Teil 6: Vom Komplexen ins Chaos, Abschnitt 3: Material für das Feigenbaumdiagramm

Wir arbeiten mit der folgenden Gleichung:

Wir wollen erst einmal die Vermehrungsrate, das a variieren:
a uist das Verhältnis aus der neuen Anzahl der Kaninchenpaare zur alten Anzahl. a =2 beduetet z.B., das jedes Kaninchenpaar zwei weitere erzeugt.

Alle Berechnungen fangen mit x1 = 0,29 an, d.h. 29% der zur Verfügung stehenden Fläche für Kaninchen sind durch Kaninchenpaare belegt.
Die Kurven (erzeugt mit GeoGebra) geben die Entwicklung der Kaninchenpaare für die ersten 30 Jahre an (n ist die Jahresnummer).

a= 0,44

Die Kaninchenpopulation stirbt schon nach wenigen Jahren aus.

a = 1,0

Früher oder später wird auch diese Population aussterben.

a = 1,5

Recht schnell stellt sich ein Gleichgewicht ein zwischen Neuproduktion vion Kaninchen und Beschränkung des Lebensraumes. Die Population ist stabil.

a = 2,94

Auch hier entsteht ein Gleichgewicht, das aber periodisch nach oben und nach unten abweicht. Etwas zuviel Kaninchen in einem jahr behidnern die Ausbreitung im folgendne Jahr, dadurch fallen Einschränkungne weg und die verbliebenen Paare können den Nachwuchs besser durchbringen. Die Abweichungen werden im Laufe der Zeit immer kleiner.

a= 3,42

Am Anfang sieht es so aus, als gäbe es eine Gleichgewichtspopulation. Dann zeigt sich aber sehr schnell, dass es zwei mögliche Zustände gibt: eine Population mit mehr und eine Population mit weniger Kaninchen. Beide Zustände wechseln sich ab. Das nennt man eine Periodenverdopplung, auch Bifurkation.

a= 3,54

Nun haben sich vier mögliche Populationsgrößen eingestellt, die sich ebenfalls ständig abwechseln.

a = 3,76 (Startwert 0,29)

Man wird hier keinerlei Regelmäßigkeit finden,,,die Anzahl der Kaninchen entwickelt sich chaotisch.
Fängt man statt mit x1 = 0, 29 mit einem nur geringfügig anderen Startwert an (hier x1 = 0,3), so entsteht nach wenigen Jahren eine vollkommen andere Entwicklung:

a = 3,76 (Startwert 0,3)

a = 4,0

Wir sind weiterhin im Chaos.
Ist die Vermehrungsrate über 4,0, so steigt der Wert für xn sehr schnell über 1 an, d.h. die Kaninchenpopulation explodiert.
Beispiel: a =5, x1 = 0,29 ergibt nach 4 Jahren eine Überbelegung von 3625 %...

Im nächsten Post fassen wir zusammen und stellen über die Endzustände der Entwicklung das Feigenbaum-Diagramm zusammen.
Daran erklären wir, was Chaos bedeutet und was ein fraktales Muster ist.

Und dann machen wir das mit komplexen Zahlen...