Teil 5: Die komplexe e-Funktion, Abschnitt 2: das i im Exponenten macht den Kreis...

Die komplexe e-Funktion f(z) = exp(z)

Hier ist wie üblich z = x + iy eine komplexe Zahl.

Wie rechnet man denn exp(z) aus?

Zur Erinnerung exp(x) steht für eˣ.

In der Tat gibt es keine direkte Rechenanweisung für das e-hoch bei einer komplexen Zahl.
Aber wir haben ja gesehen, dass man die e-Funktion als Summe normaler Potenzen schreiben kann und jede Potenz ist eine Multiplikation...und deshalb kann man genau darüber festlegen, wie man exp(z) für eine komplexe Zahl ausrechnet: über die Summe aus Potenzen von z!

Das was für eine reelle Zahl x gilt, gilt genau so für eine komplexe Zahl z!

 Ich muss nur das x durch ein z ersetzen...
Dann habe ich f(z) = exp(z) definiert.

Im letzten Post haben wir gesehen, was exp(x) bedeutet: exponentielles Wachstum...

Ihr werdet staunen, wenn ihr jetzt seht, was exp(z) bedeutet: Einfach nur einmal im Kreis herum, immer wieder...

Kreise haben was mit sinus und cosinus zu tun...
also schreiben wir noch einmal die Summen für sin, cos und exp(x) hin...

Hier habe ich die Fakultäten ausgerechnet (3! = 1*2*3, zur Erinnerung):

Irgendwie hat man das Gefühl, dass die Summen für sin und cos in der für exp(x) drinstecken:
Bei sin kommen nur ungerade Potenzen vor, bei cos nur gerade und bei exp(x) alle...
Aber die Vorzeichen passen nicht!

Ersetzen wir jetzt die reelle Hochzahl x bei exp(x) durch eine rein imaginäre Zahl i*y.

Wenn wir uns daran erinnern, dass i² = -1 ist und somit i³= -i ist etc, dann sind wir mit ein bisschen Umformerei schnell am Ziel:

exp(iy) = cos y +i*sin y   (Eulersche Formel)

Das ist ein Kreis um den Ursprung mit Radius 1! Dabei kann ich y beliebig groß machen, ich komme nicht von diesem Kreis runter...immer im Kreis...

Könnt ihr euch vorstellen, was exp(-iy) bedeutet? Nicht exponentieller Abfall, sondern????

 Übrigens, das was wir hier gerade gemacht haben, hat Leonard Euler (1707-1787) herausgefunden, das ist schon 270 Jahre bekannt...

Und nun können wir auch ganz allgemein die e-Funktion für eine komplexe Zahl z = x + i*y hinschreiben:
 

Das ist ein Kreis mit dem Radius r = |z|.

Ist schon irre, was ein einfaches i im Exponenten aus einem exponentielen Anstieg macht: einen  immer währenden Kreisverkehr...

Das Bild der Funktion f(z) = exp(z) ist also ein Kreis und in diesem Kreis stecken für den Realanteil von z (das x) die cos-Funktion und für den Imaginäranteil von z (dem y) die sin-Funktion...

Sinus und Cosinus zusammengefasst in einer komplexen Funktion..

Manche erahnen jetzt vielleicht schon, warum Physiker/innen und Elektrotechniker/innen die komplexen Zahlen mögen...

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Aufgabe: 

Zeige, dass wenn ich die beiden irrationalen Zahlen e und π mit der imaginären Zahl i geschickt kombiniere, entsteht was ganz Einfaches, nämlich - 1 oder +1...

Übrigens, wer sich die ganze Herleitung ausdrucken will: