Die Konstante c hat zweierlei Funktionen:
1) c legt eine Juliamenge Jc fest, in dieser Juliamenge sind alle Startwerte, die zu einer konvergierenden Folge führen.
2) c ist ein Punkt in der Mandelbrotmenge, für dieses c bleibt die Folge bei einem Startwert von 0 beschränkt.
Hier ist der Zusammenhang zwischen c und der Lage in der Mandelbrotmenge dargestellt (Punkte 1 und i auf den Achsen markiert):
Das riecht nach einem Zusammenhang zwischen Mandelbrotmenge und Juliamenge:
- Wenn der Punkt c in der Mandelbrotmenge liegt, dann ist die zugehörende Juliamenge Jc in sich zusammenhängend. Das heißt vereinfacht: Jeder Punkt der Menge kann von jedem anderen Punkt über Wege erreicht werden, die komplett in der Menge liegen.
- Wenn c nicht in der Mandelbrotmenge liegt, dann ist die zugehörige Juliamenge "zerfleddert".
- Wenn man innerhalb der Mandelbrotmenge auf einen Punkt c zu zoomt, taucht am Ende irgendwann die Juliamenge Jc auf.
Im Bild oben sehen wir die Juliamengen zu einzelnen Mandelbrotpunkten.
Ein absoluter Hammer ist das Simulationsprogramm dazu, das man sich hier herunterladen kann:
Julia und Mandelbrot
Während die Punkte c durch die Mandelbrotmenge wandern, sieht man die zugehörigen Juliamengen.
Ein weiteres Simulationsprogramm kann im virtuellen Physiklabor von Prof. Matzdorf heruntergeladen werden:
Mandelbrot in Kassel
Begründungen für diese Zusammenhänge können wir hier nicht geben, stattdessen verlinke ich mal einige Videos, mit denen man abschließend eine Reise in die Unendlichkeit der Mandelbrotstrukturen machen kann:
750 Millionen Schritte:
Und wer selbst herumspielen möchte:
Zoom in die Mandelbrotmenge
Und immer wieder taucht ein neues Apfelbrotmännchen in der Tiefe auf...
Und nicht vergessen: Wir quadrieren nur komplexe Zahlen und zählen eine feste Zahl dazu...und erzeugende eine unfassbare Welt aus komplexen und ästhetischen Objekten:
Die fraktale Welt von Mandelbrot und Julia.
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