benutzen:

tan  φ = Gegenkathede/Ankathete = y/x

Der Taschenrechner kann da nicht alle möglichen Lagen des Punktes berücksichtigen. Am besten überlegt man sich in welchem Quadranten die komplexe Zahl liegt und benutzt den vom Taschenrechner ausgegebenen Winkel um daraus einen Winkel zwischen 90° und 180° oder 180° und 270° oder 270° und 360° auszurechnen.


Übung:
a) Gib alle reellen Zahlen in der Polardarstellung an.
b) Welcher Winkel gehört zu den imaginären Zahlen?
c) Warum gibt es keine eindeutige Antwort auf diese Fragen?
d) Wie lautet die Polardarstellung von komplexen Zahlen, die auf der Hauptdiagonalen des Koordinatensystems liegen?
e) Wie lauten die Polardarstellungen der Zahlen, die auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung liegen?
f) Rechne z = 3 + 4i in Polardarstellung um, ebenso z = 3 -4i und z = -3-4i..

Die Lösungen kommen bald, aber sucht es erst einmal selbst.

Und danach lernen wir wieder Adidieren und Multipülizieren in der Polardarstellung...und werden merken, dass man jetzt diese Rechenarten noch leichter veranschaulichen kann.

Und nicht vergessen: In SFNonline kann man Fragen stellen...

Videos:
Sehr schön ruhig und sachlich erklärt das die Dame hier:

Eine gute ausführliche Darstellung, aber auch weiterführend, ist hier zu sehen:

Ergänzung: Zwei wichtige Gleichungen

Bevor ich andere Darstellungen komplexer Zahlen erkläre, möchte ich erst noch zwei wichtige Gleichungen vorstellen.

Dazu schreiben wir die komplexen Zahlen so hin:

z = Re(z) + i*Im(z), wobei Re(z) der Realanteil und Im(z) der Imaginäranteil ist.

Also: z = 5  + i*7 (oder 5 +7i) hat Re(z) =5 und Im(z) = 7

Dann ist die an der reellen Achse gespiegelte Zahl, das komplex Konjugierte:

z# = Re(z) - i*Im(z).

In unserem Beispiel: z# = 5 - i*7.

Nun  kann man leicht zwei Formeln für den Realanteil und den Imaginäranteil einer komplexen Zahl aufstellen:

Re(z) = 1/2 * (z + z#)

Im(z) = 1/(2i) * (z -z#) = -1/2*i * (z-z#)

Überprüfen wir es mal:

Re(z) = 1/2 * (5+7i + 5-7i) = 1/2*10 = 5....stimmt

Im(z) = -1/2*i* (5+7i-(5-7i)) =  -1/2*i* (5+7i -5+7i) = -1/2*i*14i = - 7*(-1) = 7 ....stimmt

Herleitung der Formeln:

Man bilde einfach z + z# und z - z# und forme um:

z+z# = Re(z) + i*im(z) + Re(z) -i*im(z) = 2* Re(z) ....

bzw.

z-z# = Re(z) + i*Im(z) - (Re(z) - i*Im(z)) = 2i*Im(z) ....

Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 5: Über die verlorene Ordnung

Nichts ist umsonst! Alles hat seinen Preis!

Wir haben zwar mit den komplexen Zahlen eine Möglichkeit gefunden auch Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen und damit jede Gleichung zu lösen (damit werden wir uns bald beschäftigen).

Aber wir müssen einen Preis zahlen:

Wir kennen zwar alle Lösungen, aber wir können sie nicht mehr der Größe nach ordnen.

Die uns aus den reellen Zahlen bekannten Relationen > oder < lassen sich nicht auf die komplexen Zahlen übertragen.
Wie auch, es sind ja irgendwo in der Ebene liegende Punkte...

Nehmen wir mal das Beispiel i und nehmen an, es sei i > 0.
Multiplizieren wir beide Seiten mit i, so erhalten wir i² > 0, also -1 > 0.

Die Annahme i > 0 führt also zu einem Widerspruch (-1 > 0), sie muss falsch sein.

Also ist i < 0?

Denkste...
Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit (-1), müssen dabei das < zu einem > machen: und erhalten:

-i > 0

Wenn also -i positiv ist, dann ist das Produkt zweier positiver Zahlen auch positiv:

(-i)*(-i) > 0

Also gilt: -1 > 0

Auch hier offensichtlich ein Widerspruch, also kann i auch nicht kleiner als 0 sein.

Bleibt nur i = 0: i=0 bedeutet i² = 0, also -1 = 0

Geht auch nicht...

Allein von der imaginären Zahl i können  wir nicht entscheiden, ob sie positiv, negativ oder 0 ist.
Ist irgendwie sprachlich auch logisch: >0 heißt ja rechts von der 0 auf dem reelllen Zahlenstrahl...und da liegt i ja nicht drauf...

Der Philosoph Kant würde von einem Kategorienfehler reden: Die Beziehung > gibt es nur auf dem Strahl der reellen Zahlen und nirgends wo anders...
(Vergleich: Die Relation "kann höher singen" gibt es nur innerhalb der Menge aller  Sängerinnen, nicht in der Menge aller  Brückenpfeiler...)

In der Tat ist die Menge der komplexen Zahlen keine geordnete Zahlenmenge mehr. Eine < - oder > - Beziehung ist nicht erklärbar.

Man könnte eine abgeschwächte > - Beziehung aufstellen: Man bildet den  Betrag der komplexen Zahl, berechnet also ihren Abstand zu 0.
Dann kann man komplexe Zahlen nach ihrem Abstand von der 0 ordnen. Alle gleichweit von 0 entfernte komplexe Zahlen (davon gibt es unendlich viele) liegen auf einem Kreis um den  Ursprung herum.
Das hilft eigentlich nicht viel.

