Irrational und imaginär zusammen wird natürlich
haben wir schon gesehen, dass exp(iπ) = -1 ist und exp(2πi) = 1 ergibt.
Um das zu zeigen haben wir mit der Eulerschen Formel gearbeitet:
exp(iy) = cos y + i*sin y.
Letztlich ist das die Definition der komplexen Exponentialfunktion.
Wer sich das nochmal im Blog ansehen will:
Begründung der Eulerschen Formel
Nun wollen wir eins drauf setzen und wollen i hoch i berechnen...also etwas Imaginäres mit etwas Imaginären potenzieren...heraus kommt eine rein irrationale Zahl, also eine reelle Zahl...provozierend: knapp 21%...
iⁱ = 0,207879... ～21%
Um das zu beweisen, müssen wir erst i darstellen:
i liegt auf der imaginären Achse bei i, also ist in der Eulerschen Formel der Winkel y = 90° oder π/2.
Damit können wir über die Eulersche Formel i als Exponentialfunktion ausdrücken und somit auch mit i potenzieren..
Ich habe das mal aufgeschrieben:
Wer will, kann sich auch das folgende Video ansehen.
Hier wird das über den Logarithmus hergeleitet.
Ist etwas umständlicher, aber man lernt einen anderen Weg kennen und vorher wiederholt er Vieles, was wir gemacht haben. Er benutzt aber x statt y. Wir haben in usnerem Blog x für einen Realanteil und y für einen Imaginäranteil reserviert.
Im nächsten Post will ich kurz einige interessante Anmerkungen machen zum Ausführen von Kreisintegralen.
Was passiert, wenn man komplexe Funktionen im Kreis aufsummiert.... Wer sich mit Integralen nicht auskennt, kann das auch überspringen, es ist später nicht wichtig.
Zum Abschluss des Workshops möchte ich dann einmal die Anwendung komplexer Zahlen in der Elektrotechnik zeigen, also bei der Berechnung von Widerständen und Schaltungen.
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