Ziel des Workshops

Was sind komplexe Zahlen?
Einführung in das Rechnen mit komplexen Zahlen
Komplexe Zahlen sind wie Vektoren sind aber keine Vektoren
Warum es Wurzeln aus negativen Zahlen gibt
Exponentialfunktion liefert Kreise
Einfache Beschreibung von Schwingungen durch komplexe Zahlen
Wechselstromwiderstände lassen sich durch komplexe Zahlen zusammenfassen
Erzeugung von fraktalen Mustern durch einfach Gleichungen
....

Samstag, 9. Mai 2020

Teil 8: Hyperkomplexe Zahlen

Bevor wir uns weiteren Anwendungen und Beispielen zuwenden, ein ganz kurzer Blick auf noch komplexere Zahlsysteme:

Quaternionen:

Zahlen der Form a +b* i + c*j + d*k wobei i = j = k = √(-1) und i*j*k = -1 sein muss.
Es sind also vierdimensionale Punkte (a,b,c,d)
Anwendung: Mit der Multiplikation von Quaternionen kann man Drehungen im Raum gut beschreiben. Dabei ist die erste Komponente eine skalere Größe und die anderen drei Komponenten liefern Vektoren.
Nachteil: Produkte sind nicht immer kommutativ, d.h. q*p muss nicht p*q sein.

Wer etwas mehr darüber lernen will, auch wie man Quaternionen addiert, sollte sich dieses (englischsprachige) Video ansehen:


Oktonionen:
Hier gibt es eine reelle und sieben imaginäre Einheiten.
Nachteil: Das Assoziativgesetz für die Multiplikation dieser achtdimensionalen Zahlen gilt nicht mehr.

Sedenionen:
Eine  reelle und 15 imaginäre Einheiten liefern Zahlen mit 16 Dimensionen.
Nachteil: Es gibt Nullteiler, d.h. zu einer Zahl A gibt es eine Zahl B, die nicht 0 ist, aber trotzdem A*B = 0 liefert.
In der Schule nutzen wir aus, dass in den üblichen Zahlenmengen keine Nullteiler existieren.
Deshalb können wir sagen:
Ein Produkt a*b ist 0, wenn einer  der beiden Faktoren a oder b gleich 0 ist.
Das hilft uns, viele Gleichungen einfach zu lösen: (x -5) * (3x+7) = 0 ergibt x = 5 oder x = -7/3
Würden wir in 16 Dimensionen rechnen, wäre das nicht so einfach...

wikipedia




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