Damit haben wir den Teil 3 (Einführung) fast beendet. Es geht aber weiter...der nächste Post kommt....

mathelounge

Rückblick: Was wir bisher gelernt haben

...gleich mit einigen Ergänzungen:

- Komplexe Zahlen werden als Kombination von reellen und imaginären Zahlen dargestellt. Imaginäre Zahlen sind Vielfache einer Zahl i = √(-1)
Man schreibt z = (x,iy) und nennt y den Imaginärteil der komplexen Zahl, x den Realteil.

- Die Visualisierung komplexer Zahlen geschieht über ein Koordinatensystem. Auf der x-Achse wird der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil dargestellt, manchmal auch i*y.
So ist jede komplexe Zahl ein Punkt im Koordinatensystem, also in der Ebene.
Diese Ebene nennt man auch Gaußsche Zahlenebene.

schulminator

- Wir haben schon eine andere Darstellungsform kennengelernt: z = x + iy. Hier wird eine komplexe Zahl als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl geschrieben.
Diese Darstellung ermöglicht uns die intuitive Übernahme aller bisherigen Rechenarten mit reellen Zahlen. Wir müssen lediglich beachten, dass i²=-1 ist.

 - z# = x -iy nennen wir konjugiert komplex zu z = x + iy.
Das Bild von z# liegt gespiegelt an der x-Achse.
Das Produkt aus einer Zahl mit ihrer komplex konjugierten Zahl ist immer eine reelle Zahl.

Ergänzung für Fortgeschrittene:
Oft werden Produkte in der Mathematik ähnlich definiert. Man nutzt dabei immer einen Raum (komplexe Zahl) und einen Dualraum (komplex konjugierte Zahl). Das Skalarprodukt ist z.B. nicht das Produkt zweier Vektoren sondern das Produkt eines Vektors mit der ihm zugeordneten Linearform aus dem  Dualraum. Nur im kartesischen Koordinatnesystem ist das nicht notwendig. Nur hier sind Raum und Dualraum identisch. Das führt dazu, dass man Vektoren mit ihren dualen Objekten, den Linearformen, identifiziert und denkt, dass sei immer so.
Das wird durchweg in der Schulmathematik so gehandhabt.

Aber in krummlinigen Koordiantensystemen, wie man sie in der Relativitätstheorie braucht, muss man sehr genau unterscheiden.
Vielleicht kennen einige die Formel für den raum-zeitlichen Abstand s² zweier Ereignisse in  der Relativitätstheorie. Es ist nicht s² = x² + (c*t)² sondern s² = x² - (c*t)². Nur im letzten Fall erhält man eine lorentzinvariante Größe, also etwas, was in allen Bezugssystemen unabhängig von deren Bewegung, gleich groß ist.

Ebenso in der Quantenmechanik: Hier spielen komplex konjugierte Objekte eine grundlegende Rolle bei der Übertragung der Rechnungen in die Realität.
Als Operatoren dürfen nur sog. hermitesche Matrizen verwendet werden. Das sind Matrizen (Zahlenschemata), die identisch zu ihrer adjungierten Form sind. Die adjungierte Form einer Matrix erhält man, wenn man die Einträge an der Hauptdiagonalen spiegelt und dabei durch die komplex konjugierten Zahlen ersetzt. So müssen alle Zahlen auf den Hauptdiagonalen reell sein.
Nur hermitesche Matrizen liefern reelle Zahlen als echte Messwerte!


- Betrag einer komplexen Zahl |z| = √(z*z#) bezeichnet den Abstand des zu z gehörenden Punktes in der Gaußschen Zahlenebene zum Ursprung.

Bevor wir andere Darstellungsformen von komplexen Zahlen kennenlernen, möchte ich auf die Ordnung komplexer Zahlen eingehen:

Auf der Realachse ist sicherlich 1 > 0. Aber wie ist das auf der imaginären Achse? Gilt da auch i > 0?
Was meint ihr?

Was zum Nachdenken

√(-2) * √(-8) = √[(-1)*2] * √[(-1)*8]
                      =  √(-1) * √2 * √(-1) * √8
                      = i √2*i√8
                       = i²* √16
                       = - 4

Das ist korrekt!

Was ist nun?

√(-2) * √(-8) = √[(-2)*(-8)]
                      =  √16
                      = 4

Kann ja nicht sein....

Würde mich über Kommentare oder Antworten in SFNonline freuen...

Lösung Kehrwert von i

Kehrwert von i ist erst einmal 1/i, denn i*1/i = 1

(Erinnerung: a/b * b/a = 1)

Jetzt formen wir 1/i durch Erweitern mit i um (rational machen des Nenners)

1/i * i/i = i/(i*i) = i/(-1) = -i

Probe: i * (-i) = -(-1) = 1, stimmt also

Es gilt also: 1/i = -i

Schreibt euch das mal mit Wurzeln hin...

Lösung der Aufgabe

Im vorletzten Post (Abschnitt 3) habe ich eine Aufgabe gestellt:

Hier die Lösung

Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 4: Division

Teilen bedeutet Rationalmachen des Nenners

In der Überschrift steckt eigentlich schon alles drin.
Ich rechne das mal auf einem Blatt vor, damit man das mit den Brüchen besser sieht:

Man erweitert den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners.
Dadurch kann man mit der dritten binomischen Formel (endlich merkt man mal, wozu die gut ist), den Nenner zu einer rationalen Zahl umformen.
Der Zähler wird ganz normal ausmultipliziert.
Zum Schluss wird noch vereinfacht.
Fertig.

Wer es unbedingt noch als Formel will:

frustfrei lernen

Übt mal:
(-2+5i)/(3-2i)
Was ist der Kehrwert von 3+i?   (Lösung: (3-i)/10)

Zeige, dass der Kehrwert von i die imaginäre Zahl -i ist.
Hinweis: Man kann mit dem konjugiert Komplexen erweitern (-i), es reicht aber auch einfach i.

Zeige, dass der Kehrwert von 3i gleich -1/3*i ist.

So, jetzt könnt ihr komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und ihren Betrag bilden.

Im nächsten Post stellen wir das nochmal zusammen und dann zeige ich euch andere Möglichkeiten komplexe Zahlen darzustellen. Die sind dann für uns noch leichter in geometrische Deutungen umzusetzen.
Wer fragen hat, diskutieren möchte: Im Kopf des Blogs steht der Zugang zu SFNonline. Da ist das alles möglich!

Übrigens, mit all dem hat sich Carl Friedrich Gauß 1799 in seiner Doktorarbeit auseinander gesetzt um dann zu zeigen: Alle Gleichungen haben immer eine Lösung!

Genau das wollen wir nachvollziehen...
Also: Wer manchmal etwas nicht gleich versteht...Vor 120 Jahren würdet ihr gerade an einer Doktorarbeit sitzen...

Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 3: Multiplikation und konjugiert komplexe Zahlen

Multiplikation mit einer reellen Zahl

Im Prinzip ist eigentlich alles ganz einfach:
z = 2+i ist eine komplexe Zahl. Will man die mit 3 multiplizieren, dann macht man es so, wie man es gewohnt ist (man kümmert sich nicht um das i):

3*z = 3*(2 + i) = 6 + 3i

Wir zeichnen das mal in ein Koordinatensystem ein und verbinden den Ursprung mit der komplexen Zahl.
Dann erkennen wir, dass das Multiplizieren mit 3 nur die Länge der Verbindungslinie ändert, nicht aber die Richtung.

Multiplikation mit i

Auch hier können wir ohne große Überlegung losrechnen. Wir müssen nur wissen, wofür i steht:
i = √-1, also ist i*i = i² = -1:

Nun können wir rechnen:
i*z = i* (2+i) = 2i+i² = 2i-1 = -1+2i

Auch hier wollen wir  die Zahlen in ein Koordinatensystem einzeichnen und mit dem Ursprung verbinden.
Durch die Multiplikation mit i verändert sich die Richtung der Verbindungslinie von Zahl und Ursprung  um 90°!

faz

Entsprechend: (-i) * (2+i ) = 1-2i
(bitte nachrechnen!).

Wir erkennen jetzt eine Drehung der Verbindungslinie um 90° in die andere Richtung (siehe oben meine Zeichnung).

 Fazit: 

Multipliziert man mit i, so entspricht das einer Drehung um 90° entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn

Multipliziert man (-i), so entspricht dies einer Drehung um 90° im Uhrzeigersinn!

Wir werden solche geometrischen Veränderungen durch komplexe Rechnungen bald vertiefen!


Multiplizieren zweier komplexer Zahlen:

Auch hier geht es ganz intuitiv, man muss nur an i² = -1 denken:

(2+i) * (-3 - 2i)
= -6 - 4i +3i -2i²
= -6 -i +2
= -4 -i

Zeichnet das mal selbst auf:
Hier sieht man, dass sich sowohl die Länge als auch die Richtung der Verbindungslinie ändert.

frustfrei lernen

matheistkeinarschloch.de

wolferseder

Noch ein Beispiel:

(2 + 3i) * (2 - 3i)
= 4 + 6i - 6i - 9i²
= 4 + 9 = 13
Hier entsteht eine rein reelle Zahl!
Schaut euch mal die beiden Zahlen an, die miteinander multipliziert wurden!

Man nennt die Zahl 2 - 3i die konjugiert komplexe Zahl zu 2 + 3i. Sie liegt einfach an der x-Achse gespiegelt.

Multipliziert man eine Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, so entsteht eine rein reelle Zahl.
Dieser reelle Zahl hat sogar eine Bedeutung: Sie ist das Quadrat der Länge der Verbindungslinie der komplexen Zahl zum Ursprung!

Für Quantenfachleute:
In der Quantenmechanik sind Wellenfunktionen komplexe Zahlen. Multipliziert man eine Wellenfunktion mit ihrer konjugiert komplexen Funktion, so erhält man eine reelle Zahl. Diese Zahl  ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit mit der das durch die Welle beschriebene Teilchen  auftritt.

Konjugiert komplexe Zahlen:

Zu z = x + iy nennt man z# = x - iy die zu z konjugiert komplexe Zahl

matheonline

 Hier ist die konjugiert komplexe Zahl mit einem Strich obendrüber markiert.
Man sieht, dass das - vor dem Imaginärteil das Spiegeln an der x-Achse bewirkt.

Es gilt:
z*z# = Quadrat des Betrages der komplexen Zahl z = Quadrat des Abstandes zum Ursprung

√(z*z#) = |z| ist der Abstand der Zahl z zum Ursprung.

Informatik Uni Leipzig

Anmerkung: Ich verwende wegen des leichteren Tippens ein # als Markierung für konjugiert komplex, üblich ist ein Strich über z oder ein hochgestellter Stern.

Aufgabe:
Der Betrag |z| ist der Abstand der komplexen Zahl z vom Ursprung.
Beweise, dass √(z*z#) = |z|  gilt.

Hinweis: Zeichnet euch das mal in ein Koordinatensystem und bemüht einen alten Griechen, der eine Formel erfunden hat, die jeder kennt...

Zusammenfassung:

Wir haben gelernt, dass man komplexe Zahlen einfach multiplizieren darf. Dabei entstehen Drehungen und Streckungen bzw. Stauchungen.

Die an der reellen Achse gespiegelte Zahl nennt man konjugiert komplex. Die braucht man, wenn man durch Multiplizieren Längen, also reelle Zahlen, herausfinden will.

