Eigentlich können wir zufrieden sein.
Wir haben die rationalen Zahlen, die Brüche, gefunden, mit denen wir alle Gleichungen der Form a*x + b = c (mit a ≠ 0)
lösen können (x = (c-b)/a).
Aber zwei Aspekte sind noch unbefriedigend:
Wie sieht es mit quadratischen Gleichungen aus?
x² = 9 lässt sich durch x =3 oder x = - 3 lösen.
Aber was ist mit x² = 2?
Kann man ein Quadrat konstruieren, das den Flächeninhalt 2 cm² hat?
Nein
Wenn ja, dann müsste die Seitenlänge des Quadrates eine rationale Zahl sein.
Ist sie nicht!
Und wenn es keine rationale Zahl ist...dann erfinden wir eben neue Zahlen, die auch solche Gleichungen lösen können... das werden dann irrationale Zahlen sein, die zusammen mit den rationalen Zahlen die reellen Zahlen bilden.
Das ist dann der umfassendste Zahlbereich, mit dem man in der Schule rechnet.
Die Lösung von x² = 2 kann keine rationale Zahl sein!
Ich möchte in einem berühmt gewordenen Beweis zeigen, dass kein Bruch p/q die Gleichung x² = 2 lösen kann.
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Unklar ist, ob der Mord an dem Schüler damit in Verbindung steht...
Die Beweisführung ist indirekt, d.h. wir nehmen an, dass es eine solche rationale Zahl w gibt ,für die gilt :
w² = 2.
Dann muss es möglich sein, diese Zahl als einen vollständig gekürzten Bruch darzustellen:
w = p/q , wobei p und q keinen gemeinsamen Teiler haben (sonst könnte man ja noch kürzen).
Ich habe einmal aufgeschrieben, wie man daraus einen Widerspruch konstruieren kann.
Dieser Widerspruch führt dazu, dass die Annahme w sei ein gekürzter Bruch falsch sein muss.
Und hier das Erklärvideo dazu:
Hinweis: Manchmal zeigt der Browser falsche, d.h.alte Videos an. Dann Chronik löschen und neu starten.
Wer es noch überprüfen möchte:
Wir haben also nun gezeigt, dass √2 keine rationale Zahl ist. Sie ist also irrational.
Im nächsten Post bringe ich Beispiele für irrationale Zahlen.
Und dann schaffen wir Ordnung, bevor es komplex wird.
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