Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 3: Rechnen mit Paaren

Nun, zu zweit darf man ja was machen...in der Corona-Krise...also dürfen wir auch mit Paaren rechnen.😁

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Was wollen wir heute herausbekommen?

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Wir wollen die negativen Zahlen konstruieren!

Und los geht es!


Hier die Lösungen der Aufgaben aus dem letzten Post, die ich gleich zu neuen Erkenntnissen ausbaue:

Beschreibt mal die natürlichen Zahlen 17 sowie 0 sowie 8 durch mehrere passende Gleichungen und stellt diese natürlichen Zahlen durch Paare dar.


17: 1+x=18 oder 5+x=22, also: 17 ≙ (18,1) bzw. (22,5)         ≙ bedeutet  "entspricht"




0: 4+x=4 oder 127+x=127, also 0 ≙ (4,4) bzw. (127,127)
8: 3+x=11 oder 5+x=13, also 8  ≙ (11,3) bzw. (13,5)

Es sind natürlich noch andere Lösungen richtig...unendlich viele sogar...

Regel 1: Man kann eine natürliche Zahl  n durch das Paar (b,a) darstellen, wenn n = b-a ist. b und a sollen selbst auch natürliche Zahlen sein und b soll die größere Zahl sein..
 
Und wer etwas mehr denken möchte:

17 + 8 = 25
8 + 0 = 8

So wird in den natürlichen Zahlen addiert...kennt ihr..
das muss dann auch mit den Paaren gehen...

Könnt ihr die Regel zur Addition von Paaren aufstellen?


Darstellungen für 17 und 8 als Paare kennen wir ja schon, also steht auf der linken Seite:

17 + 8 ≙  (18,1) + (11,3)

Einige von euch haben schon oft mit solchen Paar-Additionen gerechnet und das immer komponentenweise gemacht. Die anderen könnten einfach mal der Gutartigkeit der Mathematik (nicht der Mathematiker!) vertrauen und es einfach ausprobieren:

(18,1) + (11,3) = (18+11, 1+3) = (29,4)  ≙  25

Passt also...Mathematiker nennen das"komponentenweise addieren"..

Und weil es passt, legen wir fest, dass wir Zahlenpaare in Zukunft genau so addieren wollen. Das ist nicht beweisbar, sondern eine sinnvolle Festlegung, die sich bewähren muss.


Regel 2: Die Paare (b,a) und (d,c), wobei b>a und d>c sein muss, repräsentieren die beiden natürlichen Zahlen b-a und d-c
Dann addieren wir komponentenweise:
(b,a) + (d,c) = (b+d, a+c)

Das passt wirklich, denn addieren wir mal die beiden so gegebenen natürlichen Zahlen:
(b-a) + (d-c) = b+d -a-c =(b+d) - (a+c) ≙ (b+d,a+c)
 



Damit haben wir die nächste Frage beantwortet:
Was ist also (b,a) + (d,c) ?



Und auch die nächste Frage wird dann klar:
Und was wäre (a,b) + (c,d)?



(a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) 
denn es gilt wieder: (a-b) + (c-d) = (a+c) - (b+d) ≙ (a+c,b+d)

Nun setzen wir mal Zahlen ein. Wir haben ja gesagt: b>a und d>c

also: a=5, b=8, c= 6, d = 13

Nun geht das Rechnen los (ich empfehle selbst zu rechnen, zumindest mit aufzuschreiben, nicht nur lesen...).:

3 +7 ≙  (8,5) + (13,6) = (21,11) ≙ 21-11 = 10

Und hier die Rechnung für die vertauschten Komponenten (ich habe zusammen gehörende Inhalte mit der gleichen Farbe unterlegt):

(5,8) + (6,13) = (11,21) ≙ 11-21 = - 10

 Wir kommen nicht drum herum: Wenn wir mit (21,11) die natürliche Zahl 10 beschreiben können, dann muss (11,21) auch irgend eine Zahl sein...es kann aber keine natürliche Zahl sein.

Schreiben wir mal auf, was passiert, wenn ich die beiden vertauschten Paare addiere:

(21,11) + (11,21) = (32,32)  ≙ (0,0) ≙ 0

Das kennen wir: 10 + (-10) = 0

Das alles passt auch zu den Gleichungen:

Welche Gleichung gehört zu (37,11) und welche Gleichung gehört zu (11,37)?

11 +  x = 37 hat als Lösung x = 26

37 + x = 11 hat als Lösung x = - 26

Fazit:
Wir haben hier auf mathematisch aus bekannten Zahlen neue Zahlen konstruiert. Ich habe dabei auf alles Formale wie Definitionen, Beweise verzichtet. Ich hoffe aber, die Idee ist klar geworden und es leuchtet ein:

Natürliche Zahlen kann man durch Paare (n,m) beschreiben, wobei n und m selbst natürliche Zahlen sind  und n > m sein sollte.
Dann beschreibt das Paar (n,m) die natürliche Zahl n-m.

Vertauscht man die Reihenfolge von n und m, so erhält man neue Zahlen. Diese nennen wir negative Zahlen. Mit ihnen kann man alle Additionen genau so ausführen und über die Paare begründen wie mit natürlichen Zahlen.

Zu jeder natürlichen Zahl (n,m)  ≙ n-m gibt es eine negative Zahl (m,n) ≙ m-n  (in beiden Fällen n>m), die addiert die 0 ergibt.

All das braucht hier im Detail zu komplexen Zahlen nicht zu wissen. 
Aber es hilft euch die seltsame Konstruktion dieser Zahlen (ich denke ihr kommt drauf: es sind Paare aus anderen Zahlen) zu verstehen. Und eines ist hoffentlich deutlich geworden:

Durch Bilden von Paaren kann man aus Zahlen neue Zahlen basteln und die bisherigen Rechenregeln einfach mitnehmen.

Ihr kennt das schon von den Brüchen: 3/5 ist eigentlich auch ein Paar aus dem Zähler 3 und dem Nenner 5.... , aber das vertiefen wir hier nicht...

wiki

Negative Zahlen im Alltag:

Natürlich denken nur Mathematiker so...im Alltag sind die negativen  Zahlen ganz anders entstanden:

Es muss Temperaturen unter 0°C geben...jemand der Schulden hat, solllte ein "-" vor die Zahl in seiner Bilanz setzen,  ...

mathelexikon

päd Institut Bozen

Selbst Mathematiker haben das pragmatischer gemacht:

Als sie eine größere Zahl von einer kleineren Zahl abziehen wollten, erfanden sie die negativen Zahlen: 57 - 100 = - 43

Steinschule

Also: Eigentlich braucht ihr nur die letzten Sätze mitzunehmen.

Wohin? Zum nächsten Post...

Der wird dann wieder kürzer...versprochen...
Aber:

Ganze Zahlen:
Vorher noch einen neuen Namen, den ihr sicher schon kennt:

Die negativen Zahlen und die natürlichen Zahlen bilden die ganzen Zahlen.
Und welchen Vorteil die für das Lösen von Gleichungen  bringen, machen wir im nächsten Post...
Denn auch die komplexen Zahlen sind erfunden worden, weil man Vorteile beim Lösen von Gleichungen  haben wollte...

Knobelaufgabe:

archemedica

Aber ich möchte euch doch noch, wer will, was zum Knobeln geben:

Auch die Multiplikation kann man für die Zahlenpaare definieren:

Untersucht mal, dass das so sinnvoll festgelegt ist!