Und man braucht sie beim Dividieren...dazu aber mehr im nächsten Post.

Noch was zum Üben

...natürlich gilt alles eben Gesagte auch für die Subtraktion...

Hier noch ein paar Übungsaufgaben mit Lösungen:

Gegeben sind die folgendne komplexen Zahlen:
z1 = -2 + i*3 = -2+3i (kürzere und übliche Schreibweise)
z2 = 3-i
z3 = -4-2i

Bestimme:
z1+z2      (1+2i)
z1+z3      (-6+i)
z2+z3      (-1-3i)
z1-z2       (-5+4i)
z1-z3       (2+5i)
z2-z3       (7+1i)

Welche Form haben komplexe Zahlen auf der positiven bzw. der negativen x- Achse, welche auf der positiven bzw. negativen y-Achse?

Antworten: x = (x,0), -x=(-x,0), iy=(0,iy), -iy=(0,-iy)

Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 2: Richtungszuweisung und Addition

Komplexe Zahlen legen eine Richtung fest!

Komplexe Zahlen existieren nicht auf einem Zahlenstrahl, sondern in einer Ebene. Dadurch weisen sie in eine Richtung:

Vom Ursprung (0,0) ausgehend geht es zur komplexen Zahl z = x+i*y = (x,iy).
Wir werden später sehen, dass man diese komplexe Zahl auch durch die Länge r der Verbindungslinie (Betrag der komplexen Zahl) und dem mit der Re-Achse (x-Achse) eingeschlossenen Winkel beschreiben kann.

Dadurch, dass eine komplexe Zahl eine Richtung in der Ebene festlegt, erweisen sich diese Zahlen als sehr hilfreich, wenn man Prozesse beschreiben möchte, die Richtungen haben, wie Schwingungen oder Wellen oder verschieden gerichtete Anteile wie Wechselströme.

Das geht weit über das ursprüngliche Ziel hinaus, einfach nur Gleichungen umfassender zu lösen.

Viele von euch kennen Pfeile als Darstellung gerichteter Größen. Sie werden auch als Vektoren bezeichnet und auch durch Paare beschrieben.
Komplexe Zahlen sind aber keine Vektoren!

Ihr könnt sie euch durchaus so vorstellen, aber ein Vektor ist ein Zahlengebilde (eigentlich werden die beiden Komponenten übereinander geschrieben), das man auch als Tensor bezeichnet. Tensoren haben beim Wechsel von Koordinatensystemen ganz bestimmte Eigenschaften. Das alles hat mit komplexen Zahlen nichts zu tun...
Trotzdem gibt es gewisse Übereinstimmungen, wie ihr gleich bei der Addition komplexer Zahlen seht.
Bei der Multiplikation ist es dann ganz unterschiedlich: Bei Vektoren gibt es das Skalarprodukt (da kommt was anderes raus, nämlich eine Zahl) und das Kreuprodukt (da kommt wieder ein Vektor raus, aber das ist nicht kommutativ). Wir werden im nächsten Post sehen, dass das bei der Multiplikation komplexer Zahlen wirklich anders abläuft.

Komplexe Zahlen lassen sich leicht addieren!

Machen wir es einfach mal:

(3,i4) + (2,i5)
= 3 + i4  + 2 + i5
= 3 + 2 + i4 +i5
= 5 + i9
= (5,i9)

Regel: 

Komplexe Zahlen werden addiert, in dem man die Realteile und die Imaginärteile addiert.

Zeichnet euch das mal in ein Koordinatensystem ein: (3,i4) + (2,i5)

Das ist wirklich so, wie ihr das mal bei der Addition von Kräften gelernt habt.

Komplexe Zahlen werden komponentenweise addiert!

matheonline

wiki

 

(a + ib) + (c + id) = (a+b) + i (c+d)

Easy, nicht wahr...Bei der Addition komplexer Zahlen ändern sich Beträge und Richtungen!

Lösung der Aufgaben

Damit alle gut schlafen können:

Ich habe noch ein paar mehr Punkte, d.h. komplexe Zahlen, eingezeichnet.

Teil 3: Einführen von komplexen Zahlen Abschnitt 1: Paarbildung

Einführung von komplexen Zahlen

1) Paarbildung

Was ist unsere Aufgabe?
- Wir wollen Lösungen der Gleichung x² = -1 beschreiben können.
- Dazu müssen wir neue Zahlen einführen.
- Diese Zahlen müssen die bekannten Zahlen umfassen.
- Alle Rechenarten  von den bekannten Zahlen müssen  übertragen werden und weiter funkltionieren..

serlo

Schritt 1:
Wir paaren reelle Zahlen zu (x,y). Das ergibt einen Punkt im Koordinatensystem.
 (Damit könnte man auch einen Vektor beschreiben, aber das machen wir nicht. Gründe werden später klar Wir bleiben bei Punkten).

frustfreilernen

Schritt 2:
Wir bennenen die Koordinatenachsen um:
Die x-Achse heißt reale Achse. Sie enthält alle reellen Zahlen x.
Die y-Achse  wird mit Vielfachen der Lösung unserer Gleichung beschriftet.
Wir nennen ⎷(-1) = i
Keine Ahnung, was ⎷(-1) ist, es ist unvorstellbar, also imaginär. Und da kommt das "i" her.
Auf der y-Achse werden also alle mit i multiplizierten reellen Zahlen abgetragen, also i*y.
Sie heißt jetzt imaginäre Achse.

Damit bekommt ein Punkt im Koordinatensystem jetzt die Koordinaten (x, i*y).

