Wegen der Corona-Pandemie ist das SFN geschlossen. Der Ferienworkshop Mathematik findet deshalb als Blog statt.
Austausch und Diskussion in SFN-Online https://discord.gg/eh6eP6E
Ziel des Workshops
Was sind komplexe Zahlen?
Einführung in das Rechnen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen sind wie Vektoren sind aber keine Vektoren
Warum es Wurzeln aus negativen Zahlen gibt
Exponentialfunktion liefert Kreise
Einfache Beschreibung von Schwingungen durch komplexe Zahlen
Wechselstromwiderstände lassen sich durch komplexe Zahlen zusammenfassen
Erzeugung von fraktalen Mustern durch einfach Gleichungen
Im ersten Weltkrieg wurde die Fischerei stark eingeschränkt, man beobachtete eine starke Zunahme der Haie.
Seit dieser Zeit beschreibt man die Beziehung zwischen Räubern (Hai) und Beute (Fisch) durch mathematische Gleichungen.
Damit wollen wir uns zuerst beschäftigen, einmal, weil ihr sog. rekursive Formeln kennenlernt und zum anderen, weil wir viele Eigenschaften chaotischer Systeme erkennen können.
Kaninchen in Australien
Manchmal geraten Dinge aus der Kontrolle...ob das die Population der Kaninchen ist, die ohne natürliche Feinde sich nach der Besiedlung Australiens stark vermehren konnte, der Corona-Virus oder Grippewelle.
Nehmen wir an, im ersten Jahr bringen die Siedler x1 Kaninchenpaare nach Australien. Die vermehren sich innerhalb eines Jahres mit einer Rate von a.
Dann sind es im zweiten Jahr x2 = a*x1 Kaninchenpaare. Wenn die Vermehrungsrate bleibt, dann kommen wir im dritten Jahr auf x3 = a*x2 = a²*x1 Paare.
Es ist also xn = a^(n-1)* x1 oder aber x(n+1) = a*xn
Ich schreib das mal handschriftlich aus, dann wird die Struktur der Formeln klarer.
Ich denke, es ist klar, wir haben einen Fall von exponentiellem Wachstum vor uns.
Ihr solltet das aber mal selbst berechnen und in einem Graphen zeichnen:
Wir fangen mit 10 Exemplaren an: x1 = 10 und haben eine Vermehrungsrate von 2.
Wie wächst die Population der Kaninchenpaare an?
Und für Fortgeschrittene: Wenn jedes Kaninchenpaar 1 m² Fläche benötigt, wann ist Australien mit Kaninchen vollständig belegt? Antwort: 40,5 Jahre....(ursprünglicher richtiger Wert
spätestens, vielleicht sogar Freitagabend...-bin grad sehr mit Vorbereitungen für dne Neustart beshcäftigt.
Plane als nächstes Itearationen und Fraktale zu posten...
Dazu muss man die Darstellung von z + z# und z-z#, also die Summe bzw. Differenz aus einer komplexen Zahl und ihrem Spiegelbild (komplex konjugierte Zahl) bilden.
Wir haben das hier schon einmal besprochen:
Es ist schon irre, kombiniert man eine Zahl (e) , die man nicht hinschreiben kann (weil sie unendliche viele Stellen hat), mit einer Zahl, die rein imaginär in unserer Einbildung existiert (i), so entsteht eine 1 (bzw. -1)!
Hier ist wie üblich z = x + iy eine komplexe Zahl.
Wie rechnet man denn exp(z) aus?
Zur Erinnerung exp(x) steht für eˣ.
In der Tat gibt es keine direkte Rechenanweisung für das e-hoch bei einer komplexen Zahl.
Aber wir haben ja gesehen, dass man die e-Funktion als Summe normaler Potenzen schreiben kann und jede Potenz ist eine Multiplikation...und deshalb kann man genau darüber festlegen, wie man exp(z) für eine komplexe Zahl ausrechnet: über die Summe aus Potenzen von z!
Das was für eine reelle Zahl x gilt, gilt genau so für eine komplexe Zahl z!
Ich muss nur das x durch ein z ersetzen...
Dann habe ich f(z) = exp(z) definiert.
Im letzten Post haben wir gesehen, was exp(x) bedeutet: exponentielles Wachstum...
Ihr werdet staunen, wenn ihr jetzt seht, was exp(z) bedeutet: Einfach nur einmal im Kreis herum, immer wieder...
Kreise haben was mit sinus und cosinus zu tun...
also schreiben wir noch einmal die Summen für sin, cos und exp(x) hin...
Hier habe ich die Fakultäten ausgerechnet (3! = 1*2*3, zur Erinnerung):
Irgendwie hat man das Gefühl, dass die Summen für sin und cos in der für exp(x) drinstecken:
Bei sin kommen nur ungerade Potenzen vor, bei cos nur gerade und bei exp(x) alle...
Aber die Vorzeichen passen nicht!
Ersetzen wir jetzt die reelle Hochzahl x bei exp(x) durch eine rein imaginäre Zahl i*y.
Wenn wir uns daran erinnern, dass i² = -1 ist und somit i³= -i ist etc, dann sind wir mit ein bisschen Umformerei schnell am Ziel:
exp(iy) = cos y +i*sin y (Eulersche Formel)
Das ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius 1! Dabei kann ich y beliebig groß machen, ich komme nicht von diesem Kreis runter...immer im Kreis...
