Natürliche Zahlen können durch Paare natürlicher Zahlen dargestellt werden:
Ihr habt ja die Gleichung a+x = b untersucht und nur natürliche Zahlen (wir nehmen die 0 immer dazu) für a und b eingesetzt.
Beispiele:
(1) 4 + x = 7
(2) 7 + x = 4
(3) 0 + x = 0
(4) 9 + x = 9
(5) 3,4 + x =2
Gleichung (1) ist mit natürlichen Zahlen lösbar: x = 3
Gleichung (2) erfüllt zwar die Bedingung, dass a und b natürliche Zahlen sind, aber sie ist nicht mit einer natürlichen Zahl lösbar ( x müsste -3 sein).
Gleichung (3): klappt, x =0
Gleichung (4): klappt, x = 0
Gleichung (5): darf nicht da stehen, denn a = 3,4 ist keine natürliche Zahl.
Also: Die Gleichung ist immer dann mit einer natürlichen Zahl lösbar, wenn b>a ist.
Jetzt machen wir es erst mal komplizierter:
Wir können die Lösung der Gleichung a + x = b auch als Paar schreiben:
x = (b,a) (die Reihenfolge ist beliebig wählbar, ich habe mich so festgelegt).
Damit gilt folgende Regel:
Das geordnete Paar (b,a) ist genau dann eine Lösung der Gleichung a +x = b (a und b sind natürliche Zahlen) im Bereich der natürlichen Zahlen,. wenn b ≥ a gilt (ist korrigiert worden, hatte vergessen, dass ich die 0 ja dazunehmen will).
Beispiel:
Die Gleichung 7 + x = 9 hat als Lösung x=(9,7)
Vollkommen gleichwertig dazu wäre aber auch die Gleichung 14 + x = 16 mit x = (16,14).
Alle Paare, deren erste Komponente a um 2 größer ist als die zweite Komponente b bezeichnen gleiche (äquivalente) Lösungen von Gleichungen:
Also: Zwei Paare sind äquivalent (gleichwertig), wenn die Differenz ihrer Komponenten gleich sind.
(b,a) und (d,c) sind gleichwertig, wenn b-a = d-c ist.
In diesem Fall beschreiben beide Paare die gleiche natürliche Zahl n = b-a = d-c.
Natürliche Zahlen n (einschl. 0) können also als Lösungen von linearen Gleichungen der Form a + n = b dargestellt werden, wenn
(1) a und b selbst natürliche Zahlen sind
(2) b ≥ a ist.
Sicher denkt ihr, dass die Mathematiker spinnen, wenn sie etwas so einfaches wie natürliche Zahlen so kompliziert darstellen.
Aber haltet durch, ihr werdet bald die ungeahnten Möglichkeiten sehen, die dahinter stehen.
Bis zum nächsten Post:
Beschreibt mal die natürlichen Zahlen 17 sowie 0 sowie 8 durch mehrere passende Gleichungen und stellt diese natürlichen Zahlen durch Paare dar.
Und wer etwas mehr denken möchte:
17 + 8 = 25
8 + 0 = 8
So wird in den natürlichen Zahlen addiert...kennt ihr..
das muss dann auch mit den Paaren gehen...
Könnt ihr die Regel zur Addition von Paaren aufstellen?
Was ist also (b,a) + (d,c) ?
Und was wäre (a,b) + (c,d)?
Welche Gleichung gehört zu (37,11) und welche Gleichung gehört zu (11,37)?
Na, merkt ihr was?
Keine Kommentare:
Kommentar veröffentlichen