Teil 1 Wie man sich neue Zahlen bastelt: Abschnitt 1: Das Ausgangsmaterial

Natürliche Zahlen als Ausgangsmaterial für alle Zahlen:
Also, was braucht man zum Basteln von Zahlen?
Dinge, von denen man erkennen kann, dass sie mehrfach vorhanden sind.
Schafe zum Beispiel.
Und dann müssen wir Gruppen von Schafen einen Namen geben, der die Stärke der Schafsansammlung beschreibt:
Wir wollen auch eine schaffsfreie Wiese mit der Zahl 0 kennzeichnen.
Sehen wir nur eines der Viecher, so ordnen wir der Menge dieser Schafe die Zahl 1 zu.
Finden wir auf einer Wiese mehrere Schafe, so müssen wir zählen und erhalten dadurch  die Bezeichnungen für die Größe der Schafsmenge.
Das ist so natürlich, dass wir die so erhaltenen Zahlen auch genau so nennen: Durch Abzählen erhalten wir die Menge der natürlichen Zahlen.
Eine beliebige natürliche Zahl wollen wir in Zukufnt mit n bezeichnen.

Diese Zahlen lassen sich auch ordnen: n + 1 > n.
Wir können zum Beispiel die Monate in einem Jahr zählen und dabei auch eine Reihenfolge festlegen, mit der die Monate nacheinander auftreten.

Die Eigenschaften der natürlichen Zahlen hat Peano 1889 erfasst und durch Axiome festgelegt:

1. Die Zahl 0 gehört dazu.
2. Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger n+1
3. 0 ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl.
4. Die Nachfolgeregelung ist eindeutig: Haben zwei natürliche Zahlen den gleichen Nachfolger, so sind sie auch untereinander gleich.
5. Jede Menge von Objekten, die man so konstruieren kann, die also eine 0 enthält und mit jedem Objekt auch dessen Nachfolger, muss die Menge der natürlichen Zahlen enthalten.

Zum Glück muss man sich damit nicht beschäftigen, man nimmt einfach seine Finger und beginnt zu zählen.

Ich möchte jetzt nicht zeigen, wie man alle euch bekannten Zahlen aus den natürlichen Zahlen konstruieren kann. Das ist hochspannend, aber wir wollen ja etwas über komplexe Zahlen erfahren.
Trotzdem möchte ich an einem sehr einfachen Beispiel einmal die Konstruktion von neuen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vorführen.

Dazu überlegt euch mal die Lösbarkeit von Gleichungen der Form a + x = b innerhalb der natürlichen Zahlen.
Damit ist gemeint: a, b und x dürfen nur aus der Menge der natürlichen Zahlen entnommen werden.

Bis gleich...