Könnt ihr euch vorstellen, was exp(-iy) bedeutet? Nicht exponentieller Abfall, sondern????
Übrigens, das was wir hier gerade gemacht haben, hat Leonard Euler (1707-1787) herausgefunden, das ist schon 270 Jahre bekannt...
Und nun können wir auch ganz allgemein die e-Funktion für eine komplexe Zahl z = x + i*y hinschreiben:
Das ist ein Kreis mit dem Radius r = |z|.
Ist schon irre, was ein einfaches i im Exponenten aus einem exponentielen Anstieg macht: einen immer währenden Kreisverkehr...
Das Bild der Funktion f(z) = exp(z) ist also ein Kreis und in diesem Kreis stecken für den Realanteil von z (das x) die cos-Funktion und für den Imaginäranteil von z (dem y) die sin-Funktion...
Sinus und Cosinus zusammengefasst in einer komplexen Funktion..
Manche erahnen jetzt vielleicht schon, warum Physiker/innen und Elektrotechniker/innen die komplexen Zahlen mögen...
dsprelated
Aufgabe:
Zeige, dass wenn ich die beiden irrationalen Zahlen e und π mit der imaginären Zahl i geschickt kombiniere, entsteht was ganz Einfaches, nämlich - 1 oder +1...
Übrigens, wer sich die ganze Herleitung ausdrucken will:
Für einige sind vielleicht solche Summenformeln ungewohnt, deshalb führe ich hier mal Rechnungen vor:
Nehmen wir 3,14, das ist ungefähr Pi π, d.h. wir wissen, was bei Sinus und Cosinus rauskommen muss:
sin π = sin 180° = 0
cos π = cos 180° = -1
Nun rechnen wir mit den ersten Summanden unserer Formeln:
sin x = x/1 - x³/3! + ...
= 3,14 - 30,96/6 + 305,2/120 = 0,52
Das liegt noch nicht sonderlich dicht an 0, aber der nächste Summand ergibt - 0,6 und schon sind wir bei 0,08...
cos x = 1-x²/2 + ...
= 1 -4,93 + 4,05
= 0,12 passt auch noch nicht sehr gut...
der nächste Summand liefert - 1,33 und wir sind bei - 1,21
Man sieht, ein Taschenrechner muss da wesentlich mehr Summenden zusammentragen...
Und zum Schluß die e-Funktion:
Wir setzen x = 1, dann muss e = 2,7 herauskommen...
e = 1 + 1+1/2+ 1/6 + 1/24 = 2,71...da haben wir schon mit 5 Summanden einen guten Wert für e erhalten...
Abschnitt 1: Exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall - die reelle e-Funktion
Leider hat uns die Corona-Pandemie vor Augen geführt, was exponentielles Anwachsen bedeutet. Am Anfang meint man, Wirkungen kaum zu spüren und lange Zeit sieht es so aus, als ändere sich nichts...
Und dann plötzlich geht es los...
Berühmt ist folgendes Beispiel:
Legt man auf das erste Feld eines Schachbrettes ein Reiskorn, und verdoppelt auf dem nächsten Feld immer die Anzahl, dann kann man mit dem Reis, der auf den ersten 8 Feldern liegt, sich noch nicht einmal satt essen.
Aber die gesamte Weltreisproduktion reicht nicht, um alle 64 Felder des Schachbrettes zu füllen...
Wer sich etwas ausführlicher damit beschäftigen möchte, auch mathematisch, und auf Corona bezogen, dem sei dieses Video empfohlen:
Eine besondere Bedeutung hat die Funktion f(x) = exp (x) = eˣ.
Die Zahl e = 2,78...haben wir am 5.4. schon kennengelernt.
Sie ist eine irrationale Zahl, als Basis einer Exponentialfunktion bewirkt sie, dass an jeder Stelle der Funktionswert so groß wie die Ableitung, also die Steigung, ist.
Entsprechend beschreibt exp(-x) einen exponentiellen Abfall.
Ich wiederhole das so ausführlich, weil wir im nächsten Post sehen werden, dass die komplexe e-Funktion wirklich total andere Eigenschaften hat!
Da wächst und fällt nichts mehr, da kreist es nur noch...
Um das nachvollziehen zu können, müsst ihr mir das Folgende noch abnehmen:
Darstellung der Funktionen durch eine Summe:
Alle in der Schule vorkommenden (d.-h. nicht bösartigen) Funktionen kann man auch über eine sogenannte Reihenentwicklung ausrechnen, d.h. über eine Summe:
Sinus-Funktion:
Der erste Teil ist die abgekürzte Summenschreibweise, aber den zweiten Teil sollten alle verstehen:
Wenn ich den Sinus einer Zahl x (im Bogenmaß) berechnen will, muss ich abwechselnd alle ungeraden Exponenten dieser Zahl addieren. Dabei muss ich noch durch die Fakultät des Exponenten teilen. Die Fakultät ist ein Produkt und wird mit ! markiert:
3! bedeutet 1*2*3, 5! = 1*2*3*4*5 usw.
So etwas gibt es auch für die cosinus-Funktion:
Hier sind es die geraden Exponenten, die man nehmen muss.
Ein Taschenrechner kann übrigens nur addieren und multiplizieren und er berechnet sin und cos über diese Summen. Man kann nach wenigen Summanden abbrechen und erhält ausreichend gute Werte.
Und nun das Gleiche für die Exponentialfunktion:
Hier wird nur addiert...
Diese drei Reihen sehen ähnlich aus (das liegt daran, dass sie alles sog. Potenzreihen sind), aber ansonsten haben sie nichts miteinander zu tun...
Das wird sich ändern, wenn wir im nächsten Post die imaginäre Einheit i da rein schreiben...
Dann sind wir bei der sicher erstaunlichsten Form der Darstellung komplexer Zahlen, können seltsame Zusammenhänge erkunden und verstehen endlich, was ein Kreis ist...
Bestimmt am Sonntag, denke, da sind auch die Bildprobleme gelöst...aber ich will bis Sonntagmittag abwarten, damit ich nicht vergeblich was hochlade, was dann gleich weg ist...
Als nächstes kümmern wir uns um Kreise und die letzte Darstellung von komoplexen zahlen...
...viele Bilder werden zur Zeit nach Neustart nicht hochgeladen,
seit 2 Stunden ist google am fixen, denke , das Problem ist bald
gelöst...ansonsten lade ich am Sonntag die letzten Bilder neu hoch,
da das viel Arbeit macht, würde ich gerne warten....
Bitte am Sonntag Rückmeldung geben wo noch Bilder fehlen
Aktualisierung:
Das Problem ist weltweit aufgetreten. Google muss alle Bilddatein
restaurierenn...das dauert. Aber im Google Bildarchiv sind alle Bilder
der Blogs in der hochgeladenen Reihenfolge erhalten. Ich habe begonnen,
die letzten Posts zu restaurieren.
So 10.00 Uhr: Bis einschl. 7.4. müsste wieder vollständig sein (vom aktuiellen rückwärts, die früheren kommen später dran)..
Für
den Rest warte ich noch ab. Zum Glück fehlen nicht alle Bilder. Wenn
jemand drignend ein bestimtmes Bild braucht, bitte per Mial melden oder
in discort...ich ersetze es dann gleich!
Das ist eine Gleichung dritten Grades. Die muss genau drei Lösungen haben...
Schritt 1:
Schreibe das i in Polardarstellung, aber lasse alle Möglichkeiten für die Winkel zu, also addiere k*360° zu dem Winkel (für i ist das 90° + k*360°).
Schritt 2:
Ziehe die dritte Wurzel, in dem Du die dritte Wurzel aus dem Betrag (Radius, Vorfaktor) ziehst und den Winkel unter dem cos und dem sin durch 3 teilst (Moivresche Formel).
Schritt 3:
Gehe von k = 0 aus und bestimme so lange Lösungen, bis sich alles wiederholt...
Bei der dritten Wurzel geht es mit k=0, k=1 und k=2
Schritt 4:
Jetzt kannst Du schon zeichnen und die Werte abschätzen.
Schritt 5:
Mit einem Taschenrechner kannst Du Näherungswerte bestimmen.
Ich hab das mal für euch gerechnet:
Eine mögliche Lösung der Gleichung ist -i, also ∛i = -i als ein Wert...
das kann man leicht überprüfen: (i*i)+i = -1*i = - i
Die anderen beiden Lösungen sind komplexe Zahlen, wem langweilig ist, der kann das ja auch mal überprüfen...
Aufgabe 2: Löse z³ = 8
Das ist doch klar...z = 2, weil ∛8 = 2...
ja, das ist eine der drei Lösungen, denn 2*2*2 = 8
aber es gibt noch zwei weitere Lösungen, das sind aber komplexe Zahlen, da ist die Überprüfung schwieriger als das Ausrechnen:
Wir haben jetzt wirklich gelernt, wie man alle (!!) Wurzeln einer Zahl bestimmt.
Leider müssen wir in Kauf nehmen, dass wir die Lösungen unserer Gleichungen nicht mehr nach der Größe ordnen können...
Und schaut euch mal meine Skizzen an:
Die Lösungen bilden regelmäßige n-Ecke...
Ich finde das faszinierend... Gauß wohl auch, er hat auch gezeigt, dass man das 17-Eck nur mit Zirkel und Lineal konstruieren kann...damals war er 18 jahre alt.
1894 hat Gustav Hermes eine 200 Seiten umfassende Konstruktionsvorschrift für ein 65537 -Eck abgeliefert.
Das war noch Einsatz!
Man kann inzwischen genau beweisen für welche Eckenzahl man die Konstruktion mikt Zirkel und Lineal machen kann.
Früher habe ich in der Klasse 8 das noch für Dreiecke unterrichtet.
Macht man das heute immer noch?
Das Bild hier wird euch jetzt bestimmt was sagen:
Da wurde einmal die zweite, einmal die dritte und einmal die vierte Wurzel aus einer Zahl bestimmt.
Und hier nochmal eine Darstellung mit Geogebra:
Die Zahl z, aus der die dritte Wurzel gezogen wird, ist in grün dargestellt, die drei Wurzeln in rot.
Die besondere Schreibweise mit der e-Funktion lernen wir noch kennen.
Hier lernt ihr, wie man bei komplexen Zahlen mehrere Werte (komplexe Werte) für Wurzeln erhaltet.
Bei der zweiten Wurzel gibt es zwei Werte, bei der dritten immer (!!!) drei Werte, bei der vierten Wurzel immer vier Werte...
Besser kann es nicht kommen! Da freut sich das Mathematikerinnenherz!
Und zeichnet dann diese Werte mal in das Koordinatensystem ein...alles schön regelmäßig und symmetrisch!
Ich habe euch das erst einmal für √i aufgeschrieben.
Was ungewöhnlich ist...wir dürfen keinen bestimmten Winkel mehr nehmen, sondern immer beliebig viele volle Umdrehungen links- oder rechtsherum zusätzlich. Das drücken wir durch k*360° aus, die wir zuaddieren (oder effektiv abziehen, wenn k negativ ist). Nur für k=0 erhält man den sagen wir "üblichen" Wert...
Und nun das Ganze für √2:
Ich hab dann am Ende das für die Lösung von Gleichungen z² = i und z² = 2 umgeschrieben.
Man erhält dann jeweils zwei Lösungen.
Macht mal die Probe...setzt für z mal jede der beiden Lösungen ein und rechnet das nach...es kommt wirklich hin! Ich habe das für z² = i angefangen, aber dann abgebrochen...sollt ihr mal selbst weitermachen...
So und nun kommen wir zum nächnsten Schritt:
Macht das jetzt mal für die dritten Wurzeln! Also bestimmt die Lösungen für die folgenden Gleichungen:
z³ = i sowie z³ = 8
Denkt dran: dritte Wurzel bedeutet hoch 1/3!
Haltet euch ruhig an die Vorlagen oben und zeichnet mal die jeweils drei Lösungen in das Koordinatensystem ein!
Wir haben uns ja die komplexen Zahlen ausgedacht, um Gleichungen der Form z² = -1 lösen zu können und haben dann die neue Zahl i = √(-1) eingeführt.
Nun müssen wir aber zeigen, dass unsere neuen Zahlen auch wirklich dafür geeigent sind...
also wurzeln wir mal drauf los...
Ihr werdet manche Überraschung erleben...und das gipfelt in der Doktorarbeit von Herrn Gauß...
Wir fangen mit zwei einfachen Beispielen an, √i und √2 und werden merken, dass wir bei der ersten Rechnung was wichtiges vergessen haben...nämlich dass man beliebig oft im Kreis gehen kann ohne an ein Ende zu kommen...
Ihr braucht nun die Polarschreibweise und die Moivresche Formel.
Wir legen erst einmal die beiden komplexen Zahlen z1 = r1* (cos φ1 + i* sin φ2)
und z2 = r2 * (cos φ2 + i* sin φ2 ) fest mit den Beträgen r1 und r2 und den Winkeln φ1 und φ2 fest.
Wenn man addieren will, ist es am einfachsten in die bekannte Form z = x + i*y umzurechnen. Wir wollen sie ab jetzt die arithmetische Form nennen.
Die Polardarstellung ist dagegen besonders gut für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen:
Die Formel wollen wir nicht herleiten, das ist im Prinzip aber nicht so schwer. Man muss einfach eine Summe aus Sinüssen und Cosinüssen vereinfachen. Dazu gibt es die Additionstheoreme, die man früher in der Schule herleiten und können musste. Heute werden sie oft in der Schule noch nicht mal erwähnt.
Man könnte auch so sagen:
Der Produktzeiger ist weitergedreht und gestreckt worden, der Quotientenzeiger zurückgedreht und gestaucht worden.
Das haben wir schon kennengelernt. Hier noch mal das Bild dazu:
matheistkeinarschloch
Und so sieht das in der Polardarstellung aus:
Winkel addieren, Zeigerlängen multiplizieren und schon hat man den Produktzeiger.
Am besten ihr übt das mal:
Aufgabe 1:
Zeichnet die Zeiger zu z1 = 2 * (cos 30° + i * sin 30°)
und zu z2 = 3 * (cos 45° + i* sin 45°)
in ein Koordinatensystem
Dann bildet z1*z2 und z1/z2 und zeichnet die neuen Zeiger.
Produkt und Quotient könnt ihr eigentlich direkt aus den Angaben für z1 und z2 ablesen...ihr müsst nurn noch zeichnen...
Irre: Ihr könnt jetzt komplexe Zahlen im Kopf multiplizieren und dividieren! 😎
Zum Schluss noch eine ganz wichtige Formel, die uns bald helfen wird, Wurzeln konkret hinzuschreiben:
Hier wird einfach zⁿ, die n-te Potenz gebildet.
Ihr wisst, was das bedeutet: z*z*z*z*z... (n-mal)...jedesmal wird das r mit sich multipliziert und der Winkel auf sich selbst addiert...
und schon ist die berühmte Formel von Moivre fertig:
zⁿ = rⁿ * [cos(n*φ) + i * sin(n*φ)]
Ihr könnt jetzt übrigens auch komplexe Zahlen im Kopf potenzieren:
Macht das mal...
Aufgabe 2:
Bildet z² und z³ sowie z⁴ zu z = 3 * (cos 80° + i*sin 80°).
Was macht die Zeigerspitze beim Potenzieren?
Wer potenzieren kann, kann auch wurzeln,...und das erkläre ich euch im nächsten Post.
Dann lernen wir auch Vielecke zu zeichnen...