Das IST eine komplexe Zahl!

lernort mint

Erinnert euch daran: Auch die ganzen Zahlen haben wir früher als Paar eingeführt, dann danach nur ein "-" zur Beschreibung verwendet...und bei den Brüchen ist das Paar immer  noch als Bruch a/b zu erkennen!
Entsprechend werden wir mehrere andere Schreibweisen für komplexe Zahlen kennen lernen.

Wir kürzen komplexe Zahlen mit z ab, also gilt: z = (x, i*y).

Schritt 3:
Alle reellen Zahlen haben die Form a = (x, i*0) = (x,0).
dafür schreiben wir in Kurzform natürlich a = x.

Wir könnten auch a = x + 0 schreiben....

Schritt 4:  Darstellen der Paare durch eine Summe

Machen wir das doch allgemein:

Jede komplexe Zahl kann wie folgt dargestellt werden:

z =(x, i*y) = x + i*y

das war´s...den Rest könntet ihr euch jetzt selbst klar machen...

Keine Angst, ich komme wieder...

Aufgaben:

Aber erst müsst ihr mir mit dieser neuen  Schreibweise zeigen, dass 13,7 + 8 = 21,7 ist

Und was ist  ⎷(-2) ???

Und was ist  ⎷(-1)  + ⎷(-2)  ??

Und was ist 17,8 +  ⎷(-3)?

Bitte zeichnet alle die Aufgaben mal in ein Koordinatensystem mit reeller und imaginärer Achse.

Seht ihr, ihr könnt schon mit komplexen Zahlen rechnen...

Übrigens: ⎷9  +    ⎷16  ist nicht 5 sondern 7!!! 😜

Ja, die komplexen Zahlen sind schon seltsam....  Bald werden wir sehen, was man Unglaubliches damit anstellen kann.

physikmultimedial

Zwischenstand

Fazit:

Die ganzen Zahlen haben wir erfunden, damit Gleichungen der Form a + x = b immer lösbar sind.
Wir haben die negativen Zahlen erhalten.

Die rationalen Zahlen haben wir erfunden, damit Gleichugnen der Form a*x = b (a≠0) immer lösbar sind.
Wir haben die Brüche erhalten.

Die reellen Zahlen haben wir erfunden, damit Gleichungen der Form x² = c mit c ≥ 0 immer lösbar sind!
Wir haben die Wurzeln erhalten

Das Problem:

Also x² = 17 können wir durch eine irrationale Zahl lösen..., aber x² = - 17 geht nicht...

Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat eine negative Zahl ist.

Ist blöd...also machen wir uns neue Zahlen!
Wir wissen ja schon wie das geht...wir paaren das, was wir haben!

Willkommen bei den komplexen Zahlen!

Teil 2: Vom Zählen und Ordnung schaffen, Teil 3: Fast überall geht es ordentlich zu!

 Welche Zahlen lassen sich ordnen?

Bei den natürlichen und ganzen Zahlen ist klar, dass wir sofort entscheiden  können, welche von zwei gegebenen Zahlen die größere ist:

6>5, -3>-7 usw...

Die Zahlen sind ja der Größe nach definiert worden...0 steht in der Mitte, 1 ist die Zahl danach, -1 die Zahl davor....

Bei Brüchen lernt man das in der 6.Klasse:

Um zu erfahren, ob 7/11 oder 8/13 die größere Zahl ist, bringt man beide Brüche auf den gleichen Nenner:

7/11 = 91/141 und 8/13= 88/141. Und schon st alles klar...

Das kann man auch an den Stellen hinter dem Komma entscheiden.

Und daraus lässt sich auch ein allgemeines Verfahren für reelle Zahlen ableiten:

Zwei reelle Zahlen sollen durch Dezimalzahlen dargestellt werden. Nehmen wir den Fall an, dass wir wahnsinnig viele Stellen hinter dem Komma kennen, aber keine Ahnung haben, ob die Ziffernfolge abbricht oder periodisch wird.
Ist auch egal!

3,765982..  vergleiche mit  3,765983...

Bei der  zweiten Zahl ist die 6.Stelle größer als bei der ersten Zahl und damit ist die zweite Zahl die größere...vollkommenn egal, was noch an Stellen kommt.

Alle unsere Zahlenbereiche lassen also eine Ordnung der Zahlen zu. Wir können immer entscheiden, welche von zwei gegebenen Zahlen die größere ist.

Und die Mathematiker nennen deshalb die reellen Zahlen einen angeordneten Körper.
Ich schreibe in den nächsten Tagen mal in die Zusatzseiten rein, wie sie einen Körper definieren...

Mit einem angeordneten Körper kann man alles machen, was das Herz eines Mathematikers begehrt...naja nicht ganz...beim Wurzeln stößt man an Grenzen....
Wir werden sehen: wir müssen  Opfer bringen, uns geht die Ordnung verloren.


Ende Teil 2

Teil 2: Vom Zählen und Ordnung schaffen, Teil 2: Weniger ist mehr....?

Hab ewas vergessen, die "Lösung" zur Aufgabe im vorletzten Post:

e und π sind jeweils irrational...über die Summe e + π weiß man nichts...sollte wohl irrational sein, aber es gibt keinen Beweis dafür...

Was liegt zwischen Unendlich und alef 1?

In diesem Post will ich nur einige, wie ich finde, höchst spannende, Ergebnisse der Zahlentheorie und Mengenlehre zusammenstellen.
Wer das nicht versteht, wird trotzdem mit komplexen Zahlen arbeiten können...

Wir haben im letzten Post gesehen, dass man alle rationalen Zahlen abzählen kann.

Die Menge der rationalen Zahlen ist also gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen.
Wir dürfen nicht sagen, dass es gleich viele rationale Zahlen wie natürliche Zahlen gibt, denn beide Mengen sind unbegrenzt groß. Deswegen der etwas ausweichende Begriff der "Abzählbarkeit" und "Gleichmächtigkeit": Ich kann durch eine eindeutige Funktion die natürlichen Zahlen auf die rationalen Zahlen abbilden.

