Zuerst wollen wir jetzt die Werte für xn als prozentuale Anteile auffassen, d.h. x1 = 0,01 bedeutet, dass 1% des zur Verfügung stehenden Raumes für die Kaninchen belegt ist (durch Kanninchen natürlich). dadurch geben wir keine Anzahlen mehr an, sondern nur noch Prozente.
Ein Zusatzfaktor (1-xn) begrenzt das Wachstum. Kommt xn an die 1, also an 100% ran, so wird der Begrenzungsfaktor 1-xn kleiner und die nächste Populationsprozentzahl steigt nicht mehr so stark an.
Vereinfacht: Sind zuviel Kaninchen da, begrenzt sich die Population wegen Platz- oder Nahrungsmangel von allein. Unsere Gleichung lautet jetzt:
x(n+1) = a*xn * (1-xn) = a*xn - a*(xn)².
Ich schreib das auch nochmal in gewohnter Weise auf:
Wir haben a = 2 und x1 = 0,01:
x(n+1) a*xn a*xn * (1-xn)
x2 0,02 0,0198
x3 0,04 0,0388
x4 0,08 0,0746
x5 0, 6 0,0138
x6 1,2 0,238
Rechnet mal nach und zeichnet euch das mal auf...auf die x-Achse die Nummer (die Jahreszahl) und auf der y-Achse der Wert für x(n+1).
Und jetzt müsst ihr spielen...
Nehmt mal verschiedene Anfangswerte x1, variiert die Vermehrungszahl a (a =0,2 oder a=1 oder a=3 oder a=3,4 oder a=5....).
Versucht mal Regelmäßigkeiten zu erkennen.
Alles seltsame, das passiert, liegt daran, dass wir jetzt eine nichtlineare Gleichung haben (es steht ein Quadrat oben n der Gleichung).
Die Gleichung heißt auch Verhulst-Gleichung, nach ihrem Entdecker 1845, oder logistische Gleichung.
Und wenn wir statt reellen Zahlen in der nächsten Runde das mit komplexen Zahlen machen, wird es noch interessanter.
wird fortgesetzt...
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