Im übernächsten Post erkläre ich dann die häufigste Schreibweise für komplexe Zahlen, die ein Herr Euler gefunden hat. Und mit der kann man dann richtig viel machen...sogar Kreise zeichnen....
Ach, und falls irgendjemand die beiden genannten Formeln herleiten will, hier die Additionstheoreme:
a) Gib alle reellen Zahlen in der Polardarstellung an.
r ist beliebig, eben jede reelle Zahl, aber als Winkel können nur 0° (positive reele Zahlen) oder 180° (negative reelle Zahlen vorkommen. Allerdings, wer sagt denn, das man nur einmal herum darf? Auch 350° bzw. 540° bzw.720° produzieren reelle Zahlen:
Relle Zahlen = z*[cos (0° + k*180°) + i*sin (0° + k*180°)],
dabei ist z eine reine reelle Zahl und k ist eine beliebige ganze Zahl
b) Welcher Winkel gehört zu den imaginären Zahlen?
Nun: 90° oder 270° oder jeweils immer 180° dazu zählen oder abziehen....
also: 90° + k*180°, k ist eine beliebige ganze Zahl
c) Warum gibt es keine eindeutige Antwort auf diese Fragen?
weil man beliebig oft um Kreise herumlaufen kann, man kommt nie an ein Ende...
d) Wie lautet die Polardarstellung von komplexen Zahlen, die auf der Hauptdiagonalen des Koordinatensystems liegen?
Hier muss man von einem Winkel von 45°, 225°, 405° ....ausgehen und man kann jeden beliebigen Abstand nehmen:
r*[cos (45° + k*180°) + i*sin(45° + k*180°)]
e) Wie lauten die Polardarstellungen der Zahlen, die auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung liegen?
Hier muss man r= 5 nehmen und den Winkel beliebig lassen:
r*(cos φ + i*sin φ )
f) Rechne z = 3 + 4i in Polardarstellung um, ebenso z = 3 -4i und z = -3-4i
Ich gebe erst die Formeln an, mit denen man arbeiten muss:
Den Winkel φ erhält man über das Tangens-Verhältnis: tan φ = Im/Re = y/x, den Abstand r erhält man über den Pythagoras: r² = x² + y² und dann die Wurzel ziehen.
Da es beim Quadrieren nicht nauf die Vorzeichen ankommt, erhält man für alle drei Fälle r = 5! Die Punkte liegen also alle auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung.
Um das Ergebnis, welches der Taschenrechner ausspuckt (normalerweise nur Winkel zwischen -90° und + 90°) richtig zu interpretieren, überlegen wir erst, in welchem Quadrant der Punkt liegt.
Achtung: Man muss die Umkehrfunktion vom tan drücken, invtan oder wie auch immer bezeichnet...und der Taschenrechner sollte auf degree stehen....
x y Quadrant tan φ φ
3 4 I 4/3 53°
3 -4 IV -4/3 -53° oder 360-53 = 307°
-3 -4 III 4/3 53+180 = 233°
Läge der Punkt in Quadrant II müsste man 180 - 53 = 127° rechnen.
Ja und dann müssen wir noch alle anderen Winkel zulassen, die durch Addition oder Subtraktion von Vielfachen von 360° entstehen.
Meistens begnügt man sich aber ohne diese zusätzlichen Angaben von unendlich vielen Winkeln und spricht dann vom Hauptwert der Lösung.
Das waren Übungsaufgaben, die eigentlich viel Lerninhalt hatten. Also nicht verzagen, wenn man die nicht alleine lösen konnte.
spektrum
Hinweis: Rechts in der Computerversion (unter den Zusatzseiten) gibt es zwei Hilfen zu trigonometrischen Funktionen wie sin und cos...)
Einführung der Polardarstellung einer komplexen Zahl
Komplexe Zahlen haben wir bisher als Punkt in der Gaußschen Zahlenebene dargestellt. Die erste Koordinate war der Realteil, die zweite der Imaginärteil: z = (Re z, Im z).
Oder man gibt komplexe Zahlen als Summe aus Real- und Imaginärteil an: z = Re z + i* Im z
Hauptsache, das Rechnen klappt wie gewohnt...
Und das tut es, haben wir ja überprüft.
Wenn wir jetzt komplexe Zahlen auf andere Art notieren, muss die Rechnerei weiterhin so wie bisher gehen...
Nun kann man aber komplexe Zahlen auch durch ihren Abstand zum Ursprung (Betrag |z| oder auch mit r bezeichnet) und durch den Winkel, den die Verbindungslinie z zum Ursprung mit der reellen Achse einnimmt (mit φ oder α bezeichnet) angeben.
Falls es jemand kennt: Das ist wie bei Polarkoordinaten!
lpunikgoettingen
Wie können wir nun den Realteil a und den Imaginäranteil b über r=|z| und den Winkel φ ausdrücken?
Dazu muss man sich das rechtwinklige Dreieck aus a, b und r ansehen.
b ist die Gegenkathete zum Winkel φ und a die Ankathete. Die Strecke r = |z| liegt dem rechten Winkel gegenüber, das ist die Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck.
(Man erinnere sich: a² + b² = c², äh r²)
Damit kann man die Winkelfunktionen sin φ und cos φ aufstellen.
Wer sich damit nicht auskennt:
Im Laufe des Tages mache ich eine Zusatzinformationsseite dazu ( siehe rechts).