Es gibt noch andere Mengen, die abzählbar sind, also gleichmächtig zu Q und N:
- die Menge aller Quadratzahlen, aller Kubikzahlen...
- die Menge aller Primzahlen
- die Menge aller gerade bzw. ungeraden Zahlen
- die Menge aller ganzen Zahlen

Alle diese Mengen haben unendlich viel Elemente. Ihre Mächtigkeit nennt man aleph 0.

Cantor hat gezeigt, dass man schon das Intervall zwischen 0 und 1 nicht mehr abzählen kann, wenn man allein die irrationalen Zahlen nimmt.
Also: Die reellen Zahlen zwischen 0 und 1 lassen sich nicht zählen, sie sind überabzählbar...ihre Mächtigkeit ist aleph 1.
Das Intervall zwischen 0 und 1 enthält also mehr reelle Zahlen als es natürliche Zahlen gibt.

Das gilt natürlich auch für die gesamten reellen Zahlen!

Und für die Menge aller Teilmengen der natürlichen Zahlen ebenfalls...

Der Beweis ist sogar gut zu verstehen, führt uns aber vom Ziel zu sehr ab.
Am Ende des Posts verlinke ich ein Video, in dem der Beweis enthalten ist.
Letztlich läuft es darauf hinaus zu zeigen, dass man zu jeder beliebigen Dezimalzahl durch Ändern der Ziffern eine neue Dezimalzahl konstruieren kann, die noch nicht in der Liste aller Dezimalzahlen enthalten ist.

 Eine spannende Frage ist:
Gibt es Mengen, deren Mächtigkeit zwischen aleph 0 und aleph 1 liegt?

Hilbert hat 1900 diese Frage als Nummer 1 in die Liste der wichtigen offenen Fragen der Mathematik aufgenommen.

Gödel hat 1940 gezeigt, dass die Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist.

Paul Cohen hat 1963 gezeigt, dass die Nicht-Existenz einer solchen Menge nicht beweisbar ist...

Toll...

Zur Zeit beschäftigt sich ein Ein-Personen-Team aus dem SFN mit diesem Thema. Mal sehen was 2020 passiert...


 Und hier für die Interessierten das Video:
 

 Noch ein Post...dann sind wir bei den komplexen Zahlen...

Teil 2: Vom Zählen und Ordnung schaffen, Teil 1: Doppelt soviel ist gleich viel....?

Wir haben bisher die folgenden Zahlbereiche kennengelernt:

Natürliche Zahlen N: 
 (0),1,2,3,....


Ganze Zahlen Z:
 ....-3, -2 -1 ,0,1, 2, 3, ....

Rationale Zahlen Q:
Alle Bruchzahlen, d.h. auch ganze Zahlen: 4 = 1/2 = 8/2 =...
   Alle rationalen Zahlen lassen sich durch periodische oder abbrechende Dezimalzahlen darstellen:
   wie 3,25 oder 0,9999999999....

Irrationale Zahlen I:
Dezimalzahlen, deren Ziffernfolge weder periodisch ist noch abbricht
  Beispiel: √2, π, e

Reelle Zahlen R:
rationale und irrationale Zahlen


Zu den komplexen Zahlen C kommen wir ja bald.

In diesem Post wollen wir uns damit beschäftigen wieviele dieser Zahlen es gibt...Man denkt sicherlich, dass die irrationalen Zahlen recht selten sind. Es fallen einem ja kaum Beispiele ein. Das ist für ganze Zahlen anders...

Abzählen der Zahlmengen

Natürliche Zahlen:

Natürliche Zahlen kann man leicht zählen...
Wir beginnen mit der 0: 1. Zahl
dann kommt die 1: 2.Zahl
dann die 2: 3.Zahl usw...

es ist klar, dass das so einfach geht...denn wegen des Zählens sind die natürlichen Zahlen ja entstanden...

Ganze Zahlen:

Hm, davon müsste es eigentlich doppelt so viel geben...zu 1 gibt es die -1, zu 2 die -2,....

Falsch:

Es gibt genauso viel ganze Zahlen wie natürliche Zahlen:

0: 1. Zahl, +1: 2. Zahl, -1: 3.Zahl, +2: 4.Zahl, -2: 5.Zahl...

Alle natürlichen Zahlen reichen aus um alle ganzen Zahlen zu zählen!

Also:

Es gibt gleich viel natürliche wie ganze Zahlen!
In beiden Fällen unendlich viel!

Rationale Zahlen:

Interessanterweise gibt es auch genau soviel rationale Zahlen wie es natürliche ode rganze Zahlen gibt. Das ist schon seltsam, denn die rationalen Zahlen umfassen ja die ganzen und die die nattürlichen Zahlen...
Das liegt aber an der Unendlichkeit...damit wollen wir uns hier nicht näher auseinandersetzen...

Es gibt aber ein sofort einleuchtendes verfahren von Cantor, der zeigt, dass man jede Bruchzahl nacheinander mit den natürlichen Zahlen abzählen kann. Dabei werden erweiterte Brüche sogar mehrfach gezählt, also 3/5 und 6/10 haben eine eigene Nummer...

Trotzdem gilt:

Es gibt genau so viel rationale Zahlen wie ganze Zahlen und natürliche Zahlen, nämlich unendlich viele!

 

lunarinformatik uni mainz

Zu den reellen Zahlen kommen wir im nächsten Post.-

Ihr werdet euch wundern...


Wer das alles ausführlicher und fachlicher haben will, für den ist das folgende 15-minütige Video hilfreich. Wir brauchen das nicht mehr.

PS: Mein Browser schafft es selten die neuen Videos gleich anzuzeigen...
Ich weiß nicht wie es bei euch ist...ich muss immer den Cache löschen...

Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 7: Irrational

Irrationale Zahlen

Rationale Zahlen über Paarbildungen zu erweitern, so dass man die irrationalen Zahlen erhält, ist nicht einfach. Man kann das über sogenannte Intervallschachtelungen machen, also die Konstruktion immer  enger liegender  Intervallgrenzen.

Das zu erläutern, würde aber den Rahmen hier sprengen.

Satt dessen will ich erst einmal irrationale Zahlen charakterisieren:

Irrationale Zahlen sind nicht rational!

Haha...

Aber: Wir haben gesagt, dass man jede rationale Zahl durch eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl darstellen kann (1/4 = 0,25, 1/11 = 0,090909090909....).
Also bleibt:

Eine irrationale Zahl ist eine Dezimalzahl, die weder in der Stellenfolge irgendwann abbricht noch irgendwann periodisch wird.

Und in dem "irgendwann" liegt das Problem...Durch Ausprobieren kann man das nicht nachweisen: Was ist, wenn man bis zur 500.-ten Stelle weder einen Abbruch noch eine Periode gefunden hat, sich aber die Ziffernfolge erst nach einer Millionen Stellen wiederholt?

Man muss die Irrationalität richtig beweisen.
Das werden wir hier nicht machen, sondern nur ein paar, auch für später, wichtige Beispiele vorstellen.

Wurzeln

Bei √2haben wir sogar schon bewiesen, dass keine rationale Zahl vorliegen kann.
Das ist besonders irre, denn die Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 cm hat die Länge √2!
Und alle Wurzeln, die "nicht aufgehen" wie √4 = 2, sind irrationale Zahlen.

Irrationalität ist also keine Ausnahme!
Es gibt unendliche viele irrationale Zahlen! 

Pi π

Die Zahl  π ist die Proportionalitätskonstante zwischen dem Durchmesser  und dem Umfang U eines Kreises: U = π * d

Die Beweise für die Irrationalität von  π   sind nicht einfach, schaut euch mal den hier an:

Ihr müsst das nicht verstehen, aber es ist lustig und ihr seht wie schwer es ist...
  
 Eulersche Zahl e

Man kann diese Zahl als Grenzwert einführen: Die Zahlenfolge (1+1/n)ⁿ strebt für wachsendes n einer irrationalen Zahl entgegen:
e = 2,71828....

Die Zahl e ist wichtig als Basis des sog. natürlichen Logarithmus, aber wir werden sie als Basis der Exponentialfunktion oft nehmen:

Die Funktion f(x) = eˣ = exp(x) beschreibt viele natürliche und technische Vorgänge:
- Auf- und Entladen eines Kondensators
- Radioaktivität
- Ausbreiten eines Virus
- Inflationäre Expansion eines Universums...
- Dämpfung einer Schwingung

Die Zahl e als Basis bewirkt, dass die Steigung der Funktion exp(x) an jeder Stelle so groß wie ihr Wert ist!

(Beispiel: Der Nachwuchs einer Population ist proportional zu ihrer Größe, die Anzahl der zerfallenden Atomkerne ist proportional zur Anzahl der vorhandenen Kerne....)
Steigung und Funktionswert wachsen also vollkommen identisch!

schülerholfe

Damit wird das Ableiten (Differenzieren) so einfach:

exp(x)` = exp(x).

Goldene Zahl

In Kunst und fraktaler Geometrie spielt der "Goldene Schnitt" eine Rolle:
Eine Strecke kann man z.B. so aufteilen, dass das Verhältnis der ganzen Strecke a+b zur größeren Teilstrecke a so groß ist wie das Verhältnis der größeren Teilstrecke  a zur kleineren Teilstrecke b:

 (a+b)/a  = a/b = 1,61803398.... 

schule-bw

Dann nennt man das Verhältnis a/b auch "Goldene Zahl". Es ist eine irrationale Zahl und zwar die irrationale Zahl mit der stärksten Irrationalität, die es gibt...

Hört sich jetzt seltsam an...das kann man mit sog. Kettenbrüchen recht leicht einsehen, ist aber hier nicht unser Thema! Leider...

(Hinweis: e und π sind auch noch transzendente Zahlen, also nicht Lösung einer (algebraischen) Gleichung.)

Aufgabe:

e und π sind beide irrational!

Was ist mit der Summe e + π ?

In den letzten Posts dieses Abschnittes kümmern wir uns dann noch um das Abzählen der Zahlen und das Anordnen!
Versprochen: Dann sind wir bei komplexen Zahlen!

Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 6: Rational sein ist nicht alles

Reelle Zahlen

Eigentlich können wir zufrieden sein.
Wir haben die rationalen Zahlen, die Brüche, gefunden, mit denen wir  alle Gleichungen der Form a*x + b = c (mit a ≠ 0)
lösen können (x =  (c-b)/a).

Aber zwei Aspekte sind noch unbefriedigend:

Wie sieht es mit quadratischen Gleichungen aus?

x² = 9 lässt sich durch x =3 oder x = - 3 lösen.

Aber was ist mit x² = 2?

Kann man ein Quadrat konstruieren, das den Flächeninhalt 2 cm²  hat?

Nein

Wenn ja, dann müsste die Seitenlänge des Quadrates eine rationale Zahl sein.

Ist sie nicht!

Und wenn es keine rationale Zahl ist...dann  erfinden wir eben neue Zahlen, die auch solche Gleichungen lösen können... das werden dann irrationale Zahlen sein, die zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen bilden.

Das ist dann der umfassendste Zahlbereich, mit dem man in der Schule rechnet.

