Rationale Zahlen über Paarbildungen zu erweitern, so dass man die irrationalen Zahlen erhält, ist nicht einfach. Man kann das über sogenannte Intervallschachtelungen machen, also die Konstruktion immer enger liegender Intervallgrenzen.
Das zu erläutern, würde aber den Rahmen hier sprengen.
Satt dessen will ich erst einmal irrationale Zahlen charakterisieren:
Irrationale Zahlen sind nicht rational!
Haha...
Aber: Wir haben gesagt, dass man jede rationale Zahl durch eine abbrechende oder periodische Dezimalzahl darstellen kann (1/4 = 0,25, 1/11 = 0,090909090909....).
Also bleibt:
Eine irrationale Zahl ist eine Dezimalzahl, die weder in der Stellenfolge irgendwann abbricht noch irgendwann periodisch wird.
Und in dem "irgendwann" liegt das Problem...Durch Ausprobieren kann man das nicht nachweisen: Was ist, wenn man bis zur 500.-ten Stelle weder einen Abbruch noch eine Periode gefunden hat, sich aber die Ziffernfolge erst nach einer Millionen Stellen wiederholt?
Man muss die Irrationalität richtig beweisen.
Das werden wir hier nicht machen, sondern nur ein paar, auch für später, wichtige Beispiele vorstellen.
Wurzeln
Bei √2haben wir sogar schon bewiesen, dass keine rationale Zahl vorliegen kann.
Das ist besonders irre, denn die Diagonale eines Quadrates der Seitenlänge 1 cm hat die Länge √2!
Und alle Wurzeln, die "nicht aufgehen" wie √4 = 2, sind irrationale Zahlen.
Irrationalität ist also keine Ausnahme!
Es gibt unendliche viele irrationale Zahlen!
Pi π
Die Zahl π ist die Proportionalitätskonstante zwischen dem Durchmesser und dem Umfang U eines Kreises: U = π * d
Die Beweise für die Irrationalität von π sind nicht einfach, schaut euch mal den hier an:
Eulersche Zahl e
Man kann diese Zahl als Grenzwert einführen: Die Zahlenfolge (1+1/n)ⁿ strebt für wachsendes n einer irrationalen Zahl entgegen:
e = 2,71828....
Die Zahl e ist wichtig als Basis des sog. natürlichen Logarithmus, aber wir werden sie als Basis der Exponentialfunktion oft nehmen:
Die Funktion f(x) = eˣ = exp(x) beschreibt viele natürliche und technische Vorgänge:
- Auf- und Entladen eines Kondensators
- Radioaktivität
- Ausbreiten eines Virus
- Inflationäre Expansion eines Universums...
- Dämpfung einer Schwingung
Die Zahl e als Basis bewirkt, dass die Steigung der Funktion exp(x) an jeder Stelle so groß wie ihr Wert ist!
(Beispiel: Der Nachwuchs einer Population ist proportional zu ihrer Größe, die Anzahl der zerfallenden Atomkerne ist proportional zur Anzahl der vorhandenen Kerne....)
Steigung und Funktionswert wachsen also vollkommen identisch!
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| schülerholfe |
Damit wird das Ableiten (Differenzieren) so einfach:
exp(x)` = exp(x).
Goldene Zahl
In Kunst und fraktaler Geometrie spielt der "Goldene Schnitt" eine Rolle:
Eine Strecke kann man z.B. so aufteilen, dass das Verhältnis der ganzen Strecke a+b zur größeren Teilstrecke a so groß ist wie das Verhältnis der größeren Teilstrecke a zur kleineren Teilstrecke b:
(a+b)/a = a/b = 1,61803398....
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| schule-bw |
Dann nennt man das Verhältnis a/b auch "Goldene Zahl". Es ist eine irrationale Zahl und zwar die irrationale Zahl mit der stärksten Irrationalität, die es gibt...
Hört sich jetzt seltsam an...das kann man mit sog. Kettenbrüchen recht leicht einsehen, ist aber hier nicht unser Thema! Leider...
(Hinweis: e und π sind auch noch transzendente Zahlen, also nicht Lösung einer (algebraischen) Gleichung.)
Aufgabe:
e und π sind beide irrational!
Was ist mit der Summe e + π ?
In den letzten Posts dieses Abschnittes kümmern wir uns dann noch um das Abzählen der Zahlen und das Anordnen!
Versprochen: Dann sind wir bei komplexen Zahlen!
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