Ansonsten:
Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis aus Gegenkathete zur Hypotenuse im rechtwinkligen Dreieck, der Cosinus des Winkels das Verhältnis aus Ankathete zur Hypotenuse.
Ein Taschenrechner kennt diese Zahlen...und kann damit rechnen...sogar, wenn die Winkel über 90° weitergehen...beliebig weit...
Für uns gilt:
cos φ = Ankathete/Hypotenuse = a/r, also a = r* cos φ
und
sin φ = Gegenkathede/Hypotenuse = b/r, also b = r * sin φ
Das setzen wir nun in z = a + ib ein und erhalten die Polardarstellung der komplexen Zahl:
z = r*cos φ+ i*r* sin φ = r *(cos φ+ i * sin φ).
ruhrunibochum
wikimathe
Das lässt sich auch leicht auf die konjugiert komplexe Zahl übertragen:
Welche komplexe Zahl ist hier gemeint:
Antwort: z = (0,74, 0,67) = 0,74 + i*0,67 = 1* (cos 41,9° + i* sin 41,9°) oder (#1, 41,9°) in der Polardarstellung.
Umkehrung der Rechnungen:
Wir sollten noch kurz angeben, wie man aus der normalen Darstellung z = x + i*y die Werte für r und φ erhält:
Bestimmung des Abstandes r ( = Bestimmung des Betrages, hatten wir also schon):
r² = x² + y², ist wieder der olle Grieche...P.
Bestimmung des Winkels:
Für den Winkel muss man die Winkelfunktion Tangens benutzen:
tan φ = Gegenkathede/Ankathete = y/x
Der
Taschenrechner kann da nicht alle möglichen Lagen des Punktes
berücksichtigen. Am besten überlegt man sich in welchem Quadranten die
komplexe Zahl liegt und benutzt den vom Taschenrechner ausgegebenen
Winkel um daraus einen Winkel zwischen 90° und 180° oder 180° und 270°
oder 270° und 360° auszurechnen.
Übung:
a) Gib alle reellen Zahlen in der Polardarstellung an.
b) Welcher Winkel gehört zu den imaginären Zahlen?
c) Warum gibt es keine eindeutige Antwort auf diese Fragen?
d) Wie lautet die Polardarstellung von komplexen Zahlen, die auf der Hauptdiagonalen des Koordinatensystems liegen?
e) Wie lauten die Polardarstellungen der Zahlen, die auf einem Kreis mit dem Radius 5 um den Ursprung liegen?
f) Rechne z = 3 + 4i in Polardarstellung um, ebenso z = 3 -4i und z = -3-4i..
Die Lösungen kommen bald, aber sucht es erst einmal selbst.
Und danach lernen wir wieder Adidieren und Multipülizieren in der Polardarstellung...und werden merken, dass man jetzt diese Rechenarten noch leichter veranschaulichen kann.
Und nicht vergessen: In SFNonline kann man Fragen stellen...
Videos:
Sehr schön ruhig und sachlich erklärt das die Dame hier:
Eine gute ausführliche Darstellung, aber auch weiterführend, ist hier zu sehen:
Wir haben zwar mit den komplexen Zahlen eine Möglichkeit gefunden auch Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen und damit jede Gleichung zu lösen (damit werden wir uns bald beschäftigen).
Aber wir müssen einen Preis zahlen:
Wir kennen zwar alle Lösungen, aber wir können sie nicht mehr der Größe nach ordnen.
Die uns aus den reellen Zahlen bekannten Relationen > oder < lassen sich nicht auf die komplexen Zahlen übertragen.
Wie auch, es sind ja irgendwo in der Ebene liegende Punkte...
Nehmen wir mal das Beispiel i und nehmen an, es sei i > 0.
Multiplizieren wir beide Seiten mit i, so erhalten wir i² > 0, also -1 > 0.
Die Annahme i > 0 führt also zu einem Widerspruch (-1 > 0), sie muss falsch sein.
Also ist i < 0?
Denkste...
Wir multiplizieren beide Seiten der Ungleichung mit (-1), müssen dabei das < zu einem > machen: und erhalten:
-i > 0
Wenn also -i positiv ist, dann ist das Produkt zweier positiver Zahlen auch positiv:
(-i)*(-i) > 0
Also gilt: -1 > 0
Auch hier offensichtlich ein Widerspruch, also kann i auch nicht kleiner als 0 sein.
Bleibt nur i = 0: i=0 bedeutet i² = 0, also -1 = 0
Geht auch nicht...
Allein von der imaginären Zahl i können wir nicht entscheiden, ob sie positiv, negativ oder 0 ist.
Ist irgendwie sprachlich auch logisch: >0 heißt ja rechts von der 0 auf dem reelllen Zahlenstrahl...und da liegt i ja nicht drauf...
Der Philosoph Kant würde von einem Kategorienfehler reden: Die Beziehung > gibt es nur auf dem Strahl der reellen Zahlen und nirgends wo anders...
(Vergleich: Die Relation "kann höher singen" gibt es nur innerhalb der Menge aller Sängerinnen, nicht in der Menge aller Brückenpfeiler...)
In der Tat ist die Menge der komplexen Zahlen keine geordnete Zahlenmenge mehr. Eine < - oder > - Beziehung ist nicht erklärbar.