Die Lösung von x² = 2 kann keine rationale Zahl sein!
Ich möchte in einem berühmt gewordenen Beweis zeigen, dass kein Bruch p/q die Gleichung x² = 2 lösen kann.

wiki

Der Beweis stammt angeblich von einem Schüler des Pythagoras. Der Meister war aber darüber richtig sauer, denn seiner Meinung nach hatten solche irrationale Zahlen in einer rationalen Welt keinen Platz.
Unklar ist, ob der Mord an dem Schüler damit in Verbindung steht...
 
Die Beweisführung ist indirekt, d.h. wir nehmen an, dass es eine solche rationale Zahl w gibt ,für die gilt :

w² = 2.

Dann muss es möglich sein, diese Zahl als einen vollständig gekürzten Bruch darzustellen:
  w = p/q , wobei p und q keinen gemeinsamen Teiler haben (sonst könnte man ja noch kürzen).

Ich habe einmal aufgeschrieben, wie man daraus einen Widerspruch konstruieren kann.
Dieser Widerspruch führt dazu, dass die Annahme w sei ein gekürzter Bruch falsch sein muss.

 Und hier das Erklärvideo dazu:

Hinweis: Manchmal zeigt der Browser falsche, d.h.alte Videos an. Dann Chronik löschen und neu starten.

Wer es noch überprüfen möchte:

Wir haben also nun gezeigt, dass √2 keine rationale Zahl ist. Sie ist also irrational.

Im nächsten Post bringe ich Beispiele für irrationale Zahlen.

Und dann schaffen wir Ordnung, bevor es komplex wird.

Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 5: Brüche bilden rationale Zahlen

Brüche als Erweiterung der ganzen Zahlen

Wir haben im letzten Post das Bestreben der Mathematiker kennen gelernt, Gleichungen aus einem Zahlbereich auch in diesem Zahlbereich zu lösen:

a + x =  b lässt sich für jede Zahl a und b aus den ganzen Zahlen auch durch eine ganze Zahl x lösen.
Profis sagen: Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine Struktur, die man Gruppe (Z,+) nennt.

Von einer Gruppe spricht man immer dann, wenn es auf die Reihenfolge der Rechnung nicht ankommt, man also keine Klammern setzen muss (Assoziativgesetz), es ein neutrales Element gibt (wie hier die 0) und jedes Element ein inverses Element hat, so dass beide zusammen das neutrale Element ergeben (a + (-a) = 0). Und natürlich muss die Verknüpfung von zwei Elementen wieder zu der Menge gehören (a+b ist wieder eine ganze Zahl).
Ist sogar noch a+b = b+a, so spricht man von einer abelschen Gruppe.

Es wäre ein Workshop für sich, zu diskutieren, dass auch die Wechselwirkungen  und die Eigenschaften der Elementarteilchen  und der elementaren Kräfte zwischen ihnen Gruppenstrukturen bilden.  Gruppen sind in der modernen Physik ein unglaublich wichtiges Hilfsmittel.

Wir haben auch gesehen, dass die Gleichung a*x = b mit ganzen Zahlen a ≠ 0 und b nicht immer mit ganzen Zahlen lösbar ist:

3 * x = 12 ist lösbar, da 3 ein Teiler von 12 ist: x = 4
3 * x = 10 ist nicht lösbar in ganzen Zahlen, da 3 kein Teiler von 10 ist (10/3 dürfen wir nicht nehmen, ist keine ganze Zahl).

Und wieder konstruieren Mathematiker Zahlenpaare und erklären wie man sie addiert und multipliziert.

Das wollen wir hier nicht nachvollziehen. Es ist erstens langweilig und zweitens wollen wir ja schnell zu den komplexen Zahlen kommen.

Außerdem kennt jeder das schon seit der Klasse 6, denn man kann die Zahlenpaare auch als Bruch schreiben:
Die erste Zahl des Paares heißt Zähler, die zweite Zahl heißt Nenner...

und wie man Brüche addiert haben alle gelernt:
Bei gleichem Nenner werden nur die Zähler addiert. Sind die Nenner nicht gleich, sucht man sich andere Vertreter dieser Brüche mit gleichem Nenner (wir nennen das "Erweitern") und addiert dann...

ZUM.de

Multiplizieren ist besonders einfach: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner...

Hätten wir die Bruchzahlen als Paare eingeführt, wäre die Multiplikationsregel:
(a,b) * (c,d) = (a*c, b*d).

Rationale Zahlen sind also alle positiven und negativen Brüche, auch die 0 gehört dazu.

Es ist auch üblich Brüche als Dezimalzahlen zu schreiben. Dann erhält man entweder abbrechende oder periodische Dezimalzahlen (1/3 = 0,333333333..., 1/8 = 0,125 ).

Aber um alle Gleichungen der Form a* x = b immer lösen zu können, muss man die 0 raushalten.

Die rationalen Zahlen ohne die 0 bilden bezüglich der Multiplikation dann auch eine Gruppe (Q\0, *).
Und da die rationalen Zahlen bezüglich der Addition sowieso die Struktur einer Gruppe haben, nennen das Mathematiker in höchster Verzückung einen Körper:
Die rationalen Zahlen bilden bezüglich + und * einen Körper.

Wir werden diese Bezeichnungen nicht weiter benutzen, es sollte hier für Profis mal erwähnt werden.

Fassen wir zusammen:

Um immer subtrahieren zu können, haben Mathematiker die ganzen Zahlen erfunden.
Um immer dividieren zu können, haben Mathematiker die rationalen Zahlen erfunden.


Und der Nutzen:
Mit ganzen Zahlen können wir Schulden und Guthaben verrechnen  und mit rationalen Zahlen können wir eine Pizza aufteilen...

ISaR

... also wirklich für den Alltag relevante Sachen!

Sie ist schon zu was zu gebrauchen, die Mathematik!

Noch zwei Posts, dann wird es endlich komplex...