Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 5: Brüche bilden rationale Zahlen

Brüche als Erweiterung der ganzen Zahlen

Wir haben im letzten Post das Bestreben der Mathematiker kennen gelernt, Gleichungen aus einem Zahlbereich auch in diesem Zahlbereich zu lösen:

a + x =  b lässt sich für jede Zahl a und b aus den ganzen Zahlen auch durch eine ganze Zahl x lösen.
Profis sagen: Die ganzen Zahlen bilden bezüglich der Addition eine Struktur, die man Gruppe (Z,+) nennt.

Von einer Gruppe spricht man immer dann, wenn es auf die Reihenfolge der Rechnung nicht ankommt, man also keine Klammern setzen muss (Assoziativgesetz), es ein neutrales Element gibt (wie hier die 0) und jedes Element ein inverses Element hat, so dass beide zusammen das neutrale Element ergeben (a + (-a) = 0). Und natürlich muss die Verknüpfung von zwei Elementen wieder zu der Menge gehören (a+b ist wieder eine ganze Zahl).
Ist sogar noch a+b = b+a, so spricht man von einer abelschen Gruppe.

Es wäre ein Workshop für sich, zu diskutieren, dass auch die Wechselwirkungen  und die Eigenschaften der Elementarteilchen  und der elementaren Kräfte zwischen ihnen Gruppenstrukturen bilden.  Gruppen sind in der modernen Physik ein unglaublich wichtiges Hilfsmittel.

Wir haben auch gesehen, dass die Gleichung a*x = b mit ganzen Zahlen a ≠ 0 und b nicht immer mit ganzen Zahlen lösbar ist:

3 * x = 12 ist lösbar, da 3 ein Teiler von 12 ist: x = 4
3 * x = 10 ist nicht lösbar in ganzen Zahlen, da 3 kein Teiler von 10 ist (10/3 dürfen wir nicht nehmen, ist keine ganze Zahl).

Und wieder konstruieren Mathematiker Zahlenpaare und erklären wie man sie addiert und multipliziert.

Das wollen wir hier nicht nachvollziehen. Es ist erstens langweilig und zweitens wollen wir ja schnell zu den komplexen Zahlen kommen.

Außerdem kennt jeder das schon seit der Klasse 6, denn man kann die Zahlenpaare auch als Bruch schreiben:
Die erste Zahl des Paares heißt Zähler, die zweite Zahl heißt Nenner...

und wie man Brüche addiert haben alle gelernt:
Bei gleichem Nenner werden nur die Zähler addiert. Sind die Nenner nicht gleich, sucht man sich andere Vertreter dieser Brüche mit gleichem Nenner (wir nennen das "Erweitern") und addiert dann...

ZUM.de

Multiplizieren ist besonders einfach: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner...

Hätten wir die Bruchzahlen als Paare eingeführt, wäre die Multiplikationsregel:
(a,b) * (c,d) = (a*c, b*d).

Rationale Zahlen sind also alle positiven und negativen Brüche, auch die 0 gehört dazu.

Es ist auch üblich Brüche als Dezimalzahlen zu schreiben. Dann erhält man entweder abbrechende oder periodische Dezimalzahlen (1/3 = 0,333333333..., 1/8 = 0,125 ).

Aber um alle Gleichungen der Form a* x = b immer lösen zu können, muss man die 0 raushalten.

Die rationalen Zahlen ohne die 0 bilden bezüglich der Multiplikation dann auch eine Gruppe (Q\0, *).
Und da die rationalen Zahlen bezüglich der Addition sowieso die Struktur einer Gruppe haben, nennen das Mathematiker in höchster Verzückung einen Körper:
Die rationalen Zahlen bilden bezüglich + und * einen Körper.

Wir werden diese Bezeichnungen nicht weiter benutzen, es sollte hier für Profis mal erwähnt werden.

Fassen wir zusammen:

Um immer subtrahieren zu können, haben Mathematiker die ganzen Zahlen erfunden.
Um immer dividieren zu können, haben Mathematiker die rationalen Zahlen erfunden.


Und der Nutzen:
Mit ganzen Zahlen können wir Schulden und Guthaben verrechnen  und mit rationalen Zahlen können wir eine Pizza aufteilen...

ISaR

... also wirklich für den Alltag relevante Sachen!

Sie ist schon zu was zu gebrauchen, die Mathematik!

Noch zwei Posts, dann wird es endlich komplex...