Man könnte eine abgeschwächte > - Beziehung aufstellen: Man bildet den Betrag der komplexen Zahl, berechnet also ihren Abstand zu 0.
Dann kann man komplexe Zahlen nach ihrem Abstand von der 0 ordnen. Alle gleichweit von 0 entfernte komplexe Zahlen (davon gibt es unendlich viele) liegen auf einem Kreis um den Ursprung herum.
Das hilft eigentlich nicht viel.
Damit haben wir den Teil 3 (Einführung) fast beendet. Es geht aber weiter...der nächste Post kommt....
- Komplexe Zahlen werden als Kombination von reellen und imaginären Zahlen dargestellt. Imaginäre Zahlen sind Vielfache einer Zahl i = √(-1)
Man schreibt z = (x,iy) und nennt y den Imaginärteil der komplexen Zahl, x den Realteil.
- Die Visualisierung komplexer Zahlen geschieht über ein Koordinatensystem. Auf der x-Achse wird der Realteil und auf der y-Achse der Imaginärteil dargestellt, manchmal auch i*y.
So ist jede komplexe Zahl ein Punkt im Koordinatensystem, also in der Ebene.
Diese Ebene nennt man auch Gaußsche Zahlenebene.
schulminator
- Wir haben schon eine andere Darstellungsform kennengelernt: z = x + iy. Hier wird eine komplexe Zahl als Summe einer reellen und einer imaginären Zahl geschrieben.
Diese Darstellung ermöglicht uns die intuitive Übernahme aller bisherigen Rechenarten mit reellen Zahlen. Wir müssen lediglich beachten, dass i²=-1 ist.
- z# = x -iy nennen wir konjugiert komplex zu z = x + iy.
Das Bild von z# liegt gespiegelt an der x-Achse.
Das Produkt aus einer Zahl mit ihrer komplex konjugierten Zahl ist immer eine reelle Zahl.
Ergänzung für Fortgeschrittene:
Oft werden Produkte in der Mathematik ähnlich definiert. Man nutzt dabei immer einen Raum (komplexe Zahl) und einen Dualraum (komplex konjugierte Zahl). Das Skalarprodukt ist z.B. nicht das Produkt zweier Vektoren sondern das Produkt eines Vektors mit der ihm zugeordneten Linearform aus dem Dualraum. Nur im kartesischen Koordinatnesystem ist das nicht notwendig. Nur hier sind Raum und Dualraum identisch. Das führt dazu, dass man Vektoren mit ihren dualen Objekten, den Linearformen, identifiziert und denkt, dass sei immer so.
Das wird durchweg in der Schulmathematik so gehandhabt.
Aber in krummlinigen Koordiantensystemen, wie man sie in der Relativitätstheorie braucht, muss man sehr genau unterscheiden.
Vielleicht kennen einige die Formel für den raum-zeitlichen Abstand s²
zweier Ereignisse in der Relativitätstheorie. Es ist nicht s² = x² +
(c*t)² sondern s² = x² - (c*t)². Nur im letzten Fall erhält man eine
lorentzinvariante Größe, also etwas, was in allen Bezugssystemen
unabhängig von deren Bewegung, gleich groß ist.
Ebenso in der Quantenmechanik: Hier spielen komplex konjugierte Objekte eine grundlegende Rolle bei der Übertragung der Rechnungen in die Realität.
Als Operatoren dürfen nur sog. hermitesche Matrizen verwendet werden. Das sind Matrizen (Zahlenschemata), die identisch zu ihrer adjungierten Form sind. Die adjungierte Form einer Matrix erhält man, wenn man die Einträge an der Hauptdiagonalen spiegelt und dabei durch die komplex konjugierten Zahlen ersetzt. So müssen alle Zahlen auf den Hauptdiagonalen reell sein.
Nur hermitesche Matrizen liefern reelle Zahlen als echte Messwerte!
- Betrag einer komplexen Zahl |z| = √(z*z#) bezeichnet den Abstand des zu z gehörenden Punktes in der Gaußschen Zahlenebene zum Ursprung.
Bevor wir andere Darstellungsformen von komplexen Zahlen kennenlernen, möchte ich auf die Ordnung komplexer Zahlen eingehen:
Auf der Realachse ist sicherlich 1 > 0. Aber wie ist das auf der imaginären Achse? Gilt da auch i > 0?
Was meint ihr?
In der Überschrift steckt eigentlich schon alles drin.
Ich rechne das mal auf einem Blatt vor, damit man das mit den Brüchen besser sieht:
Man erweitert den Bruch mit dem konjugiert Komplexen des Nenners.
Dadurch kann man mit der dritten binomischen Formel (endlich merkt man mal, wozu die gut ist), den Nenner zu einer rationalen Zahl umformen.
Der Zähler wird ganz normal ausmultipliziert.
Zum Schluss wird noch vereinfacht.
Fertig.
Wer es unbedingt noch als Formel will:
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Übt mal:
(-2+5i)/(3-2i)
Was ist der Kehrwert von 3+i? (Lösung: (3-i)/10)
Zeige, dass der Kehrwert von i die imaginäre Zahl -i ist.
Hinweis: Man kann mit dem konjugiert Komplexen erweitern (-i), es reicht aber auch einfach i.
Zeige, dass der Kehrwert von 3i gleich -1/3*i ist.
