Ergänzung

Für einige sind vielleicht solche Summenformeln ungewohnt, deshalb führe ich hier mal Rechnungen vor:
Nehmen wir 3,14, das ist ungefähr Pi π, d.h. wir wissen, was bei Sinus und Cosinus rauskommen muss:
sin π = sin 180° = 0
cos π = cos 180° = -1

Nun rechnen wir mit den ersten Summanden  unserer Formeln:

sin x = x/1 - x³/3! + ...
          = 3,14 - 30,96/6 + 305,2/120 = 0,52
Das liegt noch nicht sonderlich dicht an 0, aber der nächste Summand ergibt - 0,6 und schon sind wir bei 0,08...

cos x = 1-x²/2 + ...
         = 1 -4,93 + 4,05
         = 0,12 passt auch noch nicht sehr gut...
der nächste Summand liefert - 1,33 und wir sind bei - 1,21

Man sieht, ein Taschenrechner muss da wesentlich mehr Summenden zusammentragen...

Und zum Schluß die e-Funktion:

Wir setzen x = 1, dann muss e = 2,7 herauskommen...

  e = 1 + 1+1/2+ 1/6 + 1/24 = 2,71...da haben wir schon mit 5 Summanden einen guten Wert für e erhalten...