So, jetzt könnt ihr komplexe Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren und ihren Betrag bilden.
Im nächsten Post stellen wir das nochmal zusammen und dann zeige ich euch andere Möglichkeiten komplexe Zahlen darzustellen. Die sind dann für uns noch leichter in geometrische Deutungen umzusetzen. Wer fragen hat, diskutieren möchte: Im Kopf des Blogs steht der Zugang zu SFNonline. Da ist das alles möglich!
Übrigens, mit all dem hat sich Carl Friedrich Gauß 1799 in seiner Doktorarbeit auseinander gesetzt um dann zu zeigen: Alle Gleichungen haben immer eine Lösung!
Genau das wollen wir nachvollziehen...
Also: Wer manchmal etwas nicht gleich versteht...Vor 120 Jahren würdet ihr gerade an einer Doktorarbeit sitzen...
Im Prinzip ist eigentlich alles ganz einfach:
z = 2+i ist eine komplexe Zahl. Will man die mit 3 multiplizieren, dann macht man es so, wie man es gewohnt ist (man kümmert sich nicht um das i):
3*z = 3*(2 + i) = 6 + 3i
Wir zeichnen das mal in ein Koordinatensystem ein und verbinden den Ursprung mit der komplexen Zahl.
Dann erkennen wir, dass das Multiplizieren mit 3 nur die Länge der Verbindungslinie ändert, nicht aber die Richtung.
Multiplikation mit i
Auch hier können wir ohne große Überlegung losrechnen. Wir müssen nur wissen, wofür i steht:
i = √-1, also ist i*i = i² = -1:
Nun können wir rechnen:
i*z = i* (2+i) = 2i+i² = 2i-1 = -1+2i
Auch hier wollen wir die Zahlen in ein Koordinatensystem einzeichnen und mit dem Ursprung verbinden.
Durch die Multiplikation mit i verändert sich die Richtung der Verbindungslinie von Zahl und Ursprung um 90°!
Wir erkennen jetzt eine Drehung der Verbindungslinie um 90° in die andere Richtung (siehe oben meine Zeichnung).
Fazit:
Multipliziert man mit i, so entspricht das einer Drehung um 90° entgegengesetzt zum Uhrzeigersinn Multipliziert man (-i), so entspricht dies einer Drehung um 90° im Uhrzeigersinn!
Wir werden solche geometrischen Veränderungen durch komplexe Rechnungen bald vertiefen!
Multiplizieren zweier komplexer Zahlen:
Auch hier geht es ganz intuitiv, man muss nur an i² = -1 denken:
Zeichnet das mal selbst auf:
Hier sieht man, dass sich sowohl die Länge als auch die Richtung der Verbindungslinie ändert.
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matheistkeinarschloch.de
wolferseder
Noch ein Beispiel:
(2 + 3i) * (2 - 3i)
= 4 + 6i - 6i - 9i²
= 4 + 9 = 13
Hier entsteht eine rein reelle Zahl!
Schaut euch mal die beiden Zahlen an, die miteinander multipliziert wurden!
Man nennt die Zahl 2 - 3i die konjugiert komplexe Zahl zu 2 + 3i. Sie liegt einfach an der x-Achse gespiegelt.
Multipliziert man eine Zahl mit ihrer konjugiert komplexen Zahl, so entsteht eine rein reelle Zahl. Dieser reelle Zahl hat sogar eine Bedeutung: Sie ist das Quadrat der Länge der Verbindungslinie der komplexen Zahl zum Ursprung!
Für Quantenfachleute:
In der Quantenmechanik sind Wellenfunktionen komplexe Zahlen. Multipliziert man eine Wellenfunktion mit ihrer konjugiert komplexen Funktion, so erhält man eine reelle Zahl. Diese Zahl ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit mit der das durch die Welle beschriebene Teilchen auftritt.
Konjugiert komplexe Zahlen:
Zu z = x + iy nennt man z# = x - iy die zu z konjugiert komplexe Zahl
matheonline
Hier ist die konjugiert komplexe Zahl mit einem Strich obendrüber markiert.
Man sieht, dass das - vor dem Imaginärteil das Spiegeln an der x-Achse bewirkt.
Es gilt: z*z# = Quadrat des Betrages der komplexen Zahl z = Quadrat des Abstandes zum Ursprung √(z*z#) = |z| ist der Abstand der Zahl z zum Ursprung.
Informatik Uni Leipzig
Anmerkung: Ich verwende wegen des leichteren Tippens ein # als Markierung für konjugiert komplex, üblich ist ein Strich über z oder ein hochgestellter Stern.
Aufgabe:
Der Betrag |z| ist der Abstand der komplexen Zahl z vom Ursprung.
Beweise, dass √(z*z#) = |z| gilt.
Hinweis: Zeichnet euch das mal in ein Koordinatensystem und bemüht einen alten Griechen, der eine Formel erfunden hat, die jeder kennt...
Zusammenfassung:
Wir haben gelernt, dass man komplexe Zahlen einfach multiplizieren darf. Dabei entstehen Drehungen und Streckungen bzw. Stauchungen.
Die an der reellen Achse gespiegelte Zahl nennt man konjugiert komplex. Die braucht man, wenn man durch Multiplizieren Längen, also reelle Zahlen, herausfinden will.
Und man braucht sie beim Dividieren...dazu aber mehr im nächsten Post.
